Решение показательных неравенств

Показательная функция имеет вид $y = a^x$. Для неё сохраняются все свойства степеней, но появляется важное ограничение: основание должно быть положительным и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$). При этом значение функции всегда положительно: $a^x > 0$.

Показательная функция тесно связана с логарифмом: логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому их ограничения совпадают:

$a^x = t \Leftrightarrow \log_a t = x, a > 0, a \neq 1, t > 0$.

Показательные неравенства — это неравенства, в которых переменная $x$ находится в показателе степени, а основание является числом.

Например:

$3^x > 9$

Главная цель при решении таких неравенств — свести обе части к одному основанию, чтобы потом от него избавиться:

$3^x > 3^2$

Следующий шаг зависит от основания a — числа, которое возводится в степень. Когда мы переходим от неравенства $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ к степеням, мы смотрим на основание и сравниваем его с единицей:

• Если $a > 1$, то соответствующая показательная функция возрастает. Чем больше степень, тем больше результат. Знак неравенства сохраняется.
  Как в нашем примере:
  $3^x > 3^2 \Rightarrow \text{так как } 3 > 1, \text{то } 3^x > 3^2 \Leftrightarrow x > 2$

• Если $0 < a < 1$ (дробное), то соответствующая показательная функция убывает. Чем больше степень, тем меньше результат. Знак неравенства меняется на противоположный!
  $\frac{1}{3}^x \le \frac{1}{27}$
  $\frac{1}{3}^x \le \frac{1}{3}^3, \text{так как } 0 < \frac{1}{3} < 1, \text{то } \frac{1}{3}^x \le \frac{1}{3}^3 \Leftrightarrow x \ge 3$

Замена переменной

Если видишь в основании числа, которые являются степенями друг друга, — смело делай замену.

Пример 1. Решить неравенство $\frac{9^x − 3^{x+1} + 2}{3^x − 3} \ge 0$.

Решение

Видим числа 3 и 9 и знаем, что $3^2 = 9$, а $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$ по свойству степеней. Перепишем условие в новом виде $\frac{3^{2x} − 3 \cdot 3^x + 2}{3^x − 3} \ge 0$. Теперь в числителе получилось уравнение, которое можно свести к квадратному с помощью замены.

Пусть $t = 3^x, t > 0 \Rightarrow \frac{t^2 − 3t + 2}{t − 3} \ge 0$. Решим уравнение методом интервалов.

Нули числителя: $t^2 − 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t_1 = 1, t_2 = 2$.

Нули знаменателя: $t − 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

Выполним обратную замену, сделав переход к совокупности.

$\left[ \begin{array}{l} 1 \le 3^x \le 2 \\ 3^x > 3 \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} 3^0 \le 3^x \le 3^{\log_3 2} \\ 3^x > 3^1 \end{array} \right.$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\left[ \begin{array}{l} 0 \le x \le \log_3 2 \\ x > 1 \end{array} \right.$

Ответ: $x \in [0; \log_3 2] \cup (1; +\infty)$.

Обрати внимание на условие при замене: $t = 3^x, t > 0$. Его можно не указывать сразу, но тогда при обратной замене придётся отдельно учитывать, что часть значений не подходит и даёт «нет решений». Удобнее задать это ограничение сразу и отбросить неподходящие значения ещё на этапе работы с новой переменной.

Однородные показательные неравенства

В однородном неравенстве три слагаемых, и все они степени. Одно слагаемое — это квадрат первого выражения (например, $4^x = 2^{2x}$), второе — квадрат второго ($9^x = 3^{2x}$), а третье — их произведение $(6^x = 2^x \cdot 3)^x$. Свободных чисел в таком неравенстве нет.

Главная идея: разделить обе части неравенства на максимальную степень (на $4^x = 2^{2x}$ или $9^x = 3^{2x}$), то есть на квадрат. Поскольку показательная функция всегда строго больше нуля, знак неравенства никогда не меняется. С помощью такого деления мы получим неравенство с единым новым основанием.

Пример 2. Решить неравенство $2 \cdot 4^x − 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 9^x \le 0$.

