Задачи на стереометрию регулярно встречаются в профильном ЕГЭ по математике. Ошибки здесь часто возникают из-за путаницы в формулах или упущенных коэффициентов. Разберём основные фигуры и формулы их объёма. После прочтения у тебя появится план для работы с подобными и составными многогранниками.
Основные формулы
Стереометрические фигуры условно можно разделить на три типа.
Призмы и цилиндры
Фигуры этого типа имеют два равных параллельных основания. К ним относятся цилиндры и любые призмы, включая прямоугольный параллелепипед и куб. Цилиндр в школьном курсе рассматривается исключительно прямой.
Объём таких геометрических тел вычисляется как произведение площади основания на высоту:
$V = S_{\text{осн}} \cdot h$
У прямой призмы высота совпадает с её боковым ребром. Если дан прямоугольный параллелепипед, то его основанием является прямоугольник. Тогда объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:
$V = a \cdot b \cdot c$
У цилиндра в основании лежит круг, площадь которого равна $\pi \cdot R^2$. Формула объёма прямого цилиндра:
$V = \pi \cdot R^2 \cdot h$
Пирамиды и конусы
Эти фигуры имеют одно основание и противолежащую ему вершину. Объём пирамид и конусов равен трети произведения площади основания на высоту:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Её основанием является треугольник, площадь которого можно вычислить по формулам планиметрии.
В основании конуса лежит круг. Объём конуса вычисляется по формуле:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot h$
Шар
Это отдельная фигура, не входящая в предыдущие типы. Шар не имеет ни оснований, ни вершин. Объём шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3$
Составные фигуры
Иногда удобно разбить многогранник плоскостями на несколько фигур. Объём любой такой составной фигуры равен сумме объёмов её частей.
Если же дана фигура, представляющая собой многогранник с вырезом, для нахождения её объёма нужно из объёма целого многогранника вычесть объём выреза.
Объёмы подобных фигур
Пространственные фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму и пропорциональные измерения.
Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия:
$\dfrac{V_1}{V_2} = k^3$.
Например, если все линейные размеры трёхмерного тела увеличить в $3$ раза, то объём фигуры изменится в $27$ раз (куб коэффициента).
Универсальный алгоритм решения
При решении заданий используй простой порядок действий:
Внимательно прочитай условие и определи тип геометрической фигуры.
Сделай аккуратный чертёж и подпиши все известные линейные размеры.
Выпиши формулу объёма для этого типа фигуры.
Выясни, каких элементов не хватает для применения формулы.
Найди недостающий элемент через теорему Пифагора, свойства прямоугольного треугольника или другие правила планиметрии.
Подставь все значения в формулу и вычисли ответ.
Разбор заданий из ЕГЭ
Рассмотрим решение задания 3 из открытого банка ЕГЭ.
Пример 1
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $2$, $4$ и $8$. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.
Решение
Шаг 1. Найдём объём прямоугольного параллелепипеда:
$V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$.
Шаг 2. По условию куб имеет такой же объём. Формула объёма куба с ребром $a$:
$V = a^3$.
Шаг 3. Составим уравнение и найдём $a$:
$a^3 = 64$;
$a^3 = 4^3$;
$a = 4$.
Значит, ребро куба равно $4$.
Ответ: $4$.
Пример 2
Даны два цилиндра. Объём первого цилиндра равен $15$. У второго цилиндра высота в $3$ раза меньше, а радиус основания в $2$ раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Рисунок к примеру 2
Решение
Шаг 1. Пусть высота первого цилиндра равна $h$, а его радиус $R$. Запишем формулу его объёма:
$V_1 = \pi \cdot R^2 \cdot h = 15$.
Шаг 2. По условию высота второго цилиндра $\frac{h}{3}$, а радиус — $2R$. Запишем его объём:
Рассмотрим ошибки, которые часто допускают при решении:
Ловушка с радиусом и диаметром. Частая ошибка — подставлять в формулу $V = \pi \cdot R^2 \cdot h$ значение диаметра. При чтении условия сразу фиксируй, что дано. Если в задаче указан диаметр, сначала раздели его на два, чтобы найти радиус.
Ловушка с коэффициентом пирамиды. Не считай объём конуса или пирамиды по формуле призмы. Если фигура имеет одно основание и противолежащую ему вершину, произведение площади основания на высоту нужно ещё разделить на три.
Игнорирование степени коэффициента подобия. Не забывай, если все измерения фигуры изменились в $k$ раз, объём изменится в $k^3$.
Самопроверка
Попробуй решить несколько заданий самостоятельно для закрепления материала.
Задание 1
В правильной шестиугольной призме сторона равна $2$, а высота — $10\sqrt{3}$. Найдите её объём.
Найдём площадь основания по формуле площади правильного шестиугольника со стороной $a = 2$: $S_{\text{осн}} = \dfrac{3\sqrt{3}\, a^2}{2} = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot 2^2}{2} = 6\sqrt{3}$.
Вычислим объём призмы, умножив площадь основания на его высоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{3} = 180$.
Ответ: $180$.
Задание 2
Длину и ширину прямоугольного параллелепипеда увеличили в $2$ раза, а высоту оставили без изменений. Во сколько раз изменился объём параллелепипеда?
Пусть измерения параллелепипеда до изменений были равны $a$, $b$ и $c$, а его объём $V_1$: $V_1 = a \cdot b \cdot c$.
Тогда после изменений рёбра стали равны $2a$, $2b$ и $c$. Выразим объём нового параллелепипеда $V_{2}$ через $V_1$: $V_{2} = 2a \cdot 2b \cdot c = 4a \cdot b \cdot c = 4V_1$. Значит, $V_{2}$ в $4$ раза больше $V_1$.
Ответ: в $4$ раза.
Задание 3
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 80$. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в $4$ раза больше, чем у первого?
Пусть радиус основания первого цилиндра $R$. Найдём объём жидкости: $V = \pi \cdot R^2 \cdot h = 80\pi R^2$.
Радиус основания второго цилиндра равен $4R$, а уровень воды обозначим за $x$. Объём воды для второго сосуда: $V = \pi \cdot (4R)^2 \cdot x = \pi \cdot 16R^2 \cdot x = 16\pi R^2 x$.
Так как объём воды не изменился, приравняем два полученных выражения и вычислим $x$: $16\pi R^2 x = 80\pi R^2$; $x = \dfrac{80\pi R^2}{16\pi R^2} = \dfrac{80}{16} = 5$.
То есть высота воды во втором сосуде равна $5$.
Ответ: $5$.
Заключение
Теперь ты умеешь определять тип пространственной фигуры и применять верные формулы для вычисления её размеров. Понимание принципа подобия тел и метода разности для составных многогранников позволит тебе избежать вычислительных ошибок в задании 3 профильного ЕГЭ по математике. Главное — внимательно читать условие, использовать корректные алгоритмы и не путать радиус с диаметром. Чтобы закрепить тему на практике, рекомендуем решить 8–10 аналогичных прототипов из нашего банка заданий.
