Задания со степенной функцией часто встречаются в первой части профильного ЕГЭ по математике. График такой функции меняется до неузнаваемости в зависимости от показателя степени: в одном случае получается парабола, в другом — гипербола, а в третьем появляется ветвь корня. Разберём, как показатель влияет на форму кривой, как читать область определения по уравнению и как решать графические задачи по шагам.

После изучения статьи ты сможешь уверенно определять вид функции и не будешь терять баллы на типичных ошибках.

Основная теория

Поведение её графика полностью зависит от значения показателя $p$ . Рассмотрим основные случаи, которые встречаются в школьной программе.

Показатель — чётное натуральное число

Если степень принимает значения 2, 4, 6 и так далее, функция становится чётной. График симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси координат). Самый известный пример — парабола. Область определения таких функций ничем не ограничена. Вместо переменной можно подставить абсолютно любое число от минус бесконечности до плюс бесконечности.

График параболы степенной функции с чётным показателем симметричен относительно оси ординат.

Показатель — нечётное натуральное число

Когда показатель равен 3, 5, 7, функция называется нечётной. Её график симметричен относительно начала координат (точки пересечения осей). Классический представитель группы — кубическая парабола. Область определения здесь также включает в себя все действительные числа.

График кубической функции с нечётным показателем проходит через начало координат.

Показатель — отрицательное целое число

Рассмотрим вид уравнений наподобие $y = x^{- 1}$ или $y = x^{- 2}$ . Отрицательная степень опускает неизвестную переменную в знаменатель. Выражение $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ . Из-за этого область определения функции сразу меняется: базовое математическое правило запрещает делить на нуль. Следовательно, координата $x$ не может равняться нулю. График распадается на части, которые никогда не пересекают оси. При $p = - 1$ графиком является гипербола.

Гипербола степенной функции с отрицательной степенью не пересекает оси координат.

Показатель — дробное число

Если степень выглядит как положительная дробь (например, $\frac{1}{2}$ ), происходит переход к корням. Запись $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ . В школьном курсе степенная функция с нецелым показателем рассматривается только для неотрицательных значений. График выглядит как плавная ветвь, выходящая из начала координат и уходящая вправо и вверх.

График функции с корнем выходит из начала координат и идёт вправо вверх.

Показатель равен нулю

У функции вида $y = x^{0}$ есть особенность. Любое число в нулевой степени даёт единицу. Графиком является прямая горизонтальная линия $y = 1$ . Однако выражение ноль в нулевой степени не имеет смысла. Точка с координатой $x = 0$ выкалывается на графике, оставляя пустую отметку на сплошной прямой.

Алгоритм решения графических задач

В задании 11 профильного ЕГЭ часто требуется восстановить уравнение по картинке и найти конкретное значение. Чтобы не запутаться, используй пошаговый шаблон действий:

Определи тип функции. Опознай параболу, гиперболу или ветвь корня по рисунку.
Найди смещения графика. Если гипербола поднята выше привычного уровня, значит, к функции прибавили свободное число.
Выбери целочисленную точку. Отыщи на кривой точку, которая точно попадает в перекрестье клеток.
Составь уравнение. Подставь координаты выбранной узловой точки в шаблон функции из условия задачи.
Вычисли коэффициент. Реши полученное уравнение и найди неизвестную переменную (обычно $a$ , $b$ или $k$ ).
Ответь на вопрос задачи. Подставь найденный коэффициент обратно в шаблон и вычисли искомое значение.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор заданий из ЕГЭ

Рассмотрим практическое применение алгоритма на экзаменационных прототипах.

Функция с четным показателем

На рисунке изображён график функции $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ . Найдите $f (- 5)$ .[i]

Парабола в задаче ЕГЭ проходит через точку 1;1 и пересекает ось OY в точке минус 4.

