Свойства функции косинуса и её график

Рассмотрим свойства функции $y=\cos x$:

• Область определения. Вместо аргумента $x$ в функцию можно подставить любое число. Математически это записывается так: $D(y)=ℝ$.
• Множество значений. График косинуса ограничен сверху и снизу. Значения функции лежат на отрезке $[-1; 1]$ (математическая запись: $E(y)=[-1;1]$).
• Чётность функции. Косинус — чётная функция. Это означает, что $\cos (-x)=\cos x$ для любого значения $x$. Визуально график полностью симметричен относительно вертикальной оси $Oy$.
• Периодичность. Функция повторяет свои значения через равные промежутки. Главный период равен $2\pi$. Формула выглядит так: $\cos (x+2\pi )=\cos x$. График выглядит как непрерывная волна.
• Нули функции. Это точки пересечения графика с осью абсцисс. $\cos x=0$ в точках $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.
• Нахождение максимума и минимума. Наибольшее значение, равное $1$, функция принимает при $x=2\pi n,n\in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение, равное $-1$, достигается в точках $x=\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.
  Интервалы монотонности. Функция возрастает на промежутках $(-\pi +2\pi n;2\pi n)$ и убывает на $(2\pi n;\pi +2\pi n)$, где $n\in \mathbb{Z}$.

График функции $y=\cos x$ — это косинусоида. Это непрерывная плавная линия, которая пересекает ось ординат в точке $(0; 1)$ и обладает всеми свойствами функции косинуса.

Часто встречается функция в общем виде: $y=a\cos (x+b)+c$. Каждый коэффициент влияет на вид графика:

• Коэффициент $a$ отвечает за растяжение или сжатие вдоль вертикальной оси. При $|a|>1$ график растягивается, а при $|a|<1$ — сжимается. При отрицательном значении $a$ график зеркально отражается относительно горизонтальной оси.
• Коэффициент $b$ определяет сдвиг графика вдоль оси $x$. Если $b 0$ — влево.
• Коэффициент $c$ отвечает за параллельный перенос всего графика вверх или вниз вдоль оси $y$ на $с$ единиц.

Рассмотрим, как применять теорию на практике.

Пример 1

Построить график функции $y=2\cos (x-\frac{\pi }{3})-1$.

1. Сначала нужно построить график $y=\cos x$.

2. Перед косинусом стоит коэффициент $2$, поэтому нужно растянуть график в $2$ раза вдоль оси $y$. Теперь максимумы находятся на уровне $y=2$, а минимумы опускаются до $y=-2$. Получается график $y=2\cos x$.

3. Так как в аргументе косинуса находится $(x-\frac{\pi }{3})$, косинусоида смещается вправо на $\frac{\pi }{3}$. Получаем график $y=2\cos (x-\frac{\pi }{3})$.

4. Сделаем вертикальный перенос. Коэффициент $-1$ в конце формулы указывает на то, что всю полученную косинусоиду нужно опустить на одну единицу. Теперь ось симметрии волны находится на прямой $y=-1$.

Ответ:

Перейдём к решению задач.

Пример 2

Реши уравнение $\cos x=x^2+1$.

Решение

1. Левая часть уравнения $\cos x$ никогда не превышает единицу: $\cos x\le 1$.
2. Рассмотрим правую часть уравнения. Значение $x^2$ всегда больше или равно нулю. Следовательно, $x^2+1\ge 1$.
3. Значит, уравнение имеет корни только тогда, когда обе его части строго равны единице одновременно. Получается система уравнений:

4. Второе уравнение системы имеет одно решение $x=0$.
5. Выполним проверку корня в первом уравнении: $\cos 0=1$. Равенство выполняется. Значит, $x=0$ — единственный корень исходного уравнения.

Ответ: $x=0$.

Пример 3

Дана функция $f(x)=a\cos x+b$, где а > 0. Известно, что её максимальное значение равно $2$, а минимальное значение равно $-2$. Найти значение коэффициентов $а$ и $b$.

Решение

Множество значений функции $y=\cos x$ — от −1 до 1. Отрезок $[-2; 2]$ симметричен относительно нуля, значит, вертикального сдвига графика нет ($b=0$). Границы изменились ровно в $2$ раза, следовательно, кривая растянута по вертикали в $2$ раза. Так как $a>0$, получаем $a=2$.

Ответ: $a=2,b=0$.

Ошибки в подобных заданиях часто возникают из-за спешки или потери важных деталей теории. Разберём основные из них.

• Потеря периодичности в ответе. При решении уравнения $\cos x=0$ часто пишут $x=\frac{\pi }{2}$, что вызывает потерю баллов, так как функция периодическая. Правильно писать полное множество корней: $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, обязательно добавляя пометку $n\in \mathbb{Z}$.
• Путаница в направлении сдвига вдоль оси абсцисс. При построении графика функции $y=\cos (x+\frac{\pi }{4})$ многие сдвигают его вправо. Знак плюс перед слагаемым внутри скобки всегда означает сдвиг кривой влево по оси $x$.
• Игнорирование чётности. При работе со сложным аргументом бывает отрицательное значение перед $x$. Если аргументом косинуса является выражение с минусом перед ним, его можно убрать по свойству чётности, например, $\cos (-3x)=\cos (3x)$.

Проверь усвоение материала, решив эти задания для самопроверки.

Задание 1

Какое множество значений принимает функция $y=4\cos x-3$?

Задание 2

Упрости функцию $y=\cos (-x+8\pi )$.

Задание 3

Реши уравнение $\cos x=\pi$.

Теперь ты знаешь основные свойства функции $y=\cos x$ и понимаешь, как коэффициенты влияют на вид графика. Эти знания помогут читать графики по рисункам, находить множество значений и уверенно решать тригонометрические уравнения. Главное — всегда учитывать периодичность и чётность функции и не забывать про ограниченность косинуса от −1 до 1. Чтобы закрепить тему и довести навык до автоматизма, рекомендуем решить 8–10 аналогичных прототипов из нашего банка заданий.