Решение

Замечаем все признаки, которые описаны выше, и заменяем неравенство на равносильное: $2 \cdot 2^{2x} − 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 3 \cdot 3^{2x} \le 0$.

Далее разделим обе части неравенства на квадрат. Лучше делить на выражение с меньшим основанием — так не придётся следить за изменением знака неравенства. В нашем случае это $2^{2x}$.

$2 \cdot \frac{2^{2x}}{2^{2x}} − 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} + 3 \cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}} \le 0$

$2 − 5 \cdot \frac{3^x}{2^x} + 3 \cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}} \le 0$

Далее делаем замену: пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$.

$2 − 5 \cdot t + 3 \cdot t^2 \le 0 \Leftrightarrow t \in \left[\frac{2}{3}; 1\right]$

$\frac{2}{3} \le \left(\frac{3}{2}\right)^x \le 1$

Приведём всё к одному основанию:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{−1} \le \left(\frac{3}{2}\right)^x \le \left(\frac{3}{2}\right)^0$

Так как $\frac{3}{2} > 1$, знак неравенства сохраняется.

$−1 \le x \le 0$

Ответ: $x \in [−1; 0]$.

Метод группировки

Этот метод выручает, когда неравенство не однородное, основания разные и нет явной структуры для замены.

Главная идея: сгруппировать слагаемые попарно так, чтобы вынести за скобки общий множитель. В итоге мы должны получить произведение скобок.

Пример 3. Решить неравенство $6^x − 2^{x+1} − 3^{x+1} + 6 \le 0$.

Решение

Воспользуемся свойствами степеней и преобразуем:

$2^x \cdot 3^x − 2 \cdot 2^x − 3 \cdot 3^x + 6 \le 0$

Сгруппируем:

$(2^x \cdot 3^x − 2 \cdot 2^x) − (3 \cdot 3^x − 6) \le 0$

$2^x(3^x − 2) − 3(3^x − 2) \le 0$

$(3^x − 2)(2^x − 3) \le 0$

Решим неравенство методом интервалов: его можно применять и к показательным выражениям.

Нули: $(3^x − 2)(2^x − 3) = 0$.

1. $3^x − 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$
2. $2^x − 3 = 0 \implies 2^x = 3 \implies x = \log_2 3$

Ответ: $x \in [\log_3 2; \log_2 3]$.

Итак, при решении показательных неравенств важно придерживаться нескольких правил:

• приводить выражения к одному основанию;
• раскладывать выражения на множители;
• учитывать, что показательная функция всегда положительна;
• использовать свойства степеней;
• следить за знаком неравенства: при основании $0 < a < 1$ он меняется на противоположный.

Как применять эти методы на практике

Разберём ещё один пример уровня основной волны профильного ЕГЭ.

Пример 4. Решить неравенство $\frac{4^x − 2^{x+2} + 3}{2^x − 1} + \frac{4^x − 7 \cdot 2^x + 10}{2^x − 5} \le 2^{x+1} − 5$.

Решение

Преобразуем с использованием свойств степеней и приведём всё к общему основанию (берём меньшее число, часто оно будет простым).

$\frac{2^{2x} − 2 \cdot 2^x + 3}{2^x − 1} + \frac{2^{2x} − 7 \cdot 2^x + 10}{2^x − 5} \le 2 \cdot 2^x − 5$

Выполним замену для удобства: пусть $t = 2^x, t > 0$ — сразу пропишем условие, потому что так удобнее.

$\frac{t^2 − 2t + 3}{t − 1} + \frac{t^2 − 7t + 10}{t − 5} \le 2t − 5$

Если сейчас привести дроби к общему знаменателю, мы получим многочлен третьей степени, в котором очень легко запутаться. Будем хитрее — разложим на множители, чтобы упростить себе вычисления!

С помощью теоремы Виета (или любым другим способом) найдём корни и разложим числители дробей:

$t^2 − 2t + 3 = (t − 1)(t − 3)$

$t^2 − 7t + 10 = (t − 2)(t − 5)$

$\frac{(t − 1)(t − 3)}{t − 1} + \frac{(t − 2)(t − 5)}{t − 5} \le 2t − 5$

В числителе и знаменателе содержатся одинаковые множители, которые хочется сократить. Это можно сделать, но при условии, что знаменатель не равен нулю!

