Свойства функции синуса и её график

Изучим свойства $y=\sin x$.

• Область определения. Переменная $x$ в аргументе синуса может принимать любые значения. Математически обозначается как $D(y)=ℝ$.
• Область значений. Синус принимает значения от $-1$ до $1$. Следовательно, $E(y)=[-1;1]$.
• Чётность и нечётность. Функция синуса нечётная, то есть $\sin (-x)=-\sin x$. На графике это проявляется в симметрии относительно начала координат.
• Периодичность. Синус — периодическая функция с периодом $T=2\pi$. Это означает равенство $\sin (x+2\pi )=\sin x$.
• Нули функции. Это точки пересечения графика с горизонтальной осью $Ox$. Равенство $\sin x=0$ достигается при $x=\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности. $y=\sin x$ возрастает на отрезках $[-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n]$ и убывает на $[\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{3\pi }{2}+2\pi n]$, где $n\in \mathbb{Z}$.
• Точки экстремума. Максимальное значение, равное $1$, достигается в точках максимума $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$. Минимальное значение, равное $-1$, достигается в точках минимума $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.

График функции $y=\sin x$ на отрезке $[0;2\pi ]$ проходит через точки $(0; 0)$, $(\frac{\pi }{2};1)$, $(\pi ;0)$, $(\frac{3\pi }{2};-1)$ и $(2\pi ;0)$. Полученный фрагмент дублируется влево и вправо — так образуется график, который называется синусоидой.

В задачах часто встречается функция синуса с коэффициентами.

Разберём влияние каждого коэффициента:

• Коэффициент $A$ отвечает за растяжение графика вдоль вертикальной оси $Oy$. Если $A>1$, синусоида растягивается, если $0<A<1$ — сжимается. Отрицательное значение переворачивает график зеркально вниз.
• Коэффициент $\phi$ сдвигает график влево или вправо вдоль оси $Ox$.
• Коэффициент $B$ поднимает или опускает график вдоль оси ординат на $B$ единиц.

Рассмотрим порядок построения графика на примере функции $y=2\sin (x-\frac{\pi }{3})+1$.

1. Сначала построим график $y=\sin x$.

2. Так как коэффициент перед синусом $A=2$, выполним растяжение графика в $2$ раза. Значения функции во всех точках умножаются на $2$.

3. В аргументе синуса стоит разность $(x-\frac{\pi }{3})$, поэтому нужно перенести график на $\frac{\pi }{3}$ вправо. Например, точка $(0; 0)$ переместится в $(\frac{\pi }{3};0)$.

4. Так как к синусу прибавляется единица, нужно сдвинуть график на $1$ вверх.

5. Получаем график функции $y=2\sin (x-\frac{\pi }{3})+1$.

Решим несколько задач на свойства синуса.

Пример 1

Реши уравнение $\sin x-1=x^2$.

Решение

1. Оценим значение левой части уравнения:

$-1\le \sin x\le 1$;

$-2\le \sin x-1\le 0$.

2. Рассмотрим правую часть уравнения. Значение $x^2$ всегда больше или равно нулю: $x^2\ge 0$.

3. Значит, уравнение имеет корни только тогда, когда обе его части строго равны нулю одновременно. Получается система уравнений:

4. Второе уравнение системы имеет одно решение $x=0$.

5. Подставим корень в первое уравнение: $\sin 0-1=0-1=-1$. Получили, что при $x=0$ уравнение обращается в неверное равенство. Других корней уравнение иметь не может, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

Пример 2

Является ли функция $f(x)=\sin (x-2\pi )-x$ чётной или нечётной?

Решение

1. Упростим функцию, отбросив период в аргументе синуса:

$f(x)=\sin (x-2\pi )-x=\sin x-x$.

2. Подставим $-x$ вместо $x$ и преобразуем:

$f(-x)=\sin (-x)-(-x)=-\sin x+x=-(\sin x-x)=-f(x)$.

3. Получили, что $f(-x)=-f(x)$, значит, функция является нечётной.

Ответ: функция $f(x)=\sin (x-2\pi )-x$ нечётная.

Чтобы не потерять баллы на простых ловушках, проверяй решения по этому списку:

• Игнорирование коэффициентов. Ошибочно считать, что максимальное значение функции $y=4\sin x+2$ равно $3$. Важно сначала учесть множитель $4$: функцию $\sin x$ он расширяет до отрезка от $-4$ до $4$. И только затем к границам интервала прибавляется вертикальный сдвиг. Верное максимальное значение составит $4+2=6$.
• Путаница с переменными. Рассуждая над уравнением $\sin x=0,5$, можно по ошибке решить, что аргумент $x$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Важно помнить: неизвестная переменная $x$ представляет собой угол, поэтому может принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Отрезком $[-1; 1]$ ограничен только сам результат вычисления функции синуса.
• Потеря минуса. Запись $\sin (-x)=\sin x$ — грубая ошибка. Функция синуса нечётная, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$.

Проверим понимание ключевых правил и свойств.

Задание 1. Найди область определения и множество значений функции $y=-3\sin x+4$.

Задание 2. В какую сторону сдвинут график функции $y=\sin (x+\frac{\pi }{4})$ относительно графика $y=\sin x$?

Задание 3. Найди минимальное значение функции $y=10\sin x-3$.

Теперь ты умеешь определять свойства функции $y=\sin x$, строить её график и понимать, как каждый коэффициент в уравнении влияет на его форму. Ты знаешь, чем отличаются область определения и множество значений, и можешь применять эти знания для поиска максимумов и минимумов без помощи производной. Чтобы набить руку на экзаменационных формулировках, рекомендуем решить 8–10 задач на свойства тригонометрических функций из нашего банка заданий. Практика поможет тебе не бояться ловушек со знаками и легко справляться с тригонометрией на профильном ЕГЭ.