Задание № 18 ЕГЭ по профильной математике — это задача с параметром. Она считается одной из самых сложных в экзамене, но её реально научиться решать, если понять логику поведения параметра.
В этой статье (базовый уровень):
- разберём, что такое параметр простым языком;
- введём строгие определения;
- пройдём путь от линейных уравнений до квадратных;
- рассмотрим много простых примеров, чтобы набить руку.
Статья написана для тех, кто боится параметров и хочет разобраться с нуля.
Часть 1. Что такое параметр
Обычное уравнение и уравнение с параметром
В обычном уравнении всё понятно:
$2x + 5 = 0 \;\rightarrow\; x = -2{,}5$
Буква $x$ — неизвестное, которое нужно найти.
В уравнении с параметром появляется вторая буква (обычно $a$, $b$, $k$, $m$):
$ax + 5 = 0$
Здесь $x$ — по-прежнему неизвестное, $a$ — параметр.
Параметр — это число, которое фиксировано, но мы не знаем, какое именно. Мы перебираем все возможные его значения и для каждого смотрим, что получится.
Представь, что ты крутишь ручку настройки радио. Параметр $a$ — положение ручки. Вращая её (меняя $a$), ты меняешь поведение системы: где-то есть сигнал, где-то шум.
Зачем это нужно на ЕГЭ
Типичные формулировки в задании № 18:
- «При каких $a$ уравнение имеет ровно 2 корня?»
- «При каких $a$ неравенство верно для всех $x$?»
- «При каких $a$ система имеет единственное решение?»
То есть мы должны найти все значения параметра, при которых выполняется условие.
Часть 2. Строгие определения
Ниже приведены ключевые термины.
Параметр — буква, которая считается постоянной в рамках одного случая, но может принимать разные значения при рассмотрении задачи в целом.
Переменная — буква ($x$, $y$), значения которой мы ищем.
Значение параметра — конкретное число, подставленное вместо параметра.
Задача с параметром — задача, в которой требуется для каждого допустимого значения параметра решить уравнение/неравенство/систему относительно переменной.
Ответ в задании ЕГЭ — множество всех значений параметра, при которых выполняется условие (иногда с указанием решений для переменной).
Важнейшая идея
При разных значениях параметра меняется тип уравнения или неравенства.
Пример:
$(a - 1)x = 2$
- Если $a \neq 1$: линейное уравнение, $x = \dfrac{2}{a − 1}$ (один корень).
- Если $a = 1$: получаем $0 \cdot x = 2$ → нет корней.
Вывод: значение $a = 1$ — особое (граничное). Все такие точки нужно находить в первую очередь.
Часть 3. Классификация задач по методам
Для ЕГЭ полезно выделить несколько уровней:
- Линейные уравнения и неравенства с параметром (самые простые).
- Квадратные уравнения с параметром (анализ дискриминанта, старшего коэффициента).
- Дробно-рациональные и иррациональные (ОДЗ, замена).
- Графические методы (самый мощный для сложных задач).
Мы начнём с первых двух.
Часть 4. Линейные уравнения с параметром
Общий вид:
$A(a) \cdot x = B(a)$
План решения (алгоритм):
- Привести к виду $k(a) \cdot x = b(a)$.
- Рассмотреть три случая:
- Случай 1: $k(a) \neq 0$ → делим, получаем $x = \dfrac{b(a)}{k(a)}$ (единственный корень).
- Случай 2: $k(a) = 0 \text{ и } b(a) = 0 → 0 \cdot x = 0$ ⇒ бесконечно много решений (любое $x$).
- Случай 3: $k(a) = 0 \text{ и } b(a) \neq 0 → 0 \cdot x = \text{не ноль}$ ⇒ нет решений.
Пример 1
Решить уравнение относительно $x$:
$ax = 4$
Решение
- Если $a \neq 0: x = \dfrac{4}{a}$.
- Если $a = 0: 0 \cdot x = 4$ ⇒ нет решений.
Ответ: при $a \neq 0: x = \dfrac{4}{a}$; при $a = 0$: нет корней.
Пример 2
$(a + 2)x = a^2 - 4$
Решение
Преобразуем правую часть: $a^2 − 4 = (a − 2)(a + 2)$.
Имеем: $(a + 2)x = (a − 2)(a + 2)$.
Случай 1: $a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq −2$.
Делим: $x = a − 2$.
Случай 2: $a + 2 = 0 \Rightarrow a = −2$.
Подставляем: $0 \cdot x = (−2 − 2)(−2 + 2) = (−4) \cdot 0 = 0$.
