Экономическая задача 16 в профильном ЕГЭ по математике часто вызывает трудности, если условия кредита отличаются от стандартных схем. Формулы аннуитетных или дифференцированных платежей помогают не всегда: иногда в условии заданы остатки долга по годам или месяцам. В таких задачах нужно понимать механику начисления процентов и уметь моделировать каждый период отдельно.
Теория для задач на кредиты с заданными платежами
В задачах на кредиты с заданными нерегулярными платежами не используют формулы аннуитетных или дифференцированных выплат. Размеры ежегодных или ежемесячных взносов определяются по условию: через таблицу остатков долга или текстовое описание.
Главная идея такая: выплата за период равна разнице между долгом после начисления процентов и остатком долга после выплаты.
Обозначим:
- $S$ — исходная сумма кредита;
- $r$ — годовая или месячная процентная ставка;
- $k = 1 + \dfrac{r}{100}$ — повышающий коэффициент.
Коэффициент $k$ показывает, во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.
Если остатки долга по периодам заданы последовательностью $S_0, S_1, S_2$ и так далее до полного погашения, выплаты считаются так:
- первая выплата: $x_1 = S_0 \cdot k-S_1$;
- вторая выплата: $x_2 = S_1 \cdot k-S_2$;
- следующие выплаты считаются по тому же принципу.
Общая сумма выплат получается сложением всех найденных платежей.
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться в условии, действуй по шагам.
- Определи процентную ставку и множитель. Переведи проценты в десятичную дробь или сразу запиши повышающий коэффициент $k$.
- Запиши последовательность долгов. Выпиши все суммы задолженности, которые должны оставаться после каждой выплаты.
- Найди выплату за каждый период. Увеличь предыдущий долг на процент банка и вычти новый остаток.
- Составь итоговое уравнение. Сложи выплаты и приравняй их к числу из условия.
- Найди неизвестную величину. Реши уравнение и проверь, выглядит ли ответ реалистично.
Практический разбор задач
Пример на оценку процентной ставки
Пятнадцатого января планируется взять кредит в банке на $6$ месяцев в размере $1$ миллиона рублей. Условия его возврата таковы:
- первого числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, причём $r$ — целое число;
- со второго по четырнадцатое число месяца нужно выплатить часть долга;
- пятнадцатого числа каждого месяца долг должен составлять сумму в соответствии с таблицей остатков в долях от первоначальной суммы:
| Месяцы | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг | 1 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0 |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет больше $1,2$ миллиона рублей.
Решение
Шаг 1. Переписываем остатки в миллионах рублей: $1$; $0,6$; $0,4$; $0,3$; $0,2$; $0,1$. Ноль учитывать не нужно: на нулевой остаток проценты не начисляются.
Шаг 2. Выражаем начисленные проценты. Каждый текущий остаток умножаем на $\dfrac{r}{100}$: $(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1) \cdot \dfrac{r}{100}$.
Шаг 3. Считаем сумму в скобках: $1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 2,6$. Значит, общая переплата равна: $2,6 \cdot \dfrac{r}{100} = 0,026r$.
Шаг 4. Записываем общую сумму выплат: $1 + 0,026r$.
Шаг 5. По условию сумма выплат должна быть больше $1,2$ миллиона рублей:
$1 + 0,026r > 1,2, \quad 0,026r > 0,2, \quad r > \frac{0,2}{0,026}, \quad r > \frac{200}{26}, \quad r > 7\frac{9}{13}.$
Так как $r$ — целое число, наименьшее подходящее значение равно $8$%.
Ответ: 8%.
Учебный пример с фиксированными остатками долга
Разберём формат, где долг несколько лет остаётся равным исходной сумме кредита.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на 3 года. Условия возврата таковы. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года. С февраля по июнь нужно выплатить часть долга. В июле 2027 и 2028 года долг остаётся равным исходной сумме кредита. В июле 2029 года долг должен быть полностью погашен. Известно, что общая сумма выплат составила 504 тысячи рублей. Найдите сумму кредита.
Решение
Шаг 1. Записываем коэффициент. Банк начисляет 20%. Значит, долг увеличивается в $1{,}2$ раза: $k = 1{,}2$.
Шаг 2. Фиксируем остатки долга. Пусть сумма кредита равна $S$. По условию:
- в июле 2027 года долг равен $S$;
- в июле 2028 года долг равен $S$;
- в июле 2029 года долг равен $0$.
Шаг 3. Считаем выплаты.
- Первый год: банк начислил проценты, долг стал равен $1{,}2S$. После выплаты остаток должен составить $S$. Выплата: $1{,}2S-S = 0{,}2S$.
- Второй год: ситуация повторяется. Долг снова возрастает до $1{,}2S$, а остаток должен быть равен $S$. Выплата: $1{,}2S-S = 0{,}2S$.
- Третий год: долг после начисления процентов равен $1{,}2S$, а после выплаты кредит закрывается. Выплата: $1{,}2S-0 = 1{,}2S$.
Шаг 4. Составляем уравнение. Общая сумма выплат: $0{,}2S + 0{,}2S + 1{,}2S = 1{,}6S$. По условию она равна 504 тысячам рублей: $1{,}6S = 504$. Отсюда $S = 504 : 1{,}6 = 315$. Ответ выглядит логично: итоговая сумма выплат больше суммы кредита, потому что в неё вошли проценты за три года.
Ответ: 315 тысяч рублей.
