Обратные тригонометрические функции: теория и разбор задач ЕГЭ

Приставка «арк» в математике означает «дуга» или «угол». Если обычная тригонометрическая функция берёт угол и выдаёт число, то обратная функция делает наоборот: принимает число и возвращает угол.

Обычные тригонометрические функции периодичны, поэтому одно и то же значение повторяется бесконечно много раз. Чтобы обратная операция давала один ответ, для каждой функции выбирают специальный промежуток. Его называют главной ветвью.

Главные свойства арксинуса:

• область определения: $[-1; 1]$;
• множество значений: $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$;
• функция нечётная: $\arcsin(-x) =-\arcsin x$;
• функция возрастает на всей области определения.

Ограничение $[-1; 1]$ появляется потому, что синус не может быть больше $1$ или меньше $-1$. График $y = \arcsin x$ симметричен графику синуса на главной ветви относительно прямой $y = x$.

Главные свойства арккосинуса:

• область определения: $[-1; 1]$;
• множество значений: $[0; \pi]$;
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• функция убывает на всей области определения.

С отрицательными аргументами работает формула:
$\arccos(-x) = \pi-\arccos x$.

Главные свойства арктангенса:

• область определения: $(-\infty; +\infty)$;
• множество значений: $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$;
• функция нечётная: $\operatorname{arctg}(-x) =-\operatorname{arctg} x$;
• функция возрастает.

График арктангенса приближается к двум горизонтальным асимптотам: $y = \frac{\pi}{2}$ при движении вправо и $y =-\frac{\pi}{2}$ при движении влево.

Функция $y = \arcctg x$ выбирает угол из интервала $(0; \pi)$. Её область определения — вся числовая прямая. Арккотангенс, как и арккосинус, не является ни чётной, ни нечётной функцией. Для отрицательного аргумента используется формула:

$\arcctg(-x) = \pi-\arcctg x$.

Чтобы не запутаться в значениях, действуй по одному алгоритму.

1. Проверь границы. Для арксинуса и арккосинуса аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Если он выходит за эти границы, выражение не имеет смысла или уравнение не имеет решений.
2. Избавься от отрицательных аргументов. Для арксинуса и арктангенса минус можно вынести перед функцией. Для арккосинуса и арккотангенса нужно использовать вычитание из $\pi$.
3. Найди базовый угол. Вспомни табличные значения и определи угол, который даёт нужное значение функции.
4. Проверь промежуток. Ответ должен попасть в главную ветвь нужной обратной функции.

Рассмотрим решение заданий с аркфункциями.

Пример № 1

Найди значение выражения:

$6\sqrt{3} \cdot \cos(\arcsin 0{,}5)$.

Решение

1. Пусть $\arcsin 0{,}5 = \alpha$. По определению арксинуса угол $\alpha$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, при этом $\sin \alpha = 0{,}5$. Значит:

   $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$.

2. Подставляем найденный угол в исходное выражение:

   $6\sqrt{3} \cdot \cos\dfrac{\pi}{6}$.

3. Используем табличное значение:

   $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Выполняем умножение:

   $6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

Ответ: 9.

Пример № 2

Реши уравнение:

$\arccos(2x-3) = \dfrac{\pi}{3}$.

Решение

1. Проверяем правую часть. Значение $\frac{\pi}{3}$ входит в промежуток значений арккосинуса $[0; \pi]$, значит, уравнение может иметь решение.

2. Используем определение арккосинуса. Если $\arccos a = b$, то $a = \cos b$. Получаем:

   $2x-3 = \cos\dfrac{\pi}{3}$.

3. Находим значение косинуса:

   $\cos\dfrac{\pi}{3} = 0{,}5$.

4. Решаем линейное уравнение:

   $2x-3 = 0{,}5$;

   $2x = 3{,}5$;

   $x = 1{,}75$.

5. Проверяем аргумент арккосинуса:

   $2 \cdot 1{,}75-3 = 0{,}5$.

   Число $0{,}5$ входит в отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: 1,75.

Разберём основные ловушки, в которых чаще всего теряют баллы:

• Ловушка прямого сокращения. Нельзя считать, что $\arcsin(\sin x)$ всегда равен $x$. Равенство $\arcsin(\sin x) = x$ верно только тогда, когда угол $x$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Например, $\arcsin(\sin 10) \neq 10$, так как угол $10$ радиан не попадает в главный промежуток арксинуса. В этом случае нужно по формулам приведения преобразовать аргумент синуса, чтобы он входил в этот промежуток: $\arcsin(\sin 10) = \arcsin(\sin (3\pi-10)) = 3\pi-10$.
• Ловушка с минусом внутри. Нельзя выносить минус из-под арккосинуса так же, как из-под арксинуса. Ошибочна запись: $\arccos(-0{,}5) =-\arccos(0{,}5) =-\frac{\pi}{3}$. Правильное решение: $\arccos(-0{,}5) = \pi-\arccos(0{,}5) = \pi-\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Перейдём к практике.

Задание № 1

Вычисли значения:

1. $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
2. $\arctg(-1)$.
3. $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Задание № 2

Найди значение: $\arccos(\cos 4)$.

Обратные тригонометрические функции нужны, чтобы находить угол по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. У каждой аркфункции есть своя главная ветвь, поэтому перед сокращением выражений нужно проверять допустимый промежуток. Арксинус и арктангенс позволяют вынести минус вперёд, а для арккосинуса и арккотангенса используется вычитание из $\pi$. На ЕГЭ чаще всего ошибаются именно в выражениях вида $\arcsin(\sin x)$ и $\arccos(\cos x)$, когда угол не попадает в нужные границы. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».