Область определения и множество значений тригонометрических функций нужны в заданиях ЕГЭ по профильной математике, особенно при работе с графиками, уравнениями, производными и экстремумами. Ошибки часто возникают из-за механического запоминания формул: в нестандартном примере становится непонятно, какие значения можно подставлять и какие результаты вообще возможны. Разберём свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса так, чтобы ими можно было пользоваться в задачах.

Основные свойства тригонометрических функций

Чтобы решать задания первой и второй части ЕГЭ, нужно уверенно пользоваться базовыми свойствами тригонометрических функций. Начнём с области определения и множества значений.

Область определения

Для синуса и косинуса ограничений нет. Можно подставить любой угол, и функция будет существовать:

D (\sin x) = ℝ, D (\cos x) = ℝ

Тангенс — это отношение синуса к косинусу: x = x x. Там, где косинус равен нулю, тангенс не существует, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому область определения y = x — все действительные числа, кроме точек вида $x = \frac{π}{2} + π k$ , где $k \in ℤ$ .
Котангенс — это отношение косинуса к синусу: x = x x. Поэтому котангенс не определён там, где синус равен нулю: $x = π k$ , где $k \in ℤ$ .

Множество значений

Синус и косинус ограничены отрезком $[- 1; 1]$ :

E (\sin x) = [- 1; 1], E (\cos x) = [- 1; 1]

Тангенс и котангенс не ограничены по вертикали. Их графики уходят вверх и вниз бесконечно, поэтому их множества значений — все действительные числа:

E( x) = R, , E( x) = R

Чётность и нечётность

Свойства чётности и нечётности помогают упрощать выражения с отрицательными углами.

Косинус — чётная функция:

\cos (- x) = \cos x

Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции:

(−x) = − x; , (−x) = − x; , (-x) = - x

Периодичность

Тригонометрические функции периодичны. Наименьшее положительное число, через которое их значения начинают повторяться, называют основным периодом.

Для синуса и косинуса основной период равен:

T = 2 π

Для тангенса и котангенса основной период равен:

T = π

Как находить множество значений выражения

Для выражений вида $y = a \sin (k x) + b$ или $y = a \cos (k x) + b$ удобно действовать по алгоритму.

Выдели базовую тригонометрическую часть: $\sin x$ , $\cos x$ , $\sin (k x)$ или $\cos (k x)$ .
Запиши стандартные границы: $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ или $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ .
Умножь все части неравенства на коэффициент $a$ . Если коэффициент отрицательный, знаки неравенства меняются.
Прибавь или вычти свободное число $b$ во всех частях двойного неравенства.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор заданий

Пример № 1

Найди множество значений функции $y = 3 \sin 2 x + 5$ .

Решение

Шаг 1. Начнём оценку значений с $\sin 2 x$ :

- 1 ⩽ \sin 2 x ⩽ 1

Шаг 2. Умножаем каждую часть неравенства на $3$:

- 3 ⩽ 3 \sin 2 x ⩽ 3

Шаг 3. Прибавляем $5$ ко всем частям:

- 3 + 5 ⩽ 3 \sin 2 x + 5 ⩽ 3 + 5

Шаг 4. Получаем:

2 ⩽ y ⩽ 8

Ответ: $E (y) = [2; 8]$ .

Пример № 2 (задание 12 ЕГЭ)

Найдите наименьшее значение функции $y = 6 \cos x + 24 x + 1$ на отрезке $[0; \frac{3 π}{2}]$ .

Решение

Шаг 1. Найдём производную:

y^{'} = - 6 \sin x + 24

Шаг 2. Чтобы найти возможные точки экстремума, приравняем производную к нулю:

- 6 \sin x + 24 = 0; 6 \sin x = 24; \sin x = 4

Шаг 3. Синус не может быть больше $1$, а $4 > 1$ . Значит, уравнение не имеет корней. Точек экстремума на отрезке нет.

Шаг 4. Определим знак производной:

- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1; - 6 ⩽ - 6 \sin x ⩽ 6; 18 ⩽ - 6 \sin x + 24 ⩽ 30

Шаг 5. Если производная положительна на всём отрезке, функция возрастает. Значит, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, при $x = 0$ .

Шаг 6. Подставим $x = 0$ в исходную функцию:

y (0) = 6 \cos 0 + 24 \cdot 0 + 1 = 6 \cdot 1 + 0 + 1 = 7

Ответ: $7$.

Типичные ошибки на экзамене

Записывать в бланк ответ с $π$ или корнем. В заданиях первой части ЕГЭ ответ обычно должен быть конечной десятичной дробью или целым числом. Если при решении получается ответ с $π$ , проверь решение на ошибку.
Ошибаться со знаком косинуса отрицательного угла. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (- 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ}$ . Минус в аргументе не делает значение косинуса отрицательным.
Ограничивать тангенс как синус или косинус. Синус и косинус принимают значения только от $- 1$ до $1$, но тангенс этим отрезком не ограничен. Например, у функции y = x + 5 нет наибольшего и наименьшего значения, так как она может быть равна любому значению.

Самопроверка

Реши задания, а затем проверь рассуждение.

Задание № 1

Является ли функция $y = \sin 3 x$ чётной или нечётной?

Подставим $- x$ вместо $x$ : $\sin (3 \cdot (- x)) = \sin (- 3 x)$ .
Так как синус — нечётная функция: $\sin (- 3 x) = - \sin (3 x)$ .
Получили, что $y (- x) = - y (x)$ , значит, функция нечётная.

Ответ: функция нечётная.

Задание № 2

Найди множество значений функции $f (x) = - 4 \cos x + 1$ .

Косинус принимает значения от $- 1$ до $1$:
$- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ .
Умножаем все части на $- 4$ и меняем знаки неравенства:
$4 ⩾ - 4 \cos x ⩾ - 4; - 4 ⩽ - 4 \cos x ⩽ 4$ .
Прибавим $1$:
$- 3 ⩽ - 4 \cos x + 1 ⩽ 5$ .

Ответ: $[- 3; 5]$ .

Подводим итог

Теперь ты знаешь, как определять область определения и множество значений для тригонометрических функций. Ты умеешь использовать свойства чётности и периодичности, чтобы упрощать выражения, и знаешь алгоритм поиска множества значений для сложных функций. Эти навыки помогут тебе не терять баллы в заданиях с графиками и при поиске экстремумов в ЕГЭ по профильной математике. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить несколько аналогичных прототипов из нашего банка заданий.