В задачах ЕГЭ по профильной математике часто нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Ошибки появляются, когда решение сводят к механическому поиску производной и забывают проверить границы. Разберём, что означает непрерывность функции, зачем нужны теоремы Вейерштрасса и Больцано — Коши и как применять эту теорию в экзаменационных задачах.
Непрерывность функции на отрезке
Функцию $y = f(x)$ называют непрерывной в точке $a$, когда у неё в этой точке есть предел и он совпадает со значением самой функции в данной точке.
То есть выполняется равенство:
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$
Если условие нарушается, точка называется точкой разрыва. Часто разрыв возникает, когда знаменатель дроби обращается в ноль или когда в кусочно-заданной функции график резко меняет значение при переходе от одного условия к другому.
Функция $y = f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a; b]$, если она определена для каждого значения $x$ внутри этого отрезка и не имеет разрывов или скачков. График такой функции представляет собой сплошную линию.
Основные свойства непрерывных на отрезке функций
Рассмотрим несколько свойств непрерывных на отрезке функций.
Теоремы Вейерштрасса
Теоремы Вейерштрасса объясняют, почему в задачах на максимум и минимум нужно проверять не только точки внутри отрезка, но и его границы.
«Первая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$, то на нём она остаётся ограниченной.»
Это значит, что график не уходит бесконечно вверх или вниз.
«Вторая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$, то на нём найдутся точки, где она принимает своё наибольшее и наименьшее значения.»
Наибольшее или наименьшее значение может быть внутри отрезка, например в точке экстремума, или на одном из концов. Поэтому в задачах обязательно проверяют и найденные точки, и границы отрезка.
Теоремы Больцано — Коши
Теоремы Больцано — Коши помогают понимать поведение непрерывной функции между двумя точками.
«Первая теорема Больцано — Коши: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$ и на его концах принимает значения противоположных знаков, то внутри отрезка обязательно найдётся хотя бы одна точка $c$, для которой $f(c) = 0$.»
Проще говоря, если непрерывный график переходит из области отрицательных значений в область положительных, он обязательно пересекает ось $X$.
«Вторая теорема Больцано — Коши: если функция непрерывна на отрезке и на его концах равна $A$ и $B$, то она принимает и всякое значение $C$, заключённое между $A$ и $B$.»
Непрерывная функция не может перескочить через промежуточное значение.
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения
В задачах на исследование функции удобно действовать по одному алгоритму.
- Запиши функцию и найди её производную $y’$.
- Приравняй производную к нулю: $y’ = 0$.
- Реши полученное уравнение.
- Оставь только те найденные точки, которые входят в указанный отрезок $[a; b]$.
- Вычисли значения исходной функции в этих точках и на концах отрезка.
- Сравни полученные числа и выбери нужное: наибольшее или наименьшее значение.
Важно: в ответе на вопрос «найдите наибольшее значение функции» нужно записать значение $y$, а не найденное значение $x$.
Разбор примеров
Тригонометрическая функция без корней
Найдите наибольшее значение функции $y = 7\cos x + 16x-2$ на отрезке $\left[-\frac{3\pi}{2}; 0\right]$.
Решение
Шаг 1. Найдём производную: $y’ =-7\sin x + 16.$
Шаг 2. Приравняем производную к нулю:
$-7\sin x + 16 = 0, \; \sin x = \frac{16}{7}.$
Шаг 3. Синус любого числа лежит в промежутке от $-1$ до $1$, а число $\frac{16}{7}$ больше $1$. Значит, уравнение не имеет корней.
Шаг 4. Проверим знак производной. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то выражение $-7\sin x$ принимает значения от $-7$ до $7$. Тогда $-7\sin x + 16 > 0.$
Шаг 5. Производная положительна на всём отрезке, значит, функция возрастает. Наибольшее значение возрастающей функции на отрезке достигается на правом конце, то есть при $x = 0$.
Шаг 6. Подставим $x = 0$ в исходную функцию:
$y(0) = 7\cos 0 + 16 \cdot 0-2.$
Так как $\cos 0 = 1$, получаем:
$y(0) = 7 \cdot 1 + 0-2 = 5.$
Ответ: 5.
Логарифмическая функция и отбор точек
Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(19x)-19x + 9$ на отрезке $\left[\frac{1}{38}; \frac{5}{38}\right]$.
Решение
Шаг 1. Найдём производную. Для логарифма используем правило производной сложной функции:
$y' = \frac{1}{19x} \cdot 19-19 = \frac{1}{x}-19.$
Шаг 2. Приравняем производную к нулю:
$\frac{1}{x}-19 = 0, \; \frac{1}{x} = 19, \; x = \frac{1}{19}.$
Шаг 3. Проверим, входит ли эта точка в отрезок. Приведём дробь к знаменателю $38$:
$\frac{1}{19} = \frac{2}{38}.$
Шаг 4. Точка $\frac{2}{38}$ лежит между $\frac{1}{38}$ и $\frac{5}{38}$, значит, её нужно учитывать.
