Обратные тригонометрические функции: теория и разбор задач ЕГЭ

Приставка «арк» в математике означает «дуга» или «угол». Если обычная тригонометрическая функция берёт угол и выдаёт число, то обратная функция делает наоборот: принимает число и возвращает угол.

Обычные тригонометрические функции периодичны, поэтому одно и то же значение повторяется бесконечно много раз. Чтобы обратная операция давала один ответ, для каждой функции выбирают специальный промежуток. Его называют главной ветвью.

Главные свойства арксинуса:

• область определения: $[-1; 1]$;
• множество значений: $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$;
• функция нечётная: $\arcsin (-x)=-\arcsin x$;
• функция возрастает на всей области определения.

Ограничение $[-1; 1]$ появляется потому, что синус не может быть больше $1$ или меньше $-1$. График $y=\arcsin x$ симметричен графику синуса на главной ветви относительно прямой $y=x$.

Главные свойства арккосинуса:

• область определения: $[-1; 1]$;
• множество значений: $[0;\pi ]$;
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• функция убывает на всей области определения.

С отрицательными аргументами работает формула:
$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$.

Главные свойства арктангенса:

• область определения: $(-\infty ;+\infty )$;
• множество значений: $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$;
• функция нечётная: $arctg(-x)=-arctgx$;
• функция возрастает.

График арктангенса приближается к двум горизонтальным асимптотам: $y=\frac{\pi }{2}$ при движении вправо и $y=-\frac{\pi }{2}$ при движении влево.

Функция y = x выбирает угол из интервала $(0;\pi )$. Её область определения — вся числовая прямая. Арккотангенс, как и арккосинус, не является ни чётной, ни нечётной функцией. Для отрицательного аргумента используется формула:

(-x) = - x.

Чтобы не запутаться в значениях, действуй по одному алгоритму.

1. Проверь границы. Для арксинуса и арккосинуса аргумент должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Если он выходит за эти границы, выражение не имеет смысла или уравнение не имеет решений.
2. Избавься от отрицательных аргументов. Для арксинуса и арктангенса минус можно вынести перед функцией. Для арккосинуса и арккотангенса нужно использовать вычитание из $\pi$.
3. Найди базовый угол. Вспомни табличные значения и определи угол, который даёт нужное значение функции.
4. Проверь промежуток. Ответ должен попасть в главную ветвь нужной обратной функции.

Рассмотрим решение заданий с аркфункциями.

Пример № 1

Найди значение выражения:

$6\sqrt{3}·\cos (\arcsin 0,5)$.

Решение

1. Пусть $\arcsin 0,5=\alpha$. По определению арксинуса угол $\alpha$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$, при этом $\sin \alpha =0,5$. Значит:

   $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

2. Подставляем найденный угол в исходное выражение:

   $6\sqrt{3}·\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

3. Используем табличное значение:

   $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

4. Выполняем умножение:

   $6\sqrt{3}·{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{6·3}{2}}=9$.

Ответ: 9.

Пример № 2

Реши уравнение:

$\arccos (2x-3)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Решение

1. Проверяем правую часть. Значение $\frac{\pi }{3}$ входит в промежуток значений арккосинуса $[0;\pi ]$, значит, уравнение может иметь решение.

2. Используем определение арккосинуса. Если $\arccos a=b$, то $a=\cos b$. Получаем:

   $2x-3=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

3. Находим значение косинуса:

   $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=0,5$.

4. Решаем линейное уравнение:

   $2x-3=0,5$;

   $2x=3,5$;

   $x=1,75$.

5. Проверяем аргумент арккосинуса:

   $2·1,75-3=0,5$.

   Число $0,5$ входит в отрезок $[-1; 1]$.

Ответ: 1,75.

Разберём основные ловушки, в которых чаще всего теряют баллы:

• Ловушка прямого сокращения. Нельзя считать, что $\arcsin (\sin x)$ всегда равен $x$. Равенство $\arcsin (\sin x)=x$ верно только тогда, когда угол $x$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$. Например, $\arcsin (\sin 10)\ne 10$, так как угол $10$ радиан не попадает в главный промежуток арксинуса. В этом случае нужно по формулам приведения преобразовать аргумент синуса, чтобы он входил в этот промежуток: $\arcsin (\sin 10)=\arcsin (\sin (3\pi -10))=3\pi -10$.
• Ловушка с минусом внутри. Нельзя выносить минус из-под арккосинуса так же, как из-под арксинуса. Ошибочна запись: $\arccos (-0,5)=-\arccos (0,5)=-\frac{\pi }{3}$. Правильное решение: $\arccos (-0,5)=\pi -\arccos (0,5)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$.

Перейдём к практике.

Задание № 1

Вычисли значения:

1. $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
2. (-1).
3. $\arccos (-\frac{1}{2})$.

Задание № 2

Найди значение: $\arccos (\cos 4)$.

Обратные тригонометрические функции нужны, чтобы находить угол по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. У каждой аркфункции есть своя главная ветвь, поэтому перед сокращением выражений нужно проверять допустимый промежуток. Арксинус и арктангенс позволяют вынести минус вперёд, а для арккосинуса и арккотангенса используется вычитание из $\pi$. На ЕГЭ чаще всего ошибаются именно в выражениях вида $\arcsin (\sin x)$ и $\arccos (\cos x)$, когда угол не попадает в нужные границы. Чтобы закрепить тему, реши несколько похожих заданий в «100балльном банке».