Как решать задачи на кредиты в профильном ЕГЭ по математике с помощью таблиц

Любая кредитная задача строится на трёх действиях:

1. Банк начисляет процент на текущий остаток долга.
2. Клиент вносит выплату.
3. Долг уменьшается.

Этот цикл повторяется до полного погашения кредита.

Основные переменные

Для решения удобно сразу ввести обозначения:

• $S$ — изначальная сумма кредита;
• $r$ — процентная ставка банка;
• $X$ — сумма регулярной выплаты.

Часто используют повышающий коэффициент $k$. Если банк начисляет $r$ процентов, то сумма долга увеличивается в $k$ раз:

Например, если ставка равна 10%, то $k=1+{\displaystyle \frac{10}{100}}=1,1.$
Значит, перед выплатой долг становится в $1,1$ раза больше.

Аннуитетные и дифференцированные платежи

В кредитных задачах обычно используется один из двух способов выплаты долга.

Аннуитетная схема означает, что клиент выплачивает кредит равными платежами. Переменная $X$ остаётся одной и той же каждый год или месяц.

Дифференцированная схема означает, что основной долг уменьшается на одну и ту же величину. Выплаты при этом разные, потому что процент каждый раз начисляется на новый остаток долга.

Таблица нужна, чтобы не потерять порядок действий: сначала начисляются проценты, потом происходит выплата, затем фиксируется остаток долга.

Удобная структура выглядит так:

Заполнять таблицу лучше постепенно: первый период, второй период, затем общий вид или последний период. Так проще увидеть закономерность и составить итоговое уравнение.

Этот порядок действий подходит для большинства задач на кредиты:

1. Определи схему погашения: равные выплаты или равномерное уменьшение долга.
2. Введи обозначения и подпиши, что означает каждая буква.
3. Заполни строки таблицы для первых периодов.
4. Найди закономерность: как меняется долг и на какую сумму начисляются проценты.
5. Вырази то, что требуется в задаче: общую сумму выплат, ставку, размер платежа или остаток долга.
6. Реши полученное уравнение или неравенство.
7. Проверь ответ по смыслу: ставка должна быть положительной, долг в конце должен стать равен нулю.

Задача с заданным графиком погашения

15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 миллиона рублей. Первого числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов. Со второго по четырнадцатое число нужно сделать выплату. Пятнадцатого числа каждого месяца долг должен составлять строго определённую сумму: 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0. Найдите наибольшее целое значение $r$, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 миллиона рублей.math-ege.sdamgia.ru[i]

Решение

Шаг 1. Здесь промежуточные остатки долга уже известны. Сумма кредита $S$ равна 1 млн рублей.

Шаг 2. Процент каждый раз начисляется на остаток долга предыдущего месяца. Поэтому проценты начисляются на такие суммы:

Шаг 3. Общая сумма выплат состоит из основного долга и всех процентов.
Основной долг равен 1 миллиону рублей.
Сумма процентов:

Шаг 4. По условию общая сумма выплат меньше $1,2$ миллиона рублей:

Вычтем 1 из обеих частей:

Умножим обе части на $100$:

Разделим на $2,6$:

Получаем:

Шаг 5. Нужно найти наибольшее целое значение $r$. Это число $7$.

Ответ: 7.

Дифференцированная схема

Планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Долг возрастает на $r$ процентов в месяц. Ежемесячно долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на предыдущий месяц. Общая сумма выплат на 40% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.math-ege.sdamgia.ru[i]

Решение

Шаг 1. Срок кредита составляет 15 месяцев, и долг сокращается одинаковыми порциями. Поэтому тело кредита каждый месяц становится меньше на ${\displaystyle \frac{S}{15}}$.

Шаг 2. В каждый платёж входят две составляющие:

• доля основного долга, равная ${\displaystyle \frac{S}{15}}$;
• проценты, которые начисляются на оставшуюся на этот момент сумму долга.

Шаг 3. Вся переплата по кредиту — это исключительно проценты. Поскольку по условию суммарные выплаты превышают сумму займа на 40%, переплата составляет $0,4S$.

Шаг 4.

Шаг 5. Сложим все проценты:

Шаг 6. В скобках стоит сумма арифметической прогрессии:

Вычислим:

Шаг 7. Значит, сумма процентов равна

По условию эта сумма равна $0,4S$:

Так как $S\ne 0$, делим обе части на $S$:

Получаем:

Отсюда:

Ответ: 5%.

Процент не переводят в доли

Нельзя умножать остаток долга просто на $r$, если $r$ — это процентная ставка.

Правильная запись: проценты = остаток долга $·{\displaystyle \frac{r}{100}}.$

Если нужно найти долг после начисления процентов, используют коэффициент:

Выписывают все периоды вручную

При большом сроке кредита не стоит расписывать все 24 месяца или все 36 месяцев. Обычно достаточно записать первый, второй и последний периоды, а затем использовать закономерность.

В задачах с равномерным уменьшением долга часто появляется арифметическая прогрессия:

Её сумму удобнее считать по формуле, а не складывать все члены по одному.

Рано переходят к большим числам

Если в условии есть миллионы рублей, лучше сначала считать в миллионах. Например, вместо $1000000$ можно записать $1$, если все остальные суммы тоже выражены в миллионах.

Также не стоит раскрывать скобки и перемножать большие числа в начале решения. Часто $S$ сокращается, а дроби упрощаются.

Путают остаток до выплаты и после выплаты

Процент начисляется на долг, который был перед очередной выплатой. Если в условии сказано, что после выплаты долг должен стать равен определённой сумме, эту сумму используют как остаток для следующего периода.

Таблица помогает не перепутать эти этапы:

Реши задания, чтобы закрепить табличную логику.

Задача 1. Клиент взял кредит $S$ под 10% годовых. Во сколько раз увеличится долг перед внесением выплаты?

Задача 2. В задаче сказано: долг убывает равномерно в течение 12 месяцев. Какую часть основного долга клиент будет вносить каждый месяц в счёт погашения $S$?

Задача 3. Кредит взят на 2 года, то есть на 24 месяца. Долг убывает равномерно. Чему будет равен остаток долга через два месяца после начала выплат, то есть после внесения второго платежа?

В задачах на кредиты главное — последовательно фиксировать остаток долга, начисленные проценты и выплаты. Таблица помогает увидеть, на какую сумму начисляется процент в каждом периоде, и не перепутать аннуитетную схему с дифференцированной. Теперь ты умеешь вводить переменные, составлять модель кредита, суммировать проценты и проверять итоговый ответ по смыслу. Чтобы закрепить навык, реши несколько похожих задач в «100балльном банке».