Шаг 5. Теперь посмотрим на знак производной.
Наибольшее значение достигается при $x = \frac{1}{19}.$
Шаг 6. Подставим это значение в исходную функцию:
$y\left(\frac{1}{19}\right) = \ln\left(19 \cdot \frac{1}{19}\right)-19 \cdot \frac{1}{19} + 9.$
Получаем:
$y\left(\frac{1}{19}\right) = \ln 1-1 + 9.$
Так как $\ln 1 = 0$, то
$y\left(\frac{1}{19}\right) = 0-1 + 9 = 8.$
Ответ: 8.
Алгебраическая функция и монотонность
Найдите наименьшее значение функции $y =-3x^5-5x^3 + 7$ на отрезке $[-2; 0]$.
Решение
Шаг 1. Найдём производную:
$y' =-15x^4-15x^2.$
Шаг 2. Вынесем общий множитель:
$y' =-15x^2(x^2 + 1).$
Шаг 3. Приравняем производную к нулю:
$-15x^2(x^2 + 1) = 0.$
Получаем $x = 0$. Скобка $x^2 + 1$ никогда не равна нулю.
Шаг 4. Теперь определим знак производной. Выражения $x^4$ и $x^2$ неотрицательны при любом $x$, поэтому
$-15x^4-15x^2 \le 0.$
Шаг 5. На промежутке $[-2; 0)$ производная отрицательна, значит, функция убывает, поэтому её наименьшее значение достигается на правом конце отрезка $x = 0$.
Шаг 6. Подставим $x = 0$:
$y(0) =-3 \cdot 0^5-5 \cdot 0^3 + 7 = 7.$
Ответ: 7.
Типичные ошибки на экзамене
Путаница между значением аргумента и значением функции
Если в задаче просят найти наименьшее значение функции, нельзя остановиться на найденной точке $x = 3$ и записать её в ответ.
Нужно подставить это значение $x$ в исходную функцию и найти значение $y$.
Сравни:
- точка минимума — это значение $x$;
- наименьшее значение функции — это значение $y$.
Игнорирование границ отрезка
Если после решения уравнения $y’ = 0$ получились точки $x =-5$ и $x = 2$, а отрезок задан как $[0; 4]$, точку $x =-5$ нужно отбросить.
Она не входит в отрезок, поэтому в ней функция не способна принять ни наибольшее, ни наименьшее значение на данном отрезке.
Непроверенные концы отрезка
Иногда экстремум находится не в точке, где производная равна нулю, а на границе отрезка. Поэтому после нахождения подходящих точек всегда подставляй в исходную функцию ещё и концы отрезка.
Например, для отрезка $[a; b]$ нужно проверить $x = a$ и $x = b$.
Перенос свойств отрезка на открытый интервал
Теоремы Вейерштрасса работают для замкнутого отрезка $[a; b]$. На открытом интервале $(a; b)$ функция может быть ограничена, но не достигать наибольшего или наименьшего значения.
Например, функция $y = x$ на интервале $(0; 1)$ ограничена, но не достигает ни значения $0$, ни значения $1$, потому что концы интервала не входят в область рассмотрения.
Самопроверка
Ответь на вопросы, чтобы закрепить тему.
Задание 1. Если функция всё время возрастает на отрезке $[2; 7]$, в какой точке находится её наибольшее значение?
Задание 2. Что нужно сделать с корнями уравнения $y’ = 0$, которые не попали в указанный отрезок?
Задание 3. Докажи, что уравнение $x^3 + 4x-2 = 0$ имеет корень на промежутке $[0; 1]$.
Ответ к заданию 1: в точке $x = 7$. Возрастающая функция достигает наибольшего значения на правом конце отрезка.
Ответ к заданию 2: такие корни нужно отбросить и не учитывать при дальнейших вычислениях.
Ответ к заданию 3:
Шаг 1. Обозначим $f(x) = x^3 + 4x-2.$
Шаг 2. Это многочлен, поэтому он непрерывен на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[0; 1]$.
Шаг 3. Подставим концы отрезка:
$f(0) = 0^3 + 4 \cdot 0-2 =-2, \; f(1) = 1^3 + 4 \cdot 1-2 = 3.$
Шаг 4. Значения на концах оказались с разными знаками: $f(0) 0$. Согласно первой теореме Больцано — Коши, функция при этом непременно принимает нулевое значение как минимум в одной точке отрезка $[0; 1]$. Следовательно, уравнение $x^3 + 4x-2 = 0$ имеет на этом отрезке хотя бы один корень.
Что и требовалось доказать.
Заключение
Непрерывность функции объясняет, почему график на отрезке ведёт себя предсказуемо: не разрывается, не уходит в бесконечность и достигает наибольшего и наименьшего значений. В задачах ЕГЭ по профильной математике это приводит к простому алгоритму: найти производную, определить подходящие точки, проверить границы и сравнить значения функции. Самая частая ошибка — записать в ответ значение $x$ вместо значения $y$ или забыть про концы отрезка. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на исследование функций в «100балльном банке».
