В заданиях № 7 и 13 профильного ЕГЭ по математике баллы часто теряются из-за случайно забытого минуса или перепутанных знаков в тригонометрических формулах. Чтобы не зубрить десятки тождеств, достаточно один раз разобраться, как работают функции противоположных углов и по какому принципу выводятся базовые соотношения. В этой статье разберём правила чётности, формулы сложения, типичные ловушки экзамена и алгоритмы решения заданий.

Чётность и нечётность тригонометрических функций

Знание свойств чётности и нечётности функций помогает быстро избавляться от отрицательных углов.

Косинус — чётная функция, поэтому знак минуса в его аргументе просто опускается: $\cos (- α) = \cos α$ .
Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции. Если внутри их аргумента стоит минус, он выносится перед самой функцией:
$\sin (- α) = - \sin α$ ;
(- )=-;
(- )=-.А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков — Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М. Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:углублённый уровень:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. — 8-е изд., стер. — Москва:Просвещение, 2024. — 481 с. — ISBN 978-5-09-116479-4.[i]

Отрицательные значения в аргументах тригонометрических функций часто встречаются в заданиях ЕГЭ. Главное правило — всегда выносить или убирать минус до начала основных преобразований.

Формулы сложения

Формулы сложения позволяют находить значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов.

Формулы синуса суммы и разности:
$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$ ;
$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ .
Формулы для косинуса:
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ ;
$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$ .
Тангенс суммы и разности:
( + )= + 1-;
( - )= - 1+.А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков — Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М. Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:углублённый уровень:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. — 8-е изд., стер. — Москва:Просвещение, 2024. — 481 с. — ISBN 978-5-09-116479-4.[i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Формулы двойного и половинного угла

Если в формулах сложения принять $α = β$ , получатся формулы двойного угла. Они применяются практически в каждом уравнении второй части ЕГЭ.

Синус двойного угла:
$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ .
У косинуса двойного угла есть три формулы. Выбор формулы зависит от того, к какой именно функции нужно свести уравнение при решении:
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ ;
$\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1$ ;
$\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α$ .
Из этих выражений получаются формулы половинного угла или понижения степени:
$\sin (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$ ;
$\cos (\frac{α}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos α}{2}}$ .А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков — Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М. Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:углублённый уровень:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. — 8-е изд., стер. — Москва:Просвещение, 2024. — 481 с. — ISBN 978-5-09-116479-4.[i]

Сумма и разность синусов и косинусов

Для разложения выражений на множители используются формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Сумма и разность синусов:
$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ;
$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cos \frac{α + β}{2}$ .

Сумма и разность косинусов:
$\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ;
$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$ .А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков — Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М. Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс:углублённый уровень:учебник / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. — 8-е изд., стер. — Москва:Просвещение, 2024. — 481 с. — ISBN 978-5-09-116479-4.[i]

Универсальный пошаговый алгоритм решения

Чтобы не путаться в свойствах и тождествах, при решении любого тригонометрического примера используй этот алгоритм:

Проверь аргументы на наличие минусов. Если есть отрицательные углы, примени правила чётности или нечётности.
Изучи сами углы. Если один угол больше другого в два раза, примени формулы двойного или половинного угла.
Сведи все функции к одному или двум аргументам: одинаковые углы позволяют выносить общие множители за скобки.
Выполни подстановку табличных значений. Обязательно проверь знак итоговой функции по тригонометрической окружности.

Разбор заданий первой и второй части ЕГЭ

Разберём классические задачи на вычисление значения выражения и решение уравнений.

Пример 1

Найдите значение выражения:

20 \sqrt{3} \cos (- \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{2})

Решение

Шаг 1. Избавимся от минусов в аргументах по свойствам чётности косинуса и нечётности синуса:

20 \sqrt{3} \cos (- \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{2}) = 20 \sqrt{3} \cos \frac{π}{6} \cdot (- \sin \frac{π}{2}) = - 20 \sqrt{3} \cos \frac{π}{6} \sin \frac{π}{2}

Шаг 2. Подставим табличные значения в выражение и выполним вычисления:

- 20 \sqrt{3} \cos \frac{π}{6} \sin \frac{π}{2} = - 20 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = - \frac{20 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = - 10 \cdot 3 = - 30

Ответ: $- 30$ .

