Угол между плоскостями в задании 14 ЕГЭ по профильной математике

Представь приоткрытую книгу. Её страницы образуют двугранный угол. Когда две плоскости пересекаются в пространстве, они делят пространство на четыре части. Получаются четыре двугранных угла: два равных тупых и два равных острых. Иногда все четыре угла прямые.

Если плоскости пересекаются, угол больше 0 и не больше 90 градусов.

Если в условии сказано, что плоскости совпадают или параллельны, угол между ними считают равным 0.

Существуют разные способы найти угол между плоскостями. Выбор зависит от того, насколько удобно строить дополнительные линии на чертеже и можно ли ввести координаты.

Классический геометрический метод

Этот способ основан на поиске линейного угла двугранного угла.

Алгоритм такой:

1. Найди общую прямую, по которой пересекаются заданные плоскости.
2. Выбери на этой прямой удобную точку.
3. Проведи через выбранную точку в каждой плоскости прямую, перпендикулярную линии их пересечения.
4. Вычисли плоский угол между двумя проведёнными перпендикулярами. Его градусная мера равна искомому углу.

Главное условие: оба перпендикуляра нужно проводить из одной и той же точки линии пересечения.

Векторно-координатный метод

Иногда строить перпендикуляры на рисунке неудобно. Тогда помогает координатный метод. Если задать фигуру в прямоугольной системе координат, каждую плоскость можно описать уравнением вида:

$Ax + By + Cz + D = 0$.

Вектор нормали к ней имеет координаты:

$\vec{n} = \{A; B; C\}$.

Косинус угла $\varphi$ между двумя плоскостями вычисляется через нормальные векторы:

$\cos \varphi = \dfrac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$.

Обрати внимание на модуль в числителе. Скалярное произведение нормальных векторов может получиться отрицательным, а отрицательный косинус соответствует тупому углу. Угол между плоскостями по определению не бывает тупым, поэтому модуль гарантирует острый или прямой угол.

Метод площади ортогональной проекции

В задачах ЕГЭ часто удобно использовать теорему о площади проекции. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна площади исходного многоугольника, умноженной на косинус угла между этими плоскостями:

$S_{pr} = S \cdot \cos \varphi$.

Отсюда:

$\cos \varphi = \dfrac{S_{pr}}{S}$.

Метод особенно полезен, когда проекция фигуры на основание многогранника находится легче, чем стороны наклонного сечения.

Разберём задачу из открытого банка ФИПИ.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$.

Шаг 1. Анализируем плоскости

Плоскость $AB_1C_1$ проходит через точку $D$. Значит, можно рассматривать $AB_1C_1D$.

Плоскость $A_1B_1C$ тоже проходит через точку $D$. Значит, это $A_1B_1CD$.

Шаг 2. Выбираем метод

Для куба удобно использовать координаты: рёбра куба взаимно перпендикулярны, а длину ребра можно принять за $1$.

Шаг 3. Вводим систему координат

Поместим начало координат в точку $D$.

Оси направим так:

• ось $Ox$ — по ребру $DA$;
• ось $Oy$ — по ребру $DC$;
• ось $Oz$ — по ребру $DD_1$.

Тогда для первой плоскости можно взять точки:

$D(0; 0; 0), \quad A(1; 0; 0), \quad C_1(0; 1; 1)$.

Для второй возьмём точки:

$D(0; 0; 0), \quad C(0; 1; 0), \quad A_1(1; 0; 1)$.

Шаг 4. Находим уравнение первой плоскости

Запишем общее уравнение:

$Ax + By + Cz + D = 0$.

Первая плоскость проходит через начало координат, поэтому свободный коэффициент равен 0.

Подставим точки $A(1; 0; 0)$ и $C_1(0; 1; 1)$. Получаем уравнение:

$y-z = 0$.

Значит, нормальный вектор первой плоскости:

$\vec{n_1} = \{0; 1; -1\}$.

Шаг 5. Находим уравнение второй плоскости

Вторая плоскость также проходит через начало координат. Подставим точки $C(0; 1; 0)$ и $A_1(1; 0; 1)$. Получаем уравнение:

$x-z = 0$.

Нормальный вектор второй плоскости:

$\vec{n_2} = \{1; 0; -1\}$.

Шаг 6. Вычисляем угол

Используем формулу для косинуса угла между плоскостями:

$\cos \varphi = \dfrac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$.

Значит, $\cos \varphi = \frac{1}{2}$, тогда $\varphi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

Ответ попадает в допустимый диапазон от 0 до 90 градусов, поэтому результат согласуется с определением угла между плоскостями.

В задачах на угол между плоскостями часто теряют баллы из-за нескольких повторяющихся ошибок.

Ошибка 1. Забыть модуль в координатной формуле. Если косинус получился отрицательным, угол получится тупым. Для угла между плоскостями это неверно. В числителе координатной формулы всегда должен стоять модуль.

Ошибка 2. Строить перпендикуляры из разных точек. Линейный угол двугранного угла всегда строится из одной точки на линии пересечения плоскостей. Если перпендикуляры проведены из разных точек, полученный угол не будет искомым.

Ошибка 3. Применять формулу площади проекции без проверки. Перед использованием формулы $S_{pr} = S \cdot \cos \varphi$ нужно убедиться, что одна фигура — действительно ортогональная проекция другой на выбранную плоскость.

Реши короткие задания без подсказок, а затем сверься с ответами.

Задание № 1

В решении получилось, что угол между двумя плоскостями куба равен $120$ градусам. Какая ошибка допущена?

Задание № 2

Векторы нормалей двух плоскостей заданы координатами $\overrightarrow{n_1} = \{1; 0; 0\}$ и $\overrightarrow{n_2} = \{0; 1; 0\}$. Найди угол между этими плоскостями.

Задание № 3

Площадь наклонного прямоугольного сечения цилиндра равна $20$, а площадь основания цилиндра равна $10$. Чему равен угол между плоскостью сечения и плоскостью основания?

Теперь ты знаешь, что угол между плоскостями всегда лежит в диапазоне от 0 до 90 градусов включительно. Его можно находить геометрически через линейный угол, координатно через нормальные векторы или через площадь ортогональной проекции. В задачах с кубом и призмой чаще всего быстрее работает координатный метод, а в задачах с сечениями полезно проверять проекцию. Чтобы закрепить тему и не терять баллы, рекомендуем порешать прототипы задания 14 в «100балльном банке».