Задания со степенной функцией часто встречаются в первой части профильного ЕГЭ по математике. График такой функции меняется до неузнаваемости в зависимости от показателя степени: в одном случае получается парабола, в другом — гипербола, а в третьем появляется ветвь корня. Разберём, как показатель влияет на форму кривой, как читать область определения по уравнению и как решать графические задачи по шагам.
После изучения статьи ты сможешь уверенно определять вид функции и не будешь терять баллы на типичных ошибках.
Основная теория
Степенная функция задаётся формулой $y = x^p$, где $p$ — заданное действительное число.
Поведение её графика полностью зависит от значения показателя $p$. Рассмотрим основные случаи, которые встречаются в школьной программе.
Показатель — чётное натуральное число
Если степень принимает значения 2, 4, 6 и так далее, функция становится чётной. График симметричен относительно оси ординат (вертикальной оси координат). Самый известный пример — парабола. Область определения таких функций ничем не ограничена. Вместо переменной можно подставить абсолютно любое число от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Показатель — нечётное натуральное число
Когда показатель равен 3, 5, 7, функция называется нечётной. Её график симметричен относительно начала координат (точки пересечения осей). Классический представитель группы — кубическая парабола. Область определения здесь также включает в себя все действительные числа.
Показатель — отрицательное целое число
Рассмотрим вид уравнений наподобие $y = x^{-1}$ или $y = x^{-2}$. Отрицательная степень опускает неизвестную переменную в знаменатель. Выражение $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Из-за этого область определения функции сразу меняется: базовое математическое правило запрещает делить на нуль. Следовательно, координата $x$ не может равняться нулю. График распадается на части, которые никогда не пересекают оси. При $p = -1$ графиком является гипербола.
Показатель — дробное число
Если степень выглядит как положительная дробь (например, $\frac{1}{2}$), происходит переход к корням. Запись $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. В школьном курсе степенная функция с нецелым показателем рассматривается только для неотрицательных значений. График выглядит как плавная ветвь, выходящая из начала координат и уходящая вправо и вверх.
Показатель равен нулю
У функции вида $y = x^0$ есть особенность. Любое число в нулевой степени даёт единицу. Графиком является прямая горизонтальная линия $y = 1$. Однако выражение ноль в нулевой степени не имеет смысла. Точка с координатой $x = 0$ выкалывается на графике, оставляя пустую отметку на сплошной прямой.
Алгоритм решения графических задач
В задании 11 профильного ЕГЭ часто требуется восстановить уравнение по картинке и найти конкретное значение. Чтобы не запутаться, используй пошаговый шаблон действий:
- Определи тип функции. Опознай параболу, гиперболу или ветвь корня по рисунку.
- Найди смещения графика. Если гипербола поднята выше привычного уровня, значит, к функции прибавили свободное число.
- Выбери целочисленную точку. Отыщи на кривой точку, которая точно попадает в перекрестье клеток.
- Составь уравнение. Подставь координаты выбранной узловой точки в шаблон функции из условия задачи.
- Вычисли коэффициент. Реши полученное уравнение и найди неизвестную переменную (обычно $a$, $b$ или $k$).
- Ответь на вопрос задачи. Подставь найденный коэффициент обратно в шаблон и вычисли искомое значение.
Разбор заданий из ЕГЭ
Рассмотрим практическое применение алгоритма на экзаменационных прототипах.
Функция с четным показателем
На рисунке изображён график функции $f(x) = 2x^2 + bx + c$. Найдите $f(-5)$.
Решение
Шаг 1. На рисунке изображена парабола, пересекающая ось $OY$ в точке (0; -4). Значение $y$ соответствует переменной $c$, $c = -4$. Нужно найти $b$.
Шаг 2. Используем любую выделенную точку на графике. Возьмем точку (1; 1).
Шаг 3. Подставим эти координаты в исходное уравнение. Вместо $f(x)$ ставим 1, вместо переменной ставим 1, а вместо $c$ подставим -4:
$1 = 2 \cdot 1^2 + b \cdot 1-4$
Шаг 4. Вычислим корень и решим уравнение:
$1 = 2 + b-4, \, b = 3$
Теперь известен точный вид функции: $f(x) = 2x^2 + 3x-4$.
Шаг 5. Ответим на вопрос задачи. Нужно найти значение функции в точке -5. Подставим это значение вместо $x$:
$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5)-4$
Решим:
$f(-5) = 31$
Ответ: 31.
Функция с корнем
На рисунке изображён график функции $f(x) = k\sqrt{x}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 3,5$. По графику видно, что кривая проходит через выделенную узловую точку с координатами $(4; 5)$.
Решение
Шаг 1. На рисунке ветвь параболы, повёрнутая набок. Это классический корень, что подтверждается формулой в условии. Нужно найти коэффициент $k$.
Шаг 2. Используем точку из графика. Кривая проходит через точку с абсциссой 4 и ординатой 5.
Шаг 3. Подставим эти координаты в исходное уравнение. Вместо $f(x)$ ставим 5, а вместо переменной ставим 4:
$5 = k\sqrt{4}$
Шаг 4. Вычислим корень и решим уравнение:
$5 = 2k, \, k = 2{,}5$
Теперь известен точный вид функции: $f(x) = 2{,}5\sqrt{x}$.
