Расстояния в стереометрии часто встречаются в заданиях ЕГЭ по профильной математике. Ошибки обычно появляются на этапе построения перпендикуляра или выбора нужной плоскости. Метод координат помогает перевести чертёж в вычисления: задать точки, составить уравнение плоскости и применить формулу расстояния. В статье разберём основные формулы, алгоритм решения и типичные ловушки.
Теория метода координат
Метод координат позволяет перейти от геометрических доказательств к расчётам. Каждой точке сопоставляется набор чисел — её координаты, — и благодаря этому расстояния, длины отрезков и положение фигур относительно друг друга вычисляются с помощью формул.
Расстояние между двумя точками на плоскости
На плоскости точка имеет две координаты: абсциссу $x$ и ординату $y$.
Если даны точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, расстояние между ними находится по формуле:
$\rho = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$
Эта формула следует из теоремы Пифагора. Разности координат показывают длины катетов прямоугольного треугольника, а искомое расстояние — его гипотенузу.
Порядок вычитания координат не влияет на ответ, потому что разности возводятся в квадрат.
Например, $x_2-x_1 = 3$ и $x_1-x_2 = -3.$
После возведения в квадрат в обоих случаях получится $9$.
Расстояние между двумя точками в пространстве
В пространстве у точки есть три координаты: $x$, $y$ и $z$. Если даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, расстояние между ними равно:
$\rho = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.$
Логика такая же, как на плоскости: нужно найти разности одноимённых координат, возвести их в квадрат, сложить и извлечь корень.
Расстояние от точки до прямой
Иногда нужно найти кратчайшее расстояние от точки до прямой. На плоскости это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Если точка имеет координаты $M_0(x_0; y_0)$, а прямая задана уравнением
$Ax + By + C = 0,$ то расстояние от точки до прямой находится по формуле:
$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$
В числителе стоит модуль, потому что расстояние не может быть отрицательным.
Уравнение плоскости и вектор нормали
Любую плоскость в пространстве можно описать линейным уравнением:
$Ax + By + Cz + D = 0.$
Коэффициенты $A$, $B$ и $C$ образуют вектор нормали: $\vec n = (A; B; C).$
Вектор нормали перпендикулярен плоскости. Именно он используется в формулах расстояния.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана точка $M(x_0; y_0; z_0)$ и плоскость $Ax + By + Cz + D = 0.$
Тогда расстояние $\rho$ от точки до плоскости равно:
$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$
В числитель подставляем координаты точки в уравнение плоскости и берём модуль. В знаменателе стоит длина вектора нормали.
Расстояние от прямой до параллельной плоскости
Если прямая пересекает плоскость, расстояние между ними равно нулю. В задачах обычно требуется найти расстояние от прямой, параллельной плоскости.
В этом случае расстояние от любой точки прямой до плоскости одинаковое. Значит, достаточно:
- Взять удобную точку на прямой.
- Подставить её координаты в формулу расстояния от точки до плоскости.
Параллельность прямой и плоскости проверяют через скалярное произведение. Если направляющий вектор прямой $\vec v$ и нормаль плоскости $\vec n$ перпендикулярны, то $\vec v \cdot \vec n = 0.$
Тогда прямая параллельна плоскости или лежит в ней.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями
Пусть даны две параллельные плоскости: $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0.$
Если коэффициенты при $x$, $y$, $z$ совпадают, расстояние между плоскостями равно:
$\rho = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$
Перед применением формулы нужно привести уравнения к одному виду: коэффициенты при $x$, $y$, $z$ должны полностью совпадать.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны. Визуально построить общий перпендикуляр между ними сложно, поэтому удобно использовать координаты.
Идея такая: расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной прямой до плоскости, которая проходит через вторую прямую параллельно первой.
Универсальный алгоритм решения
В задачах на расстояния в пространстве удобно действовать по одному плану:
- Выбрать начало координат и направления осей. Лучше всего брать вершину с прямыми углами: например, вершину куба, прямоугольного параллелепипеда или правильной призмы.
- Найти координаты всех точек, которые задают нужные прямые и плоскости.
- Составить уравнение плоскости. Для этого можно подставить координаты трёх точек в уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ и решить систему.
- Выбрать точку на прямой или составить уравнение второй параллельной плоскости.
- Применить нужную формулу расстояния.
- Упростить выражение и записать ответ.
Подробный разбор заданий
Разберём, как алгоритм работает в задачах.
Расстояние от прямой до плоскости
В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $AB_1D_1$.