Решение

Шаг 1. На рисунке изображена парабола, пересекающая ось $O Y$ в точке (0; -4). Значение $y$ соответствует переменной $c$ , $c = - 4$ . Нужно найти $b$ .

Шаг 2. Используем любую выделенную точку на графике. Возьмем точку (1; 1).

Шаг 3. Подставим эти координаты в исходное уравнение. Вместо $f (x)$ ставим 1, вместо переменной ставим 1, а вместо $c$ подставим -4:

1 = 2 \cdot 1^{2} + b \cdot 1 - 4

Шаг 4. Вычислим корень и решим уравнение:

1 = 2 + b - 4, b = 3

Теперь известен точный вид функции: $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 4$ .

Шаг 5. Ответим на вопрос задачи. Нужно найти значение функции в точке -5. Подставим это значение вместо $x$ :

f (- 5) = 2 \cdot (- 5)^{2} + 3 \cdot (- 5) - 4

Решим:

f (- 5) = 31

Ответ: 31.

Функция с корнем

На рисунке изображён график функции $f (x) = k \sqrt{x}$ . Найдите значение $x$ , при котором $f (x) = 3, 5$ . По графику видно, что кривая проходит через выделенную узловую точку с координатами $(4; 5)$.[i]

График функции с корнем в задаче ЕГЭ проходит через узловую точку 4;5.

Решение

Шаг 1. На рисунке ветвь параболы, повёрнутая набок. Это классический корень, что подтверждается формулой в условии. Нужно найти коэффициент $k$ .

Шаг 2. Используем точку из графика. Кривая проходит через точку с абсциссой 4 и ординатой 5.

Шаг 3. Подставим эти координаты в исходное уравнение. Вместо $f (x)$ ставим 5, а вместо переменной ставим 4:

5 = k \sqrt{4}

Шаг 4. Вычислим корень и решим уравнение:

5 = 2 k, k = 2, 5

Теперь известен точный вид функции: $f (x) = 2, 5 \sqrt{x}$ .

Шаг 5. Ответим на вопрос задачи. Нужно найти координату, при которой значение функции достигает отметки 3,5. Подставим это значение вместо $f (x)$ :

3, 5 = 2, 5 \sqrt{x}

Выразим корень:

\sqrt{x} = \frac{3, 5}{2, 5}, \sqrt{x} = 1, 4

Шаг 6. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x = 1, 4^{2}, x = 1, 96

Шаг 7. Для проверки расчёта стоит свериться с графиком. Исходное значение 3,5 находится ниже отметки 5 на оси ординат. Следовательно, нужная координата по оси абсцисс должна быть меньше 4. Результат 1,96 удовлетворяет этой логике.

Ответ: 1,96.

Функция с отрицательным показателем

На рисунке изображён график функции $f (x) = \frac{k}{x} + a$ . Найдите, при каком значении $x$ значение функции равно 0,75. График показывает гиперболу, горизонтальная асимптота которой проходит по линии $y = 1$ . Сама ветвь гиперболы проходит через точку (2; 2).[i]

Гипербола в задаче ЕГЭ имеет асимптоту y равно 1 и проходит через точку 2;2.

Решение

Шаг 1. Дробь $\frac{k}{x}$ представляет собой степенную функцию с отрицательным показателем. Параметр $a$ отвечает за сдвиг всего графика вверх или вниз вдоль вертикальной оси.

Шаг 2. Горизонтальная асимптота графика приближается к значению $y = 1$ , но никогда его не пересекает. Это означает, что свободный коэффициент $a = 1$ . Функция принимает вид: $f (x) = \frac{k}{x} + 1$ .

Шаг 3. Возьмём точку (2; 2) и подставим координаты в уравнение:

2 = \frac{k}{2} + 1

Шаг 4. Перенесём единицу в левую часть и решим уравнение:

2 - 1 = \frac{k}{2}, 1 = \frac{k}{2}

Умножим обе части на два и получим $k = 2$ .

Полное уравнение функции выглядит так: $f (x) = \frac{2}{x} + 1$ .

