Признаки равенства и подобия треугольников: теория к ЕГЭ по профильной математике

Если увеличить или уменьшить треугольник, получится подобная ему фигура. Если же коэффициент пропорциональности равен единице (то есть увеличили фигуру в $1$ раз), то получится равная фигура.

Существуют три признака равенства треугольников.

1. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника и угол между ними равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие фигуры равны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

2. По одной стороне и двум прилежащим углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то они равны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

3. По трём сторонам. Если у двух треугольников равны попарно все стороны, то они равны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

У любых двух прямоугольных треугольников всегда есть пара равных углов — прямые. Поэтому для доказательства их равенства достаточно найти ещё два равных соответствующих элемента:

• два катета,
• катет и прилежащий ему острый угол,
• катет и противолежащий ему острый угол,
• гипотенуза и острый угол,
• гипотенуза и катет.

Существуют три признака подобия треугольников:

1. По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти фигуры подобны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

2. По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

3. По трём сторонам. Если три стороны треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то они подобны.Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев — Математика. Геометрия. 7–9 классы. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень:учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. — 15-е изд., перераб. — Москва:Просвещение, 2024. — 416 с.:ил.; 21 см. — (ФГОС). — ISBN 978-5-09-111167-5.[i]

Коэффициент подобия обозначается $k$. Если $△ABC~△A_1{B}_1{C}_1$, то ${\displaystyle \frac{AB}{A_1{B}_1}}={\displaystyle \frac{AC}{A_1{C}_1}}={\displaystyle \frac{BC}{B_1{C}_1}}=k$.

При решении задач применяй пошаговый алгоритм:

1. Обозначь все известные и равные по условию величины на рисунке.
2. Найди равные углы, используя свойства параллельных прямых, вертикальных или смежных углов.
3. Определи признак подобия или равенства треугольников, который можно применить.
4. Для равных фигур приравняй все соответствующие элементы в них.
5. Для подобных треугольников составь пропорцию строго из соответствующих сторон. Вырази неизвестную величину через заданные числа и найди ответ.

Разберём задачу из ЕГЭ.

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите отрезок $BN$, если $MN=13$, $AC=65$, а $NC=28$.fipi.ru[i]

Частые ловушки, в которых легко потерять баллы:

• Отношение площадей. Выпускники часто забывают возводить коэффициент в квадрат и считают, что площади относятся как $k$. Помни, что отношение площадей — это всегда $k^2$.
• Составление пропорции. Если перепутать пары сторон, пропорция будет неверной. Соответствующие стороны всегда лежат напротив равных углов.
• Определение углов на глаз. Нельзя утверждать параллельность сторон или равенство углов только потому, что так кажется по рисунку. Нужно доказать это, используя различные свойства и теоремы.

Реши эти задания самостоятельно для закрепления материала.

Задание 1
Отношение сторон подобных треугольников равно $3$. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Задание 2
Докажите, что прямоугольные треугольники $ABD$ и $ACD$ равны, если $\angle CAD=\angle BAD$ и $CD=BD$.

Задание 3
$A{A}_1$ и $B{B}_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Докажите, что треугольники $A{A}_{1}C$ и $B{B}_{1}C$ подобны.

Решение

Рассмотрим треугольники $A{A}_{1}C$ и $B{B}_{1}C$:
$\angle A{A}_{1}C=\angle B{B}_{1}C={90}^{\circ }$ — так как $A{A}_1$ и $B{B}_1$ — высоты;
$\angle C$ — общий.
Следовательно, $△A{A}_{1}C~△B{B}_{1}C$ по двум углам.

После прочтения этого материала ты знаешь, чем отличаются равенство и подобие треугольников, и умеешь решать задачи на эти темы. Помни, что чаще всего применяется признак подобия по двум углам. Чтобы не запутаться при решении задач, всегда аккуратно строй рисунок и отмечай на нём равные элементы.

Чтобы закрепить материал, советуем решить несколько похожих заданий из нашего банка заданий.