Решение
Шаг 1. Вводим систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0; 0; 0)$. Оси направим вдоль рёбер куба:
- ось $x$ — вдоль ребра $AD$;
- ось $y$ — вдоль ребра $AB$;
- ось $z$ — вдоль ребра $AA_1$.
Шаг 2. Находим координаты точек. Ребро куба равно 1, поэтому $B(0; 1; 0),\, C_1(1; 1; 1),\, B_1(0; 1; 1),\, D_1(1; 0; 1).$
Шаг 3. Составляем уравнение плоскости. Плоскость $AB_1D_1$ проходит через точку $A(0; 0; 0)$, значит, в уравнении плоскости свободный коэффициент равен нулю:
$Ax + By + Cz = 0.$
- Подставим координаты точки $B_1(0; 1; 1)$:
$0 \cdot A + 1 \cdot B + 1 \cdot C = 0,$
$B + C = 0,$
$B = -C.$ - Подставим координаты точки $D_1(1; 0; 1)$:
$1 \cdot A + 0 \cdot B + 1 \cdot C = 0,$
$A + C = 0,$
$A = -C.$ - Пусть $C = 1$. Тогда $A = -1$, $B = -1$. Получаем уравнение плоскости:
$-x-y + z = 0.$
Шаг 4. Прямая $BC_1$ параллельна плоскости $AB_1D_1$. Возьмём точку $B(0; 1; 0)$ на этой прямой и подставим её координаты в формулу расстояния от точки до плоскости:
$\rho = \frac{|-1 \cdot 0-1 \cdot 1 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2}}.$
Получаем $\rho = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Расстояние между двумя плоскостями
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB = BC = 6$, $AA_1 = 12$ точки $M$ и $K$ делят пополам рёбра $AB$ и $BC$ соответственно. Точка $N$ лежит на ребре $BB_1$, причём $BN = 6$. Через точку $D$ провели плоскость $\alpha$, параллельную плоскости $KMN$. Найдите расстояние между плоскостями $KMN$ и $\alpha$.
Решение
Шаг 1. Вводим систему координат. Удобно взять начало координат в вершине $B(0; 0; 0).$
Оси направим так:
- ось $x$ — вдоль $BA$;
- ось $y$ — вдоль $BC$;
- ось $z$ — вдоль $BB_1$
Шаг 2. Находим координаты точек. Точка $M$ — середина $AB$, значит, $M(3; 0; 0).$
Точка $K$ — середина $BC$, значит $K(0; 3; 0).$
Точка $N$ лежит на ребре $BB_1$, причём $BN = 6$, поэтому $N(0; 0; 6).$
Точка $D$ — противоположная вершина основания, $D(6; 6; 0).$
Шаг 3. Составляем уравнения плоскостей. Точки $M$, $K$, $N$ лежат на координатных осях. Поэтому плоскость $KMN$ удобно записать в отрезках на осях:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1.$
Умножим обе части на 6:
$2x + 2y + z = 6.$
Получаем уравнение плоскости $KMN$:
$2x + 2y + z-6 = 0.$
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $KMN$, поэтому нормали у них совпадают. Значит, уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид:
$2x + 2y + z + D_2 = 0.$
Подставим координаты точки $D(6; 6; 0)$:
$2 \cdot 6 + 2 \cdot 6 + 0 + D_2 = 0.$
Тогда $12 + 12 + D_2 = 0,$
$D_2 = -24.$
Уравнение плоскости $\alpha$:
$2x + 2y + z-24 = 0.$
Шаг 4. Находим расстояние. У плоскостей одинаковые коэффициенты при $x$, $y$, $z$, поэтому можно использовать формулу расстояния между параллельными плоскостями.
Для плоскости $KMN$: $D_1 = -6.$
Для плоскости $\alpha$: $D_2 = -24.$
Тогда
$\rho = \frac{|-6-(-24)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}}.$
Упростим: $\rho = \frac{18}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{18}{3} = 6.$
Ответ: 6.
Пример: задача с параметром в профильном ЕГЭ
Метод координат помогает в задачах с параметром, где выражения с корнями можно прочитать как расстояния.
Выражение $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$ означает расстояние от переменной точки $M(x; y)$ до фиксированной точки $P(a; b)$.
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2} + \sqrt{(x-4)^2 + (y-6)^2} = a$ имеет хотя бы одно решение.
