Задание 19 профильного ЕГЭ по математике: арифметическая прогрессия

Формулы для арифметической прогрессии

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $a_n$ — $n$-й член, $S_n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии. Для работы с арифметической прогрессией важно знать несколько формул:

• Формула $n$-го члена. $a_n=a_1+d(n-1)$.
• Формулы суммы. $S_n={\displaystyle \frac{a_1+a_n}{2}}·n$ и $S_n={\displaystyle \frac{2a_1+d(n-1)}{2}}·n$.

Свойства прогрессии

• В арифметической прогрессии любой её элемент равен среднему арифметическому своих соседей: $a_n={\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$.
• Разность арифметической прогрессии можно вычислить, если известны два её элемента: $d={\displaystyle \frac{a_n-a_m}{n-m}}$.

Для решения заданий используй следующий пошаговый алгоритм:

1. Прочитай условие и выпиши все известные значения элементов (первый член, разность, порядковый номер, сумму).
2. Сформулируй вопрос задачи и запиши нужные формулы.
3. Подставь числа в формулы и найди нужную величину.
4. Проверь ответ на логическое соответствие начальному условию. Например, номер элемента $n$ выражается строго натуральным числом.

В задачах под номером 19 важны правила делимости и понимание прогрессий. Так как в них рассматривают натуральные или целые числа, разность $d$ обязана быть целым числом. Для возрастающей последовательности $d>0$, а для убывающей $d<0$.

Рассмотрим решения задач.

Задание 1

Дана возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел.
а) Может ли сумма первых четырёх членов этой прогрессии равняться $34$?
б) Может ли сумма первых четырёх членов этой прогрессии равняться $35$?
в) Найдите наименьшее значение суммы первых четырёх членов, если известно равенство $a_1+a_3=18$.Открытый банк заданий ЕГЭ по математике[i]

Решение

Шаг 1. Пункт «а»

Нужно проверить, может ли быть $S_4=34$. Запишем формулу суммы для четырёх элементов:

Приравняем полученное выражение к $34$ и разделим равенство на $2$:

$4a_1+6d=34$;

$2a_1+3d=17$.

Достаточно подобрать один подходящий пример. Пусть $d=3$, тогда:

$2a_1+9=17$;

$2a_1=8$;

$a_1=4$.

Последовательность принимает вид: $4$, $7$, $10$, $13$. Сумма натуральных чисел действительно равна $34$.

Ответ: да.

Шаг 2. Пункт «б»

Проверим равенство $S_4=4a_1+6d=35$.

Посмотрим на чётность чисел. Значение $4a_1$ всегда кратно двум. Число $6d$ также делится на $2$. Сумма двух чётных чисел даёт чётный результат. Число $35$ является нечётным, следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: нет.

Шаг 3. Пункт «в»

Используем условие:

$a_1+a_3=18$.

Выразим третий элемент через формулу $n$-го члена:

$a_3=a_1+2d$.

Подставим расчёт в исходное равенство:

$a_1+a_1+2d=18$;

$2a_1+2d=18$;

$a_1+d=9$.

Представим сумму четырёх элементов в таком виде и подставим $a_1+d=9$:

$S_4=4a_1+6d=4(a_1+d)+2d$;

$4·9+2d=36+2d$.

Требуется найти наименьшую сумму для различных натуральных чисел в возрастающем ряду. Подставим $d=1$ — наименьшее положительное значение. Получится последовательность $8$, $9$, $10$, $11$, её сумма равна $S_4=36+2·1=38$.

Ответ: $38$.

Задание 2

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию. Может ли сумма всех данных чисел равняться $14$?Открытый банк заданий ЕГЭ по математике[i]

Решение

Шаг 1. Анализируем условия

Задана возрастающая прогрессия натуральных чисел. Попробуем найти минимально возможные комбинации путём перебора.

• Если $n=3$, наименьшая возможная сумма получается для последовательности чисел $1$, $2$, $3$, их сумма равна $6$.
• Если $n=4$, наименьшая сумма равна $1+2+3+4=10$.
• Если $n=5$, наименьшая сумма составит $1+2+3+4+5=15$.

Так как $15$ больше $14$, $n$ не может превышать $4$.

Шаг 2. Вычисляем значения

Рассмотрим $n=4$, запишем формулу для $S_4$:

$4a_1+6d=14$;

$2a_1+3d=7$.

Пусть $d=1$:

$2a_1+3=7$;

$2a_1=4$;

$a_1=2$.

Получили последовательность $2$, $3$, $4$, $5$, сумма которой равна $14$.

Ответ: да.

Изучи ловушки, чтобы уверенно получить баллы на ЕГЭ.

• Путаница между номером и значением. Строго отделяй $a_n$ (число в ряду) от переменной $n$ (его порядковое место) и не заменяй одно на другое при решении.
• Игнорирование типа чисел. Словосочетание «натуральные числа» исключает ноль, отрицательные ответы и дроби. После получения ответа дополнительным шагом проверяй его соответствие условию.
• Потеря знака минус. Последовательность может убывать, тогда разность $d$ отрицательна.
• Ответ без обоснования. Если в пунктах «а» и «б» ответ «да», достаточно привести пример, при котором условие выполняется. Но если ответ «нет», это обязательно нужно доказать. В пункте «в» важно вывести полученный ответ и подобрать реальный пример числовой последовательности, который подходит под него.

Реши несколько заданий самостоятельно, чтобы закрепить изученный материал.

Задача 1. Первый член последовательности равен $5$, а шаг равен $4$. Найди десятый элемент.

Задача 2. Первый член последовательности равен $2$, а пятый член $14$. Вычисли разность прогрессии.

Задача 3. Дана последовательность из первых ста натуральных нечётных чисел. Вычисли её сумму.

После изучения этого материала можно уверенно решать задачи из девятнадцатого номера профильного ЕГЭ. Теперь ты умеешь:

• применять формулы для нахождения любого элемента и суммы арифметической прогрессии;
• решать типовые задания на арифметическую прогрессию, в том числе номер 19 из ЕГЭ;
• верно оформлять решение задания и не попадаться в ловушки.

Чтобы закрепить тему, реши 5–7 аналогичных заданий разных типов из банка экзаменационных задач.