Шаг 5. Найдём координату $x$ при $f (x) = 0, 75$ :

\frac{2}{x} + 1 = 0, 75, \frac{2}{x} = 0, 75 - 1, \frac{2}{x} = - 0, 25

Шаг 6. Выразим делитель. Для этого делимое нужно разделить на частное:

x = \frac{2}{- 0, 25}

Помним, что деление на 0,25 эквивалентно умножению на 4. Проверяем знаки и получаем отрицательный результат:

x = - 8

Ответ: −8.

Типичные ошибки и ловушки экзамена

В экзаменационных номерах есть моменты, на которых легко потерять баллы. Обрати внимание на самые частые ошибки.

Неправильное определение направления сдвига графика. Запись $f (x) = (x + 2)^{2}$ не сдвигает график параболы вправо по оси абсцисс. Важно помнить правило: сложение внутри скобок сдвигает график в отрицательную сторону (влево). Вычитание внутри скобок сдвигает его в положительную сторону (вправо). Выражение $(x + 2)^{2}$ означает сдвиг на две единицы влево.
Игнорирование ограничений в дробях. Нельзя сокращать неизвестные в числителе и знаменателе без фиксации первоначальных условий. При работе с гиперболой нужно сразу прописывать ограничение — знаменатель не равен нулю. Выколотая точка должна обязательно учитываться.
Путаница со свойствами чётности. Ошибочно считать корень нечётной функцией. Функция $y = \sqrt{x}$ определена строго для неотрицательных чисел и располагается только в одной четверти координатной плоскости. Понятия чётности и нечётности к ней неприменимы, так как график лишён симметрии.
Ошибки со знаками при переносе значений. При переносе числа из одной части уравнения в другую всегда нужно менять знак на противоположный. Невнимательность в математических действиях ведёт к неверному нахождению коэффициентов.

Самопроверка

Попробуй решить эти задания самостоятельно для закрепления материала.

Задание 1. Какая область определения у функции $y = x^{\frac{1}{2}}$ ?

Все неотрицательные числа (нуль и положительные). Корень нельзя извлекать из отрицательных значений.

Задание 2. Произошёл горизонтальный сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на 3 единицы. Как будет выглядеть новое уравнение?

Новое уравнение примет вид $y = \frac{1}{x - 3}$ . Сдвиг вправо требует вычитания числа из аргумента.

Задание 3. Если на графике гиперболы $y = \frac{k}{x} + 3$ взята точка с координатами $(1; 8)$, чему равен коэффициент $k$ ?

Коэффициент $k = 5$ . Подстановка координат даёт уравнение $8 = \frac{k}{1} + 3$ . Отсюда $k = 8 - 3 = 5$ .

Ответ: 5.

Задание 4. График функции $f (x) = a (x + b)^{2}$ проходит через вершину $(-2; 0)$ и точку $(0; 12)$. Найдите значение параметра $a$ .

Шаг 1. Координата вершины показывает сдвиг по оси абсцисс. График сдвинут влево на 2 единицы, значит, параметр $b = 2$ . Уравнение принимает вид $f (x) = a (x + 2)^{2}$ .

Шаг 2. Подставим точку $(0; 12)$ и получим: $12 = a (0 + 2)^{2}$ .

Шаг 3. Вычисляем квадрат двойки: $12 = 4 a$ .

Коэффициент $a = 3$ .

Ответ: 3.

Заключение

Теперь ты понимаешь принципы работы со степенной функцией на экзамене. Ты умеешь определять тип графика по показателю степени и учитывать свойства чётности. Также тебе по силам восстанавливать неизвестные коэффициенты уравнений графическим методом по ключевым сдвигам и узловым точкам. Помни про ограничения для корней и гипербол, чтобы не терять баллы при работе с областью определения.

Для закрепления навыка рекомендуем прорешать аналогичные графические задачи из «100балльного банка».