Получили $0 = 0$ ⇒ бесконечно много решений (любое $x$).
Ответ:
- при $a \neq −2$: $x = a − 2$,
- при $a = −2$: $x$ — любое число.
Пример 3 (с ОДЗ)
Решить:
$\dfrac{ax - 1}{x - 2} = 0$
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель $= 0$, а знаменатель $\neq 0$.
- Числитель: $ax − 1 = 0$.
- ОДЗ: $x \neq 2$.
Рассматриваем параметр:
- Если $a \neq 0$: $x = \dfrac{1}{a}$. Надо, чтобы $\dfrac{1}{a} \neq 2 \Rightarrow a \neq \dfrac{1}{2}$.
- Если $a = 0$: числитель $−1 = 0$ ⇒ нет решений.
Итог:
- При $a = 0$: нет корней.
- При $a = \dfrac{1}{2}$: $x = 2$, но это не входит в ОДЗ ⇒ нет корней.
- При $a \neq 0 \text{ и } a \neq \dfrac{1}{2}$: $x = \dfrac{1}{a}$.
Ответ: $x = \dfrac{1}{a}$ при $a \neq 0$, $a \neq \dfrac{1}{2}$; в остальных случаях корней нет.
Пример 4 (неравенство)
Решить неравенство:
$ax > 3$
Решение (сравни с уравнением)
- Если $a > 0$: $x > \dfrac{3}{a}$.
- Если $a = 0$: $0 > 3$ ⇒ ложно ⇒ нет решений.
- Если $a < 0$: делим на отрицательное, знак меняется: $x < \dfrac{3}{a}$.
Ответ:
- $a > 0$: $x \in \left(\dfrac{3}{a};\, +\infty\right)$
- $a = 0$: нет решений
- $a < 0$: $x \in \left(−\infty;\, \dfrac{3}{a}\right)$
Часть 5. Квадратные уравнения с параметром
Общий вид:
$A(a) \cdot x^2 + B(a) \cdot x + C(a) = 0$
Главная опасность: коэффициент при $x^2$ может оказаться нулём. Тогда уравнение перестаёт быть квадратным!
Алгоритм:
- Рассмотреть случай $A(a) = 0$. Подставить это значение параметра и решить получившееся линейное (или вырожденное) уравнение.
- Рассмотреть случай $A(a) \neq 0$. Тогда это квадратное уравнение. Используем дискриминант $D = B^2 − 4AC$:
- $D > 0$ ⇒ два различных корня,
- $D = 0$ ⇒ один корень (два совпадающих),
- $D < 0$ ⇒ нет корней.
- Иногда требуют дополнительные условия: корни положительные, лежат в интервале и т. д. (теорема Виета).
Пример 5 (самый частый — старший коэффициент ноль)
При всех $a$ решить:
$(a - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 1 = 0$
Решение
Случай 1: $a − 1 = 0 \Rightarrow a = 1$.
Уравнение: $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 = 0 \Rightarrow 1 = 0$ ⇒ нет решений.
Случай 2: $a \neq 1$.
Делим на $(a − 1)$ (он не ноль):
$x^2 + 2x + \dfrac{1}{a−1} = 0$
Дискриминант: $\dfrac{D}{4} = 1 − \dfrac{1}{a−1} = \dfrac{a−2}{a−1}$.
- $D > 0 \Rightarrow \dfrac{a−2}{a−1} > 0 \Rightarrow a < 1$ или $a > 2$: два корня.
- $D = 0 \Rightarrow a = 2$: один корень (два совпадающих) $x = −1$.
- $D < 0 \Rightarrow 1 < a < 2$: нет корней.
Ответ:
- $a < 1$: два корня
- $a = 1$: нет корней
- $1 < a < 2$: нет корней
- $a = 2$: один корень $x = −1$
- $a > 2$: два корня
Пример 6 (только дискриминант, без вырождения)
При каких $a$ уравнение имеет ровно один корень?
$x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 2a = 0$
Решение
Коэффициент при $x^2$ равен $1 \neq 0$ всегда ⇒ квадратное всегда.
Дискриминант:
$D = 4(a+1)^2 − 4(a^2+2a) = 4(a^2+2a+1 − a^2 − 2a) = 4 \cdot 1 = 4$
$D = 4 > 0$ при всех $a$ ⇒ всегда два корня.
Ответ: таких $a$ нет (пустое множество).