Решение
Шаг 1. Первый корень — это расстояние от точки $M(x; y)$ до точки $A(1; 2)$:
$MA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2}.$
Шаг 2. Второй корень — расстояние от той же точки $M(x; y)$ до точки $B(4; 6)$:
$MB = \sqrt{(x-4)^2 + (y-6)^2}.$
Шаг 3. Значит, уравнение можно записать так:
$MA + MB = a.$
Шаг 4. По неравенству треугольника сумма расстояний от точки $M$ до точек $A$ и $B$ не меньше расстояния между $A$ и $B$:
$MA + MB \ge AB.$
Шаг 5. Равенство возможно, если точка $M$ лежит на отрезке $AB$.
Найдём длину $AB$:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$
Шаг 6. Минимальное значение левой части равно $5$.
Теперь проверим, что подходят все значения больше $5$. Если точка $M$ движется по прямой дальше точки $B$, сумма $MA + MB$ увеличивается без ограничения. Поэтому можно получить любое значение от $5$ и больше.
Ответ: $a \in [5; +\infty)$.
Типичные ошибки и ловушки на экзамене
На ЕГЭ баллы часто теряются из-за небольших алгебраических ошибок. Вот что нужно проверять особенно внимательно.
Не проверять уравнение плоскости
После составления уравнения плоскости подставь в него координаты трёх исходных точек. В каждом случае должен получиться ноль.
Ошибка в одном знаке меняет нормаль плоскости и приводит к неверному расстоянию.
Записывать только формулы без пояснений
В развёрнутом решении нужно объяснять, что именно ты делаешь. Например: составим уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Коэффициенты плоскости тоже нужно расписывать подробно.
Сравнивать плоскости без приведения коэффициентов
Формулу $\rho = \frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ можно применять только тогда, когда коэффициенты при $x$, $y$, $z$ совпадают.
Если одно уравнение можно получить из другого умножением на число, сначала приведи их к одному виду.
Забывать модуль в числителе
Расстояние не бывает отрицательным. Не забывай ставить модуль в числителе, когда считаешь расстояние.
Например: $\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$
Блок самопроверки
Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.
Задание 1. Дана плоскость $3x-4y + 12z + 10 = 0$ и точка $P(0; 2; 1)$. Найди расстояние от точки $P$ до этой плоскости.
Задание 2. Даны две плоскости $x + 2y-2z + 5 = 0$ и $-2x-4y + 4z-14 = 0$. Какие предварительные действия нужно выполнить, чтобы найти расстояние между ними?
Задание 3. Плоскость задана уравнением $2x-y + 2z-9 = 0$. Прямая проходит через точки $E(1; 3; 6)$ и $F(2; 5; 4)$. Проверь, параллельны ли прямая и плоскость, а затем найди расстояние от прямой до плоскости.
Ответ к заданию 1. Подставим координаты точки $P(0; 2; 1)$ в формулу расстояния от точки до плоскости: $\rho = \frac{|3 \cdot 0-4 \cdot 2 + 12 \cdot 1 + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2}}.$
Получаем $\rho = \frac{|-8 + 12 + 10|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{14}{13}.$
Ответ: $\frac{14}{13}$.
Ответ к заданию 2.
Шаг 1. Второе уравнение нужно разделить на $-2$: $-2x-4y + 4z-14 = 0.$
После деления получим $x + 2y-2z + 7 = 0.$
Шаг 2. Теперь коэффициенты при $x$, $y$, $z$ совпадают с коэффициентами первой плоскости. Значит, можно использовать разность свободных коэффициентов $D_1$ и $D_2$.
Ответ к заданию 3.
Шаг 1. Найдём направляющий вектор прямой: $\vec{EF} = (1; 2; -2).$
Шаг 2. Нормаль плоскости: $\vec n = (2; -1; 2).$
Шаг 3. Вычислим скалярное произведение:
$\vec{EF} \cdot \vec n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2.$
Получаем $2-2-4 = -4.$
Шаг 4. Скалярное произведение не равно нулю, значит, прямая не параллельна плоскости. Она пересекает плоскость, поэтому положительное расстояние между ними не ищем: минимальное расстояние равно 0.
Ответ: прямая не параллельна плоскости; расстояние равно 0.
Заключение
Метод координат сводит пространственную геометрию к вычислениям: нужно выбрать систему координат, найти точки, составить уравнение плоскости и применить формулу. Самая частая ошибка — неверный знак в уравнении плоскости, поэтому всегда проверяй его подстановкой исходных точек. Расстояние от прямой до плоскости ищут через любую точку прямой, если прямая параллельна плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями удобно находить через разность свободных коэффициентов, но только после приведения уравнений к одному виду. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач по стереометрии в «100балльном банке».