Пример 2

Найдите значение выражения:

\frac{22 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}}{\sin 26^{\circ}}

Решение

Шаг 1. Угол в знаменателе ровно в два раза больше угла в числителе. Воспользуемся формулой синуса двойного угла ( $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ ) в знаменателе:

\frac{22 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}}{\sin 26^{\circ}} = \frac{22 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}}{2 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}}

Шаг 2. Сократим дробь:

\frac{22 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}}{2 \sin 13^{\circ} \cos 13^{\circ}} = \frac{22}{2} = 11

Ответ: $11$.

Пример 3

Решите уравнение: $\cos 2 x + \sqrt{2} \sin x + 1 = 0$ .[i]

Решение

Шаг 1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, содержащей только синус ( $\cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x$ ):

\cos 2 x + \sqrt{2} \sin x + 1 = 0; 1 - 2 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x + 1 = 0; - 2 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x + 2 = 0; 2 \sin^{2} x - \sqrt{2} \sin x - 2 = 0

Шаг 2. Введём замену переменной $t = \sin x$ :

2 t^{2} - \sqrt{2} t - 2 = 0

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

D = {(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 2 + 16 = 18; t_{1} = \frac{- (- \sqrt{2}) - \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{4} = - \frac{2 \sqrt{2}}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}; t_{2} = \frac{- (- \sqrt{2}) + \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{4} = \frac{4 \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}

Шаг 4. Сделаем обратную замену:

\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}; \sin x = \sqrt{2}

Шаг 5. Так как синус не может быть больше единицы и $\sqrt{2} > 1$ , второе полученное уравнение не имеет решений. Решим первое уравнение:

\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}; x = - \frac{π}{4} + 2 π k и x = - \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in ℤ

Ответ: $x = - \frac{π}{4} + 2 π k, x = - \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in ℤ$ .

Ловушки экзамена и типичные ошибки

Чтобы вычисления не привели к потере баллов, обрати внимание на следующие моменты:

Ловушка 1: минус у косинуса. Часто пишут по аналогии с другими функциями: $\cos (- α) = - \cos α$ . Нужно запомнить, что косинус поглощает минус, и результатом будет просто $\cos α$ .
Ловушка 2: потеря знака в разности косинусов. Часто забывают про минус в правой части формулы разности косинусов:
$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$ .
Ловушка 3: неправильный знак при понижении степени. Извлекая квадратный корень при поиске синуса половинного угла, многие всегда пишут знак плюс. Правильно — нарисовать окружность, найти четверть, в которой находится угол $\frac{α}{2}$ , и поставить знак в соответствии с этим.

Практика и проверка знаний

Проверь, как хорошо получилось усвоить материал, решив небольшой блок заданий.

Задание 1

Найди значение выражения (-45°).

Тангенс — нечётная функция, вынесем минус вперёд: (-45°)=- (45°).
Подставим табличное значение и выполним вычисление: - (45°)=-1.

Ответ: $- 1$ .

Задание 2

Упрости выражение $\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ}$ .

Это выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла ( $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ ), воспользуемся ей:
$\cos^{2} 15^{\circ} - \sin^{2} 15^{\circ} = \cos (2 \cdot 15^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$ .
Найдём значение выражения:
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Задание 3

Представь сумму $\sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ}$ в виде произведения и упрости выражение.

Применим формулу суммы синусов, чтобы представить выражение в виде произведения:
$\sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ} = 2 \sin \frac{40^{\circ} + 20^{\circ}}{2} \cos \frac{40^{\circ} - 20^{\circ}}{2} = 2 \sin \frac{60^{\circ}}{2} \cos \frac{20^{\circ}}{2} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ}$ .
Подставим табличное значение в выражение:
$2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 10^{\circ} = \cos 10^{\circ}$ .

Ответ: $\cos 10^{\circ}$ .

Подводим итог

Знание тригонометрических формул — фундамент для успешного выполнения заданий первой и второй части. Теперь ты понимаешь, как избавляться от отрицательных углов, умеешь раскладывать сумму функций на множители и использовать формулы двойного и половинного угла для сокращения выражений. В уравнениях всегда нужно стремиться получить одинаковые функции одного угла.

Чтобы закрепить теорию на практике и уверенно чувствовать себя на вычислительных задачах, рекомендуем прорешать задания в «100балльном банке» — там собраны прототипы разного уровня сложности со всех реальных экзаменов.