Непрерывность функции и свойства функций, непрерывных на отрезке

То есть выполняется равенство:

Если условие нарушается, точка называется точкой разрыва. Часто разрыв возникает, когда знаменатель дроби обращается в ноль или когда в кусочно-заданной функции график резко меняет значение при переходе от одного условия к другому.

Основные свойства непрерывных на отрезке функций

Рассмотрим несколько свойств непрерывных на отрезке функций.

Теоремы Вейерштрасса объясняют, почему в задачах на максимум и минимум нужно проверять не только точки внутри отрезка, но и его границы.

«Первая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$, то на нём она остаётся ограниченной.»А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын — Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 классов[i]

Это значит, что график не уходит бесконечно вверх или вниз.

«Вторая теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$, то на нём найдутся точки, где она принимает своё наибольшее и наименьшее значения.»А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын — Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 классов[i]

Наибольшее или наименьшее значение может быть внутри отрезка, например в точке экстремума, или на одном из концов. Поэтому в задачах обязательно проверяют и найденные точки, и границы отрезка.

Теоремы Больцано — Коши помогают понимать поведение непрерывной функции между двумя точками.

«Первая теорема Больцано — Коши: если функция непрерывна на отрезке $[a; b]$ и на его концах принимает значения противоположных знаков, то внутри отрезка обязательно найдётся хотя бы одна точка $c$, для которой $f(c)=0$.»А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын — Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 классов[i]

Проще говоря, если непрерывный график переходит из области отрицательных значений в область положительных, он обязательно пересекает ось $X$.

«Вторая теорема Больцано — Коши: если функция непрерывна на отрезке и на его концах равна $A$ и $B$, то она принимает и всякое значение $C$, заключённое между $A$ и $B$.»А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын — Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 классов[i]

Непрерывная функция не может перескочить через промежуточное значение.

В задачах на исследование функции удобно действовать по одному алгоритму.

1. Запиши функцию и найди её производную $y’$.
2. Приравняй производную к нулю: $y’=0$.
3. Реши полученное уравнение.
4. Оставь только те найденные точки, которые входят в указанный отрезок $[a; b]$.
5. Вычисли значения исходной функции в этих точках и на концах отрезка.
6. Сравни полученные числа и выбери нужное: наибольшее или наименьшее значение.

Важно: в ответе на вопрос «найдите наибольшее значение функции» нужно записать значение $y$, а не найденное значение $x$.

Тригонометрическая функция без корней

Найдите наибольшее значение функции $y=7\cos x+16x-2$ на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};0]$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Найдём производную: $y’=-7\sin x+16.$

Шаг 2. Приравняем производную к нулю:

Шаг 3. Синус любого числа лежит в промежутке от $-1$ до $1$, а число $\frac{16}{7}$ больше $1$. Значит, уравнение не имеет корней.

Шаг 4. Проверим знак производной. Так как $-1\le \sin x\le 1$, то выражение $-7\sin x$ принимает значения от $-7$ до $7$. Тогда $-7\sin x+16>0.$

Шаг 5. Производная положительна на всём отрезке, значит, функция возрастает. Наибольшее значение возрастающей функции на отрезке достигается на правом конце, то есть при $x=0$.

Шаг 6. Подставим $x=0$ в исходную функцию:

Так как $\cos 0=1$, получаем:

Ответ: 5.

Логарифмическая функция и отбор точек

Найдите наибольшее значение функции $y=\ln (19x)-19x+9$ на отрезке $\left[\frac{1}{38};\frac{5}{38}\right]$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Найдём производную. Для логарифма используем правило производной сложной функции:

Шаг 2. Приравняем производную к нулю:

Шаг 3. Проверим, входит ли эта точка в отрезок. Приведём дробь к знаменателю $38$:

Шаг 4. Точка $\frac{2}{38}$ лежит между $\frac{1}{38}$ и $\frac{5}{38}$, значит, её нужно учитывать.

Шаг 5. Теперь посмотрим на знак производной.

Наибольшее значение достигается при $x=\frac{1}{19}.$

Шаг 6. Подставим это значение в исходную функцию:

Получаем:

Так как $\ln 1=0$, то

Ответ: 8.

Алгебраическая функция и монотонность

Найдите наименьшее значение функции $y=-3x^5-5x^3+7$ на отрезке $[-2; 0]$.ege.fipi.ru[i]

Решение

Шаг 1. Найдём производную:

Шаг 2. Вынесем общий множитель:

Шаг 3. Приравняем производную к нулю:

Получаем $x=0$. Скобка $x^2+1$ никогда не равна нулю.

Шаг 4. Теперь определим знак производной. Выражения $x^4$ и $x^2$ неотрицательны при любом $x$, поэтому

Шаг 5. На промежутке $[-2; 0)$ производная отрицательна, значит, функция убывает, поэтому её наименьшее значение достигается на правом конце отрезка $x=0$.

Шаг 6. Подставим $x=0$:

Ответ: 7.

Путаница между значением аргумента и значением функции

Если в задаче просят найти наименьшее значение функции, нельзя остановиться на найденной точке $x=3$ и записать её в ответ.

Нужно подставить это значение $x$ в исходную функцию и найти значение $y$.

Сравни:

• точка минимума — это значение $x$;
• наименьшее значение функции — это значение $y$.

Игнорирование границ отрезка

Если после решения уравнения $y’=0$ получились точки $x=-5$ и $x=2$, а отрезок задан как $[0; 4]$, точку $x=-5$ нужно отбросить.

Она не входит в отрезок, поэтому в ней функция не способна принять ни наибольшее, ни наименьшее значение на данном отрезке.

Непроверенные концы отрезка

Иногда экстремум находится не в точке, где производная равна нулю, а на границе отрезка. Поэтому после нахождения подходящих точек всегда подставляй в исходную функцию ещё и концы отрезка.

Например, для отрезка $[a; b]$ нужно проверить $x=a$ и $x=b$.

Перенос свойств отрезка на открытый интервал

Теоремы Вейерштрасса работают для замкнутого отрезка $[a; b]$. На открытом интервале $(a; b)$ функция может быть ограничена, но не достигать наибольшего или наименьшего значения.

Например, функция $y=x$ на интервале $(0; 1)$ ограничена, но не достигает ни значения $0$, ни значения $1$, потому что концы интервала не входят в область рассмотрения.

Ответь на вопросы, чтобы закрепить тему.

Задание 1. Если функция всё время возрастает на отрезке $[2; 7]$, в какой точке находится её наибольшее значение?

Задание 2. Что нужно сделать с корнями уравнения $y’=0$, которые не попали в указанный отрезок?

Задание 3. Докажи, что уравнение $x^3+4x-2=0$ имеет корень на промежутке $[0; 1]$.

Непрерывность функции объясняет, почему график на отрезке ведёт себя предсказуемо: не разрывается, не уходит в бесконечность и достигает наибольшего и наименьшего значений. В задачах ЕГЭ по профильной математике это приводит к простому алгоритму: найти производную, определить подходящие точки, проверить границы и сравнить значения функции. Самая частая ошибка — записать в ответ значение $x$ вместо значения $y$ или забыть про концы отрезка. Чтобы закрепить тему, реши несколько задач на исследование функций в «100балльном банке».