Пример 7 (оба корня положительны)
При каких $a$ оба корня уравнения $x^2 + (a+3)x + a + 2 = 0$ положительны?
Решение
- Старший коэффициент $= 1 \neq 0$ — вырождения нет.
- Дискриминант:
$D = (a+3)^2 − 4 \cdot 1 \cdot (a+2) = a^2 + 6a + 9 − 4a − 8 = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 \geq 0$
Корни существуют при любом $a$.
- Теорема Виета:
- $x_1 + x_2 = −(a+3)$
- $x_1 \cdot x_2 = a+2$
- Условия положительности (оба корня $> 0$):
- (1) $x_1 + x_2 > 0 \Rightarrow −(a+3) > 0 \Rightarrow a < −3$
- (2) $x_1 \cdot x_2 > 0 \Rightarrow a + 2 > 0 \Rightarrow a > −2$
- Пересекаем $a < −3$ и $a > −2$.
Эти промежутки не пересекаются.
Ответ: нет таких $a$.
Вывод: при любом $a$ хотя бы один корень неположителен.
Часть 6. Графический метод (ключ к сложным задачам)
Идея: переписать уравнение в виде $f(x) = g(a)$ или $f(x) = a \cdot (\text{что-то})$ и построить график функции $y = f(x)$.
Количество пересечений $=$ количество корней.
Пример 8 (простейший графический)
Сколько корней имеет уравнение $|x| = a$ в зависимости от $a$?
График: $y = |x|$ — «галочка».
$y = a$ — горизонтальная прямая.
- $a < 0$: нет пересечений ⇒ 0 корней.
- $a = 0$: одно пересечение ⇒ 1 корень ($x = 0$).
- $a > 0$: два пересечения ⇒ 2 корня ($x = \pm a$).
Ответ: $a < 0$: 0 корней; $a = 0$: 1 корень; $a > 0$: 2 корня.
Пример 9 (сдвиг параболы)
При каких $a$ уравнение $x^2 − 4x + 3 = a$ имеет ровно один корень?
Решение
Перепишем: $x^2 − 4x + 3 = a$.
График левой части — парабола $y = x^2 − 4x + 3 = (x−2)^2 − 1$.
Вершина в точке $(2;\, −1)$.
Прямая $y = a$:
- $a < −1$: нет корней.
- $a = −1$: касается вершины ⇒ 1 корень.
- $a > −1$: два корня.
Ответ: $a = −1$.
Часть 7. Типичные ошибки
Ниже приведены частые ошибки и способы их избежать.
| Ошибка | Пример | Как избежать |
|---|---|---|
| Деление на выражение с $a$ без проверки нуля | $(a−2)x = 5 \Rightarrow$ сразу $x = \dfrac{5}{a−2}$ | Записать: «если $a \neq 2$, то…; если $a = 2$, то…» |
| Забывают случай $a = 0$ в $ax^2 + \ldots$ | $ax^2 + x + 1 = 0$ считают всегда квадратным | В начале: «если $a = 0$ — линейное, если $a \neq 0$ — квадратное» |
| Путают «ровно один корень» у квадратного и «дискриминант $= 0$» | — | Сначала проверь вырождение, потом дискриминант |
| Не учитывают ОДЗ в дробях/корнях | $\sqrt{x − a} = 0$ решают без $x \geq a$ | Выпиши ОДЗ для $x$ до начала решения |
| В неравенствах забывают менять знак при делении на отрицательное с параметром | $ax > 3 \Rightarrow x > \dfrac{3}{a}$ при любом $a$ | Разбирай знак $a$: $>0$, $=0$, $<0$ |
Часть 8. Заключение
Теперь у тебя есть базовое понимание темы параметров.
Ты умеешь:
- выделять параметр и понимать его роль в задаче;
- решать линейные уравнения с параметром, разбирая три случая (ноль коэффициента, ноль правой части);
- решать квадратные уравнения с параметром, не забывая про вырождение старшего коэффициента;
- использовать простейший графический метод (горизонтальные прямые).
С такими навыками ты можешь решать:
- задание № 18 ЕГЭ на линейные и квадратные параметры,
- простые задачи на «ровно один корень» и «нет корней»,
- задачи с явным выделением «опасных» значений параметра.
Следующий шаг: дробно-рациональные, иррациональные уравнения и системы, а также метод «прямых и парабол» в плоскости $(x;\, a)$. Но это уже тема для отдельной статьи.
А пока — тренируйся на примерах 1–9. Параметр перестаёт быть страшным, когда ты решаешь его системно.
Автор статьи