Шаг 5. Ответим на вопрос задачи. Нужно найти координату, при которой значение функции достигает отметки 3,5. Подставим это значение вместо $f(x)$:
$3{,}5 = 2{,}5\sqrt{x}$
Выразим корень:
$\sqrt{x} = \frac{3{,}5}{2{,}5}, \, \sqrt{x} = 1{,}4$
Шаг 6. Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$x = 1{,}4^2, \, x = 1{,}96$
Шаг 7. Для проверки расчёта стоит свериться с графиком. Исходное значение 3,5 находится ниже отметки 5 на оси ординат. Следовательно, нужная координата по оси абсцисс должна быть меньше 4. Результат 1,96 удовлетворяет этой логике.
Ответ: 1,96.
Функция с отрицательным показателем
На рисунке изображён график функции $f(x) = \frac{k}{x} + a$. Найдите, при каком значении $x$ значение функции равно 0,75. График показывает гиперболу, горизонтальная асимптота которой проходит по линии $y = 1$. Сама ветвь гиперболы проходит через точку (2; 2).
Решение
Шаг 1. Дробь $\frac{k}{x}$ представляет собой степенную функцию с отрицательным показателем. Параметр $a$ отвечает за сдвиг всего графика вверх или вниз вдоль вертикальной оси.
Шаг 2. Горизонтальная асимптота графика приближается к значению $y = 1$, но никогда его не пересекает. Это означает, что свободный коэффициент $a = 1$. Функция принимает вид: $f(x) = \frac{k}{x} + 1$.
Шаг 3. Возьмём точку (2; 2) и подставим координаты в уравнение:
$2 = \frac{k}{2} + 1$
Шаг 4. Перенесём единицу в левую часть и решим уравнение:
$2-1 = \frac{k}{2}, \, 1 = \frac{k}{2}$
Умножим обе части на два и получим $k = 2$.
Полное уравнение функции выглядит так: $f(x) = \frac{2}{x} + 1$.
Шаг 5. Найдём координату $x$ при $f(x) = 0{,}75$:
$\frac{2}{x} + 1 = 0{,}75, \, \frac{2}{x} = 0{,}75-1, \, \frac{2}{x} = -0{,}25$
Шаг 6. Выразим делитель. Для этого делимое нужно разделить на частное:
$x = \frac{2}{-0{,}25}$
Помним, что деление на 0,25 эквивалентно умножению на 4. Проверяем знаки и получаем отрицательный результат:
$x = -8$
Ответ: −8.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
В экзаменационных номерах есть моменты, на которых легко потерять баллы. Обрати внимание на самые частые ошибки.
- Неправильное определение направления сдвига графика. Запись $f(x) = (x + 2)^2$ не сдвигает график параболы вправо по оси абсцисс. Важно помнить правило: сложение внутри скобок сдвигает график в отрицательную сторону (влево). Вычитание внутри скобок сдвигает его в положительную сторону (вправо). Выражение $(x + 2)^2$ означает сдвиг на две единицы влево.
- Игнорирование ограничений в дробях. Нельзя сокращать неизвестные в числителе и знаменателе без фиксации первоначальных условий. При работе с гиперболой нужно сразу прописывать ограничение — знаменатель не равен нулю. Выколотая точка должна обязательно учитываться.
- Путаница со свойствами чётности. Ошибочно считать корень нечётной функцией. Функция $y = \sqrt{x}$ определена строго для неотрицательных чисел и располагается только в одной четверти координатной плоскости. Понятия чётности и нечётности к ней неприменимы, так как график лишён симметрии.
- Ошибки со знаками при переносе значений. При переносе числа из одной части уравнения в другую всегда нужно менять знак на противоположный. Невнимательность в математических действиях ведёт к неверному нахождению коэффициентов.
Самопроверка
Попробуй решить эти задания самостоятельно для закрепления материала.
Задание 1. Какая область определения у функции $y = x^{\frac{1}{2}}$?
Все неотрицательные числа (нуль и положительные). Корень нельзя извлекать из отрицательных значений.
Задание 2. Произошёл горизонтальный сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на 3 единицы. Как будет выглядеть новое уравнение?
Новое уравнение примет вид $y = \frac{1}{x-3}$. Сдвиг вправо требует вычитания числа из аргумента.
Задание 3. Если на графике гиперболы $y = \frac{k}{x} + 3$ взята точка с координатами $(1; 8)$, чему равен коэффициент $k$?
Коэффициент $k = 5$. Подстановка координат даёт уравнение $8 = \frac{k}{1} + 3$. Отсюда $k = 8-3 = 5$.
Ответ: 5.
Задание 4. График функции $f(x) = a(x + b)^2$ проходит через вершину $(-2; 0)$ и точку $(0; 12)$. Найдите значение параметра $a$.
Шаг 1. Координата вершины показывает сдвиг по оси абсцисс. График сдвинут влево на 2 единицы, значит, параметр $b = 2$. Уравнение принимает вид $f(x) = a(x + 2)^2$.
Шаг 2. Подставим точку $(0; 12)$ и получим: $12 = a(0 + 2)^2$.
Шаг 3. Вычисляем квадрат двойки: $12 = 4a$.
Коэффициент $a = 3$.
Ответ: 3.
Заключение
Теперь ты понимаешь принципы работы со степенной функцией на экзамене. Ты умеешь определять тип графика по показателю степени и учитывать свойства чётности. Также тебе по силам восстанавливать неизвестные коэффициенты уравнений графическим методом по ключевым сдвигам и узловым точкам. Помни про ограничения для корней и гипербол, чтобы не терять баллы при работе с областью определения.
Для закрепления навыка рекомендуем прорешать аналогичные графические задачи из «100балльного банка».
