Расстояние между точкой, прямой и плоскостью в стереометрии ЕГЭ

Чтобы решать задачи на расстояния в пространстве, нужно опираться на строгие определения. Чертёж помогает увидеть идею, но сам по себе не доказывает перпендикулярность.

Расстояние от точки до прямой

Отрезок от точки до произвольной точки прямой равен искомому расстоянию только в одном случае: если он образует с прямой угол $90^\circ$.

При решении таких задач часто используют теорему о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Расстояние от точки до плоскости

Если точка лежит в плоскости, расстояние равно нулю.

Полезное свойство: расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. Поэтому в задаче можно выбрать удобную точку на прямой и искать расстояние уже от неё.

В задачах ЕГЭ чаще всего используют три метода:

1. Геометрический метод. Нужно построить перпендикуляр и доказать, что он действительно перпендикулярен прямой или плоскости.
2. Метод координат. Удобен для кубов, призм, правильных пирамид и других фигур, где легко задать координаты вершин. Если точка имеет координаты $M(x_0;\, y_0;\, z_0)$, а плоскость задана уравнением $Ax + By + Cz + D = 0,$ то расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

3. Метод объёмов. Идея метода основана на формуле объёма треугольной пирамиды:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Если выбрать треугольную грань за основание, то высота пирамиды будет расстоянием от противоположной вершины до плоскости этого основания.

Один и тот же объём треугольной пирамиды можно выразить через разные основания. У пирамиды четыре грани, поэтому основанием можно назначить любую из них.

Сначала удобно найти объём через грань, к которой легко провести высоту. Затем этот же объём выражают через нужную плоскость:

Так искомое расстояние находится алгебраически.

Иногда точка расположена неудобно. В таком случае помогает правило:

Чтобы не запутаться в пространственной конструкции, действуй по плану:

1. Сделай крупный аккуратный чертёж и перенеси на него все данные из условия.
2. Выбери метод решения. Если фигура правильная и координаты вершин легко записать, удобен метод координат. Если внутри задачи видна пирамида с известным объёмом, можно применить метод объёмов.
3. Объясни каждый логический переход. При геометрическом методе обязательно докажи перпендикулярность.
4. Выполни вычисления и проверь, выглядит ли ответ разумно: расстояние не может быть отрицательным и обычно не должно быть больше очевидных размеров фигуры.

Пример с геометрическим построением

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ сторона основания равна $2$, а боковое ребро равно $3$. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $SD$.

Решение

Шаг 1. Нужно найти расстояние от точки $A$ до прямой $SD$. Точка $A$ и прямая $SD$ лежат в плоскости треугольника $SAD$, поэтому задача сводится к поиску высоты из вершины $A$ к стороне $SD$.

Шаг 2. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $2$. Диагональ $AD$ соединяет противоположные вершины правильного шестиугольника, поэтому она в два раза больше стороны основания:

Шаг 3. Пирамида правильная, значит, её боковые рёбра равны: $SA = SD = 3.$

Получили равнобедренный треугольник $SAD$ со сторонами $SA = SD = 3$ и основанием $AD = 4$.

Шаг 4. Сначала найдём площадь треугольника $SAD$. Проведём высоту $SK$ к основанию $AD$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой, поэтому:

Шаг 5. В прямоугольном треугольнике $SKD$ по теореме Пифагора:

Шаг 6. Площадь треугольника $SAD$:

Шаг 7. Теперь выразим эту же площадь через сторону $SD$ и искомую высоту $AH$:

Подставим известные значения:

Отсюда:

Ответ: расстояние от точки $A$ до прямой $SD$ равно $\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $2\sqrt{3}$, а боковое ребро $SA$ равно $3$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости, проходящей через вершину $A$ и середину ребра $SC$ перпендикулярно плоскости основания.

Решение

Шаг 1. Пусть $M$ — середина ребра $SC$, а $O$ — центр основания пирамиды.

Шаг 2. Плоскость, проходящая через точки $A$ и $M$ и перпендикулярная плоскости основания, совпадает с плоскостью $SAC$. Эта плоскость содержит диагональ основания $AC$ и высоту пирамиды $SO$.

Шаг 3. В квадрате диагонали перпендикулярны, значит, $AC \perp BD.$

Кроме того, высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому $SO \perp BD.$

Шаг 4. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$, лежащим в плоскости $SAC$. Значит, $BD \perp (SAC).$

Следовательно, перпендикуляр, опущенный из точки $B$ к плоскости $SAC$, лежит на диагонали $BD$. Точка пересечения диагоналей квадрата — это $O$, поэтому искомое расстояние равно $BO$.

