Совокупности и системы

Совокупностью уравнений или неравенств называется объединение множеств решения каждого из них по отдельности. Синонимом для совокупности в человеческом языке будет слово «или». Что это значит?

Представь, что у тебя есть на выбор для перекуса баночка детского пюре со вкусом «яблоко» или «груша».

Это значит, что существует целых три варианта:

1. только «яблоко»,
2. только «груша»,
3. смешать их вместе и получить пюре «яблоко — груша».

Вот и в совокупности мы объединяем решения каждого и записываем в общее. Явный пример для появления совокупности был в далёком шестом классе.

Пример 1. $|2x − 1| = 3$

Решение

$$\left[ \begin{array}{l}
2x − 1 = 3 \\
2x − 1 = −3
\end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{l}
2x = 4 \\
2x = −2
\end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array}{l}
x = 2 \\
x = −1
\end{array} \right.$$

Ответ: $−1$; $2$.

То есть «икс равен $−1$ или $2$». Каждое по отдельности подходит, но в ответе указываем все варианты, то есть объединяем их. Объединение — это такой значок $\cup$.

Пример 2. Пусть $\log_3 x = t$ и $t \in (-\infty; -2) \cup [5; +\infty)$. Выполнить обратную замену.

Решение

Видишь значок $\cup$ — объединение.

$$t \in (−\infty; −2) \cup [5; +\infty) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t < −2 \\
t \ge 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\log_3 x < −2 \\
\log_3 x \ge 5
\end{array} \right.$$

Система уравнений или неравенств — это пересечение множеств решений.

Она говорит: строго только что-то одно. То есть система — это союз «и».

Вернёмся к примеру с перекусом: если у тебя есть пюре «яблоко — груша», то ингредиенты уже смешаны — отдельно их выбрать нельзя. Должны выполняться оба условия одновременно.

Так же и с системой: она показывает, что все условия выполняются одновременно, множество решений будет пересекаться.

Самый явный пример применения системы — наша любимая ОДЗ. Когда в ответ пойдут только те значения, которые есть в каждом решении.

Пример 3. Записать область допустимых значений для неравенства

$\log_5 x^2 + 4\log_{25}(6 − 2x) \leq \log_{\sqrt{5}}(x^2 − 4) + 2\log_{0{,}2}(2 − x)$.

Чтобы лучше понять разницу между совокупностью и системой, рассмотрим пример.

Пример 4. Записать условия (ОДЗ) для логарифмического неравенства

Решение

Каждое выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля. И это должно работать одновременно, иначе будет беда.

$$\begin{cases}
x^2 − 4 > 0 \\
2 − x > 0
\end{cases}$$

1) Решаем первое неравенство $x^2 − 4 > 0$.

Раскладываем по формуле разности квадратов:

Нули:

$x = 2$ или $x = −2$

Узнаёшь? Альтернативная запись:

$$\left[ \begin{array}{l}
x = 2 \\
x = −2
\end{array} \right.$$

Получаем:

2) Решаем второе неравенство: $2 − x > 0$.

Переносим двойку вправо:

Делим обе части на $−1$, и тут важное правило: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства переворачивается!

Получаем:

Так как мы решаем систему, то нам нужно найти общее решение — такие универсальные значения $x$, которые подойдут и первому, и второму неравенству.

$$\begin{cases}
x \in (-\infty; −2) \cup (2; +\infty) \\
x < 2
\end{cases}$$

Графически это промежутки на числовой прямой, которые отмечаются для каждого неравенства отдельно. При решении системы мы выбираем только те участки, которые закрашены на обеих прямых одновременно (то есть их пересечение).

Получается, нам подходит $x \in (−\infty; -2)$.

В примере 2 мы увидели, что переход от объединения числовых промежутков равносилен совокупности. На экзамене при решении неравенств часто нужно совершать равносильный переход ещё и от двойного неравенства. И тут вопрос: к системе или совокупности?

Допустим, при решении методом замены мы получили:

Двойное неравенство — это всегда система, потому что центральная часть должна быть больше левой и меньше правой одновременно.

$$\begin{cases}
\log_2 x > −1 \\
\log_2 x \le 3
\end{cases}$$

Обрати внимание: множество решений совпало — значит, переход действительно равносильный.

Итоговый пример

Давай закрепим правила на финальном примере. Решить неравенство:

Решение

1) ОДЗ — всегда система.

$$\begin{cases}
x − 1 > 0 \\
\log_2(x − 1) \neq 0
\end{cases}$$

Решаем каждое и находим общее:

1. $x − 1 > 0 \implies x > 1$
2. $\log_2(x − 1) \neq 0 \implies x − 1 \neq 2^0 \implies x − 1 \neq 1 \implies x \neq 2$

2) Решим неравенство. Есть два способа.

Способ 1 — равносильный переход к совокупности систем исходя из правила для сравнения дробей с нулём, каждую из которых нужно решить. Обычно в них же записывается ограничение.

$$\left[ \begin{array}{l}
\begin{cases}
x^2 − 4x + 3 \le 0 \\
\log_2(x − 1) > 0 \\
x − 1 > 0
\end{cases} \\
\begin{cases}
x^2 − 4x + 3 \ge 0 \\
\log_2(x − 1) < 0 \\
x − 1 > 0
\end{cases}
\end{array} \right.$$

Решим первую систему:

$$\begin{cases}
(x − 1)(x − 3) \le 0 \\
x − 1 > 2^0 \\
x > 1
\end{cases} \implies \begin{cases}
1 \le x \le 3 \\
x − 1 > 1 \\
x > 1
\end{cases} \implies \begin{cases}
x \in [1; 3] \\
x > 2 \\
x > 1
\end{cases}$$

Получаем $x \in (2; 3]$

Решим вторую систему:

$$\begin{cases}
(x − 1)(x − 3) \ge 0 \\
x − 1 < 2^0 \\
x > 1
\end{cases} \implies \begin{cases}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1 \\
x \ge 3
\end{array} \right. \\
x < 2 \\
x > 1
\end{cases}$$

Получается, что эта система не имеет решения.

Так как совокупность — это объединение ответов, мы берём то, что получилось.

$$\left[ \begin{array}{l}
x \in (2; 3] \\
x \in \varnothing
\end{array} \right.$$

Ответ: $x \in (2; 3]$

Обрати внимание: пустое множество при пересечении с чем-либо даст в ответ сразу пустое множество, а при объединении — не влияет на ответ.

Способ 2 — метод интервалов

Нули числителя: $x^2 − 4x + 3 = 0$

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Нули знаменателя: $\log_2(x − 1) = 0$

$x = 2$

Ответ: $x \in (2; 3]$.

1. Правило перевода с математического на русский:

Квадратная скобка $[\ldots$ $=$ союз «или» $=$ знак объединения $\cup$ → записываем в ответ все заштрихованные зоны.

Фигурная скобка $\{\ldots$ $=$ союз «и» $=$ знак пересечения $\cap$ → записываем только общие части.

2. Если сомневаешься, какую скобку ставить — пиши словами. Фразы «Найдём ОДЗ», «Решим первое уравнение, решим второе уравнение» спасут от потери баллов на экзамене.

3. При решении заданий второй части лучше использовать метод интервалов, чтобы не нарушить равносильность переходов к совокупностям и системам.