Пример задачи, где долг уменьшается равномерно, а неизвестной величиной становится процентная ставка
Пятнадцатого января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия таковы. Первого числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца. Со второго по четырнадцатое число каждого месяца нужно выплатить часть долга. Пятнадцатого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.
Решение
Шаг 1. Разбираем структуру долга. Пусть исходный долг равен $S$. Кредит взят на 15 месяцев, и долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину. Значит, каждый месяц тело долга уменьшается на $\dfrac{S}{15}$. Остатки долга образуют последовательность $S,\ \dfrac{14S}{15},\ \dfrac{13S}{15},\ \ldots,\ \dfrac{S}{15},\ 0$. Проценты начисляются на долг, который был перед очередной выплатой.
Шаг 2. Разделяем выплату на части. Каждая выплата состоит из двух частей:
- погашение тела долга;
- проценты, начисленные за месяц.
За 15 месяцев тело долга будет погашено полностью, то есть общая сумма выплат по основному долгу равна $S$. Остаётся найти сумму всех процентов.
Шаг 3. Считаем сумму процентов. Каждый месяц банк начисляет $r$ процентов на текущий остаток. Значит, сумма всех процентов равна: $\dfrac{r}{100} \cdot \left(S + \dfrac{14S}{15} + \dfrac{13S}{15} + \ldots + \dfrac{S}{15}\right)$. Вынесем $\dfrac{S}{15}$ за скобку: $S + \dfrac{14S}{15} + \dfrac{13S}{15} + \ldots + \dfrac{S}{15} = \dfrac{S}{15}(15 + 14 + 13 + \ldots + 1)$. Сумма чисел от 1 до 15 равна $\dfrac{15 + 1}{2} \cdot 15 = 120$. Тогда сумма остатков долга равна $\dfrac{S}{15} \cdot 120 = 8S$. Сумма всех процентов равна $\dfrac{r}{100} \cdot 8S$.
Шаг 4. Составляем уравнение. По условию общая сумма выплат на 40% больше суммы кредита. Значит, выплаты равны: $1{,}4S$. С другой стороны, выплаты равны сумме основного долга и процентов: $S + \dfrac{r}{100} \cdot 8S$. Получаем уравнение: $S + \dfrac{r}{100} \cdot 8S = 1{,}4S$. Разделим обе части на $S$, так как сумма кредита положительна: $1 + 0{,}08r = 1{,}4$. Тогда $0{,}08r = 0{,}4$. Умножим обе части на 100: $8r = 40$. Отсюда $r = 5$.
Ответ: 5%.
Типичные ошибки в задачах на кредиты
Подстановка шаблонной формулы
Иногда в задачу с заданными остатками долга пытаются подставить формулу аннуитетного платежа. Это приводит к неверному уравнению. Если в условии сказано, каким должен быть долг после каждой выплаты, нужно строить модель по периодам: долг после начисления процентов минус новый остаток.
Путаница между выплатой и уменьшением долга
Уменьшение долга и выплата — разные величины. Например, если долг уменьшился на $20$ тысяч рублей, это не значит, что выплата равна $20$ тысячам. В выплату входят проценты, начисленные банком на предыдущий остаток.
Ошибка в процентном коэффициенте
Проценты нужно переводить правильно:
- 12% — это коэффициент $1{,}12$;
- 20% — это коэффициент $1{,}2$;
- $r$% — это коэффициент $1 + \dfrac{r}{100}$.
Если записать $k = 12$ вместо $k = 1{,}12$, все дальнейшие вычисления будут неверными.
Самопроверка
Реши короткие задания, чтобы закрепить алгоритм.
Задание 1
Процентная ставка банка составляет 7% годовых. Напиши повышающий коэффициент $k$.
Повышающий коэффициент вычисляется по формуле $k = 1 + \dfrac{r}{100}$. Подставляем $r = 7$: $k = 1 + 0{,}07 = 1{,}07$.
Ответ: $1{,}07$.
Задание 2
Исходный долг равен $S$. Через год долг с учётом начисленных процентов составил $1{,}1S$. Остаток долга на конец первого года равен $0{,}6S$. Найди размер первой выплаты.
Выплата равна разнице между долгом после начисления процентов и остатком: $1{,}1S-0{,}6S = 0{,}5S$.
Ответ: $0{,}5S$.
Задание 3
Взяли кредит на сумму 200 тысяч рублей под 10%. Два года подряд остаток долга должен быть равен 200 тысяч рублей. На третий год кредит гасится полностью. Найди сумму выплат за первые два года.
Шаг 1. В первый год долг увеличивается до $200 \cdot 1{,}1 = 220$ тысяч рублей.
Шаг 2. Остаток должен быть равен 200 тысячам рублей, значит, выплата составит $220-200 = 20$ тысяч рублей.
Шаг 3. Во второй год ситуация такая же, поэтому выплата снова равна 20 тысячам рублей.
Шаг 4. Сумма выплат за первые два года — $20 + 20 = 40$ тысяч рублей.
Ответ: 40 тысяч рублей.
Заключение
В задачах на кредиты с заданными платежами главное — восстановить движение долга по периодам, так как готовые формулы здесь не работают. Выплата всегда считается как долг после начисления процентов минус новый остаток. Если остатки долга убывают равномерно, удобно использовать сумму арифметической прогрессии. Перед вычислениями проверяй, что именно нужно найти: сумму кредита, ставку, отдельную выплату или общую сумму выплат. Для тренировки реши несколько похожих задач в «100балльном банке».
