Часто при решении планиметрических задач легко ошибиться: принять за равные или подобные те фигуры, которые просто кажутся такими на чертеже. За подобное решение без доказательства можно получить ноль баллов. Разберём признаки равенства и подобия треугольников и научимся применять их в заданиях 1 и 17 ЕГЭ.
Отличия равенства от подобия
Равными называются треугольники, которые полностью совпадают при наложении друг на друга. У них абсолютно одинаковые длины сторон и градусные меры углов.
Подобными называют треугольники, имеющие одинаковую форму, но разные размеры. Их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны.
Если увеличить или уменьшить треугольник, получится подобная ему фигура. Если же коэффициент пропорциональности равен единице (то есть увеличили фигуру в $1$ раз), то получится равная фигура.
Признаки равенства треугольников
Существуют три признака равенства треугольников.
1. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника и угол между ними равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие фигуры равны.
2. По одной стороне и двум прилежащим углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то они равны.
3. По трём сторонам. Если у двух треугольников равны попарно все стороны, то они равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
У любых двух прямоугольных треугольников всегда есть пара равных углов — прямые. Поэтому для доказательства их равенства достаточно найти ещё два равных соответствующих элемента:
- два катета,
- катет и прилежащий ему острый угол,
- катет и противолежащий ему острый угол,
- гипотенуза и острый угол,
- гипотенуза и катет.
Признаки подобия треугольников
Существуют три признака подобия треугольников:
1. По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти фигуры подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
3. По трём сторонам. Если три стороны треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то они подобны.
Коэффициент подобия
Коэффициент подобия — число, которое показывает отношение длин соответствующих сторон подобных фигур.
Коэффициент подобия обозначается $k$. Если $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A_1B_1C_1$, то $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k$.
В подобных треугольниках отношения периметров, высот, биссектрис и медиан равны коэффициенту подобия $k$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $k^2$.
Алгоритм решения задач
При решении задач применяй пошаговый алгоритм:
- Обозначь все известные и равные по условию величины на рисунке.
- Найди равные углы, используя свойства параллельных прямых, вертикальных или смежных углов.
- Определи признак подобия или равенства треугольников, который можно применить.
- Для равных фигур приравняй все соответствующие элементы в них.
- Для подобных треугольников составь пропорцию строго из соответствующих сторон. Вырази неизвестную величину через заданные числа и найди ответ.
Пример решения
Разберём задачу из ЕГЭ.
Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите отрезок $BN$, если $MN = 13$, $AC = 65$, а $NC = 28$.
Рисунок к заданию
- Рассмотрим $\bigtriangleup MBN$ и $\bigtriangleup ABC$:
$\angle B$ — общий;
$\angle BNM = \angle BCA$ как соответственные углы при $AC \Vert MN$ и секущей $BC$.
Получаем, что $\bigtriangleup MBN \sim \bigtriangleup ABC$ по двум углам. - Запишем отношение сторон подобных треугольников:
$\dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC}$. - Представим отрезок $BC$ как сумму $BN$ и $NC$. Заменим известные величины их длинами:
$\dfrac{BN}{BN + NC} = \dfrac{MN}{AC};\, \dfrac{BN}{BN + 28} = \dfrac{13}{65}$. - По свойству пропорции решим уравнение и найдём $BN$:
$65BN = 13(BN + 28)$;
$65BN = 13BN + 364$;
$52BN = 364$;
$BN = 7$.
Ответ: $7$.
Типичные ошибки и ловушки на экзамене
Частые ловушки, в которых легко потерять баллы:
- Отношение площадей. Выпускники часто забывают возводить коэффициент в квадрат и считают, что площади относятся как $k$. Помни, что отношение площадей — это всегда $k^2$.
- Составление пропорции. Если перепутать пары сторон, пропорция будет неверной. Соответствующие стороны всегда лежат напротив равных углов.
- Определение углов на глаз. Нельзя утверждать параллельность сторон или равенство углов только потому, что так кажется по рисунку. Нужно доказать это, используя различные свойства и теоремы.
Самопроверка знаний
Реши эти задания самостоятельно для закрепления материала.
Задание 1
Отношение сторон подобных треугольников равно $3$. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Так как площади относятся как $k^2$, получаем $3^2 = 9$.
Ответ: $9$.
Задание 2
Докажите, что прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$ равны, если $\angle CAD = \angle BAD$ и $CD = BD$.
Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. По условию они прямоугольные ($\angle C = \angle B = 90^\circ$), $\angle CAD = \angle BAD$ и $CD = BD$. Значит, прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по катету и противолежащему острому углу.
Задание 3
$AA_1$ и $BB_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны.
Решение
Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$:
$\angle AA_1C = \angle BB_1C = 90^{\circ}$ — так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты;
$\angle C$ — общий.
Следовательно, $\bigtriangleup AA_1C \sim \bigtriangleup BB_1C$ по двум углам.
Заключение
После прочтения этого материала ты знаешь, чем отличаются равенство и подобие треугольников, и умеешь решать задачи на эти темы. Помни, что чаще всего применяется признак подобия по двум углам. Чтобы не запутаться при решении задач, всегда аккуратно строй рисунок и отмечай на нём равные элементы.
Чтобы закрепить материал, советуем решить несколько похожих заданий из нашего банка заданий.
