Угол между прямой и плоскостью часто встречается в задании 14 ЕГЭ по профильной математике. В таких задачах нужно работать с объёмной фигурой, строить проекцию и обосновывать перпендикулярность, поэтому ошибки обычно появляются уже на чертеже. Разберём определения, способ решения и типичные ловушки, из-за которых теряются баллы. После статьи ты сможешь аккуратно находить искомый угол.

Теория по частям

Из определения следуют два крайних случая. Если прямая параллельна плоскости, угол равен $0^{\circ}$ . Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен $90^{\circ}$ . Во всех остальных случаях искомый угол острый. Обычно его обозначают буквой $φ$ , причём $0^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ}$ .

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, нужно взять точку на исходной прямой и опустить из неё перпендикуляр на плоскость.

Точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра. Отрезок, который соединяет точку пересечения исходной прямой с плоскостью и основание перпендикуляра, — это проекция.

На рисунке ниже прямая $a$ пересекает плоскость $α$ в точке $A$ . Из точки $B$ прямой $a$ опущен перпендикуляр $B H$ на плоскость $α$ . Тогда $A H$ — проекция прямой $a$ на плоскость, а $∠ B A H$ — угол между прямой $a$ и плоскостью $α$ .[i]

Угол между прямой a и плоскостью α с проекцией AH и перпендикуляром BH.

Как найти угол между прямой и плоскостью

Работай по алгоритму:

Найди точку пересечения исходной прямой и заданной плоскости.
Выбери на прямой удобную точку и опусти из неё перпендикуляр на плоскость. Обычно такой точкой удобно брать вершину многогранника.
Соедини основание перпендикуляра с точкой пересечения прямой и плоскости. Получится проекция.
Отметь угол прямоугольного треугольника между прямой и её проекцией.
Вычисли величину угла через синус, косинус или тангенс.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор задач формата ЕГЭ

Рассмотрим решение задания 14 из ЕГЭ.

Пример

В правильной треугольной призме $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ стороны основания равны $2$, боковые рёбра равны $3$. Найдите угол между прямой $A C_{1}$ и плоскостью $B C C_{1}$ .

Треугольная призма ABCA1B1C1 в задаче ЕГЭ на угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1.

Решение

Шаг 1. Прямая $A C_{1}$ пересекает плоскость $B C C_{1}$ в точке $C_{1}$ . Эта точка будет вершиной искомого угла.

Шаг 2. Нужно опустить перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $B C C_{1}$ . В равностороннем треугольнике основания $A B C$ проведём высоту $A K$ к стороне $B C$ . Точка $K$ делит $B C$ пополам.

В основании призмы проведена высота AK к BC для решения задачи ЕГЭ по стереометрии.

Шаг 3. Докажем перпендикулярность. Так как призма правильная, боковое ребро $C C_{1}$ перпендикулярно основанию $A B C$ , значит, оно перпендикулярно и прямой $A K$ .

При этом $A K ⟂ B C$ , так как $A K$ — высота равностороннего треугольника $A B C$ .

Получается, прямая $A K$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $B C C_{1}$ : прямым $B C$ и $C C_{1}$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A K ⟂ (B C C_{1})$ .

Шаг 4. Отрезок $K C_{1}$ — проекция прямой $A C_{1}$ на плоскость $B C C_{1}$ . Искомый угол находится в прямоугольном треугольнике $A K C_{1}$ с прямым углом при вершине $K$ :
$φ = ∠ A C_{1} K$ .

Проекция KC1 прямой AC1 на плоскость BCC1 в треугольной призме, угол AC1K.

Шаг 5. Найдём стороны треугольника.
Высота равностороннего треугольника со стороной $2$ равна:
$A K = \sqrt{3}$ .

$A C_{1}$ найдём как гипотенузу прямоугольного треугольника $A C C_{1}$ :
$A C_{1} = \sqrt{A C^{2} + C C_{1}^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ .

Шаг 6. Теперь вычислим синус искомого угла:
$\sin ∠ A C_{1} K = \frac{A K}{A C_{1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13}$ .

$∠ A C_{1} K = \arcsin \frac{\sqrt{39}}{13}$ .

Ответ: $\arcsin \frac{\sqrt{39}}{13}$ .

Типичные ошибки и ловушки экзамена

В этих задачах ученики чаще всего допускают следующие ошибки:

Опора на глазомер. Нельзя проводить линию наугад и писать в решении, что отрезок является перпендикуляром. Нужно строго доказывать, что отрезок перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости. Это важно для полного решения.
Путаница тригонометрических функций. Если известны две стороны построенного прямоугольного треугольника, содержащего искомый угол, важно верно определить, какую тригонометрическую функцию по ним можно найти: синус, косинус или тангенс.
Тупые углы в ответе. Угол между прямой и плоскостью не может превышать $90^{\circ}$ . Если при решении у тебя получился тупой угол, значит, в вычислениях допущена ошибка — нужно перепроверить шаги.

Задания для самопроверки

Попробуй ответить на эти вопросы.

Задание № 1
Где находится искомый угол в треугольнике, образованном прямой, перпендикуляром и проекцией?

Ответ: между исходной прямой и проекцией.

Задание № 2
Может ли угол между прямой и плоскостью быть равен $\frac{2 π}{3}$ ?

По определению угол между прямой и плоскостью находится в пределах от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$ . Получить значение $120^{\circ}$ невозможно.

Ответ: нет, не может.

Задание № 3
Прямая $C H = 18$ перпендикулярна плоскости квадрата $A B C D$ со стороной $3 \sqrt{2}$ . Найдите угол между прямой $A H$ и плоскостью квадрата.

1. Построим рисунок.

Квадрат ABCD и перпендикуляр CH к плоскости для нахождения угла между AH и плоскостью. — Рисунок к заданию 3

2. $A C$ — проекция прямой $A H$ на плоскость квадрата. Значит, $∠ H A C$ — искомый угол.

3. Найдём $A C$ как диагональ квадрата $A B C D$ :
$A C = 3 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6$ .

4. Найдём искомый угол из прямоугольного треугольника $A C H$ :
$t g ∠ H A C = \frac{C H}{A C} = \frac{18}{6} = 3$ ;
$∠ H A C = a r c t g 3$ .

Ответ: $a r c t g 3$ .

Итоги

Теперь ты умеешь находить угол между прямой и плоскостью. Ты знаешь, как правильно строить проекцию, доказывать перпендикулярность и вычислять искомый угол через прямоугольный треугольник. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на стереометрию в «100балльном банке».