$t − 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq 1$

$t − 5 \neq 0 \Rightarrow t \neq 5$

Только в этом случае мы делаем равносильный переход к системе:

$\begin{cases} (t − 3) + (t − 2) \le 2t − 5 \\ t \neq 1 \\ t \neq 5 \end{cases}$

$t − 3 + t − 2 \le 2t − 5$

$2t − 5 \le 2t − 5$

$0 \le 0 \Leftrightarrow t \in \mathfrak{R}$

Собираем все условия вместе:

$\begin{cases} t > 0 \\ t \neq 1 \\ t \neq 5 \end{cases}$

$t \in \mathfrak{R}$

$t \in (0; 1) \cup (1; 5) \cup (5; +\infty)$

Выполним обратную замену: $t = 2^x$

$\begin{cases} 2^x > 0 \quad (\text{выполняется всегда}) \\ 2^x \neq 1 \implies 2^x \neq 2^0 \implies x \neq 0 \\ 2^x \neq 5 \implies x \neq \log_2 5 \end{cases}$

$x \in (−\infty; 0) \cup (0; \log_2 5) \cup (\log_2 5; +\infty)$

Ответ: $x \in (−\infty; 0) \cup (0; \log_2 5) \cup (\log_2 5; +\infty)$.

Для более продвинутых — ещё один эффективный приём: метод рационализации. Если у нас есть разность двух степеней с одинаковым основанием, её можно заменить по правилу:

$a^{f(x)} − a^{g(x)} \Leftrightarrow (a − 1)(f(x) − g(x))$

Смысл в том, что при одинаковом основании знак разности степеней определяется тем, какой из показателей больше.

Пример 5. Решить неравенство $\frac{15^x − 3^{x+1} − 5^{x+1} + 15}{x^2 − 2x} \ge 0$

Решение

Анализ числителя показывает, что нужно группировать и раскладывать на множители:

$15^x − 3^{x+1} − 5^{x+1} + 15 = 5^x \cdot 3^x − 3 \cdot 3^x − 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5 = (5^x \cdot 3^x − 3 \cdot 3^x) − (5 \cdot 5^x − 3 \cdot 5) = 3^x(5^x − 3) − 5(5^x − 3) = (5^x − 3)(3^x − 5)$

$\frac{(5^x − 3)(3^x − 5)}{x^2 − 2x} \ge 0$

Можно сразу применить метод интервалов, но здесь удобно использовать рационализацию. Для этого преобразуем скобки — приведём выражения к общему основанию с помощью определения логарифма:

$5^x − 3 = 5^x − 5^{\log_5 3} = (5 − 1)(x − \log_5 3)$

$3^x − 5 = 3^x − 3^{\log_3 5} = (3 − 1)(x − \log_3 5)$

$\frac{8(x − \log_5 3)(x − \log_3 5)}{x^2 − 2x} \ge 0$

Нули числителя: $x = \log_5 3, x = \log_3 5$.

Нули знаменателя: $x = 0, x = 2$.

Теперь правильно расположим все точки на числовой прямой. Для этого выполним оценку:

1. $\log_5 1 < \log_5 3 < \log_5 5 \Rightarrow 0 < \log_5 3 < 1$
2. $\log_3 3 < \log_3 5 < \log_3 9 \Rightarrow 1 < \log_3 5 < 2$

Ответ: $x \in (−\infty; 0) \cup [\log_5 3; \log_3 5] \cup (2; +\infty)$.

Метод рационализации обычно применяется, когда в основании есть переменная, но именно числовые значения помогают лучше его понять.

Теперь ты понимаешь, как решать неравенства, в которых переменная находится в показателе степени, и почему при этом важно учитывать основание. Умеешь приводить выражения к одному основанию, выбирать подходящий метод решения и следить за знаком неравенства при преобразованиях.

Главное — закрепить базовые приёмы: уверенно применять свойства степеней, делать замену переменной, раскладывать выражения на множители, использовать метод интервалов и внимательно учитывать ограничения, чтобы не терять решения. Эти навыки помогут уверенно решать задания профильного ЕГЭ по математике, в том числе № 15, и другие задачи повышенной сложности.