В ЕГЭ по математике функции и их графики встречаются в первой и второй частях. Свойства функции $y = t g x$ часто вызывают трудности из-за разрывов и асимптот. Ученики теряют баллы, забывая про область определения или путая период тангенса с периодом синуса. Разберём свойства этой функции, чтобы уверенно решать тригонометрические задачи.

Основные свойства функции тангенс

Основные свойства функции y = x:

Область определения. Тангенс существует не везде. Так как делить на ноль нельзя, знаменатель (косинус) не должен равняться нулю. Из области существования исключаются точки $x = \frac{π}{2} + π k$ , где $k \in ℤ$ .
Область значений. Тангенс может принимать любые значения. Множество значений записывается как $E (y) = (- \infty; + \infty)$ .
Периодичность. Наименьший положительный период для тангенса равен $T = π$ .
Чётность. Это нечётная функция: $t g (- x) = - t g x$ . График симметричен относительно начала координат.
Поведение на интервалах. На каждом интервале своей области определения (например, от $- \frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2}$ ) функция возрастает. Точек экстремума нет.

График функции тангенса и роль коэффициентов

Тангенсоида — это бесконечное множество одинаковых изогнутых линий. Центральная главная ветвь проходит строго через начало координат. Прямые $x = \frac{π}{2} + π k$ — вертикальные асимптоты графика. Ветви графика бесконечно стремятся к ним.

График тангенса y = tg x с ветвями и вертикальными асимптотами на координатной плоскости

В заданиях иногда встречается функция вида y = a · (x + b) + c. Разберём, за что отвечает каждый коэффициент:

Коэффициент $a$ растягивает или сжимает ветви вдоль вертикальной оси $O y$ . Если перед ним стоит знак минус, график зеркально отразится относительно оси абсцисс.
Параметр $b$ отвечает за параллельный перенос графика влево или вправо вдоль оси $O x$ .
Коэффициент $c$ двигает рисунок вверх или вниз вдоль оси $O y$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Пошаговый алгоритм решения графических задач

Чтобы построить график y = a · (x + b) + c, придерживайся этого плана действий:

Построй график y = x.
Умножь все значения графика на $a$ , и получится сжатый или растянутый график y = a x.
Сдвинь график на $b$ единиц вправо или влево и на $c$ единиц вверх или вниз в зависимости от знаков коэффициентов.

Разбор типичных заданий

Пример № 1

Дана функция f(x) = a · x + b, график которой проходит через точки $(0; - 1)$ и $(\frac{π}{4}; 1)$ . Найдите значение коэффициентов $a$ и $b$ .

Решение

Шаг 1. Подставим координаты первой точки $(0; - 1)$ в исходное уравнение и найдём $b$ :

a · 0 + b = −1;

$a \cdot 0 + b = - 1$ ;

$b = - 1$ .

Шаг 2. Используем вторую точку $(\frac{π}{4}; 1)$ и найденный параметр $b$ , чтобы найти коэффициент $a$ :

a · ( 4 )-1 = 1;

$a \cdot 1 = 2$ ;

$a = 2$ .

Ответ: $a = 2, b = - 1$ .

Пример № 2

Постройте график функции y = (x + 3).

Решение

Шаг 1. Сначала построим график тангенсоиды y = x.

Базовый график функции tg x для построения тангенсоиды и решения задач ЕГЭ

Шаг 2. Прибавление положительного числа $\frac{π}{3}$ внутри аргумента означает параллельный перенос графика вдоль оси $O x$ влево. $\frac{π}{3}$ на графике соответствует двум клеткам по оси $x$ , сдвинем асимптоты и сам график на 2 клетки влево.

График функции tg(x + π/3) после сдвига тангенса влево по оси Ox

Типичные ошибки на экзамене

Избегай следующих ловушек при решении второй части экзамена:

Игнорирование ограничений. Всегда проверяй полученные корни тригонометрических уравнений на соответствие условию $x \neq \frac{π}{2} + π k$ . Часто один из корней попадает ровно в вертикальную асимптоту, и его нужно отсеять.
Спорные периоды. Нельзя использовать период $2 π$ по аналогии с синусом или косинусом. Нужно запомнить, что период функции тангенса равен $π$ .
Попытки вычислить невозможное. Искать числовое значение тангенса для угла в $90^{\circ}$ нельзя. В этой точке функция не определена.
Невнимательность к бланку. В бланк ответа первой части ЕГЭ можно вписать только целое число или конечную десятичную дробь. Наличие буквы $π$ в финальном ответе всегда означает незавершённое решение или вычислительную ошибку.

Проверь себя

Закрепи пройденную теорию с помощью небольших вопросов.

Задание № 1

Пересекает ли график функции y = x ось абсцисс в точке $x = π$ ?

Да. Значение тангенса в точке $π$ равно нулю.

Задание № 2

Укажи интервалы, на которых функция y = x монотонно убывает.

Таких интервалов нет. Тангенс непрерывно возрастает на каждом интервале своей области определения.

Задание № 3

Является ли функция f(x) = x · 2x + x2 чётной или нечётной?

Подставим в функцию $- x$ вместо $x$ и упростим:

f(−x) = −x · (−2x) + (−x)2 = −x · (− 2x) + x2 = x · 2x + x2.

Получилось, что $f (- x) = f (x)$ , значит, функция чётная.

Ответ: функция чётная.

Заключение

Теперь ты знаешь свойства функции $y = t g x$ и понимаешь, как строится её график. Эти знания помогут без ошибок находить область определения, решать уравнения с учётом асимптот. Главное — всегда проверять корни на соответствие ОДЗ, чтобы не потерять баллы во второй части экзамена из-за посторонних решений. Чтобы довести навык до автоматизма, рекомендуем решить 8–10 аналогичных прототипов в «100балльном банке».