Шаг 5. Найдём диагональ квадрата:

Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам, значит,

Ответ: $\sqrt{6}$.

Пример с методом координат

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ сторона основания равна $2$, а высота равна $4$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $A_1C_1E$.

Решение

Шаг 1. Введём прямоугольную систему координат. Начало координат поместим в центр нижнего основания призмы — точку $O(0;\, 0;\, 0)$. Ось $X$ направим вдоль отрезка $FC$, ось $Y$ расположим в плоскости основания перпендикулярно оси $X$, ось $Z$ направим вертикально вверх.

Шаг 2. Тогда координаты нужных точек:

Шаг 3. Запишем уравнение плоскости $A_1C_1E$ в виде $\alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0.$

Шаг 4. Подставим координаты трёх точек:

• Для точки $C_1(2;\, 0;\, 4)$: $2\alpha + 4\gamma + \delta = 0.$
• Для точки $E(-1;\, \sqrt{3};\, 0)$: $-\alpha + \sqrt{3}\beta + \delta = 0.$
• Для точки $A_1(-1;\, -\sqrt{3};\, 4)$: $-\alpha-\sqrt{3}\beta + 4\gamma + \delta = 0.$

Шаг 5. После решения системы получаем уравнение плоскости:

Теперь применим формулу расстояния от точки $C(2;\, 0;\, 0)$ до плоскости:

Считаем числитель:

Считаем знаменатель:

Получаем:

Ответ: $2{,}4$.

Пример нахождения расстояния методом объёмов

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB = 6$, $BC = 4$, $AA_1 = 8$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $A_1BD$.

Решение

Шаг 1. Образуем пирамиду. Рассмотрим пирамиду $CA_1BD$. Искомое расстояние — это высота $H$, проведённая из точки $C$ к грани $A_1BD$.

Шаг 2. Находим объём. Возьмём за основание треугольник $BCD$, который лежит на нижней грани параллелепипеда.

Треугольник $BCD$ прямоугольный, поэтому $S_{BCD} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$.

Высота из точки $A_1$ к этому основанию равна боковому ребру параллелепипеда: $AA_1 = 8$.

Шаг 3. Объём пирамиды:

Шаг 4. Ищем площадь целевой грани. Нужно найти площадь треугольника $A_1BD$. Сначала вычислим его стороны:

• Диагональ основания: $BD = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
• Диагональ боковой грани: $A_1B = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
• Ещё одна диагональ боковой грани: $A_1D = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Шаг 5. Опустим высоту $h$ в треугольнике $A_1BD$ из вершины $A_1$ на сторону $BD$. Пусть проекция высоты делит $BD$ на отрезки $x$ и $2\sqrt{13}-x$.

Применим теорему Пифагора к двум прямоугольным треугольникам:

Шаг 6. Теперь найдём высоту $h$:

Площадь треугольника $A_1BD$:

Шаг 7. Находим расстояние:

Ответ: $\dfrac{24\sqrt{61}}{61}$.

Недоказанный перпендикуляр

Ошибка: провести на чертеже отрезок к плоскости, визуально увидеть прямой угол и написать «очевидно».

Как правильно: объяснить, почему отрезок является перпендикуляром. Для этого можно использовать теорему о трёх перпендикулярах или признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Потерянный модуль в формуле расстояния

Ошибка: забыть модуль в числителе формулы расстояния от точки до плоскости.

Координаты могут дать отрицательное значение выражения $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D$, но расстояние всегда неотрицательно.

Правильно записывать так:

Неправильная вершина при методе объёмов

Ошибка: выбрать в качестве вершины пирамиды точку, для которой сложно найти высоту или площадь основания.

Как правильно: выбирать такую вершину, чтобы основание было правильной или легко вычисляемой фигурой. Тогда объём можно записать без лишних построений.

Задание 1. Изменится ли расстояние от прямой до параллельной ей плоскости, если выбрать другую точку на этой прямой?

Задание 2. Какая формула связывает объём, площадь основания и высоту пирамиды?

Задание 3. Плоскость задана уравнением $3x + 4y + 0z-10 = 0.$ Найдите расстояние от начала координат до этой плоскости.

Теперь ты знаешь, как находить расстояния от точки до прямой и плоскости в стереометрии ЕГЭ. Главное правило: любой выбранный перпендикуляр нужно доказать, а не просто отметить на чертеже. Для вычислений можно использовать геометрический метод, метод объёмов или координаты. Если в задаче есть параллельная прямая и плоскость, расстояние удобно искать от любой точки этой прямой. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач по стереометрии в «100балльном банке».