Решение показательных неравенств

Показательная функция имеет вид $y=a^x$. Для неё сохраняются все свойства степеней, но появляется важное ограничение: основание должно быть положительным и не равно единице ($a>0,a\ne 1$). При этом значение функции всегда положительно: $a^x>0$.

Показательная функция тесно связана с логарифмом: логарифмическая функция является обратной к показательной. Поэтому их ограничения совпадают:

$a^x=t\iff {\log }_{a}t=x,a>0,a\ne 1,t>0$.

Показательные неравенства — это неравенства, в которых переменная $x$ находится в показателе степени, а основание является числом.

Например:

$3^x>9$

Главная цель при решении таких неравенств — свести обе части к одному основанию, чтобы потом от него избавиться:

$3^x>3^2$

Следующий шаг зависит от основания a — числа, которое возводится в степень. Когда мы переходим от неравенства $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ к степеням, мы смотрим на основание и сравниваем его с единицей:

• Если $a>1$, то соответствующая показательная функция возрастает. Чем больше степень, тем больше результат. Знак неравенства сохраняется.
  Как в нашем примере:
  $3^x>3^2\Rightarrow \text{так как }3>1,\text{то }{3}^x>3^2\iff x>2$

• Если $0<a<1$ (дробное), то соответствующая показательная функция убывает. Чем больше степень, тем меньше результат. Знак неравенства меняется на противоположный!
  ${\frac{1}{3}}^x\le \frac{1}{27}$
  ${\frac{1}{3}}^x\le {\frac{1}{3}}^3,\text{так как }0<\frac{1}{3}<1,\text{то }{\frac{1}{3}}^x\le {\frac{1}{3}}^3\iff x\ge 3$

Замена переменной

Если видишь в основании числа, которые являются степенями друг друга, — смело делай замену.

Пример 1. Решить неравенство $\frac{9^x-3^{x+1}+2}{3^x-3}\ge 0$.

Решение

Видим числа 3 и 9 и знаем, что $3^2=9$, а $3^{x+1}=3·3^x$ по свойству степеней. Перепишем условие в новом виде $\frac{3^{2x}-3·3^x+2}{3^x-3}\ge 0$. Теперь в числителе получилось уравнение, которое можно свести к квадратному с помощью замены.

Пусть $t=3^x,t>0\Rightarrow \frac{t^2-3t+2}{t-3}\ge 0$. Решим уравнение методом интервалов.

Нули числителя: $t^2-3t+2=0\iff t_1=1,t_2=2$.

Нули знаменателя: $t-3=0\iff t=3$.

Выполним обратную замену, сделав переход к совокупности.

$[\begin{array}{c}1\le 3^x\le 2\hfill \\ 3^x>3\hfill \end{array}⟹[\begin{array}{c}{3}^0\le 3^x\le 3^{{\log }_{3}2}\hfill \\ 3^x>3^1\hfill \end{array}$

Так как основание $3>1$, знак неравенства сохраняется.

$[\begin{array}{c}0\le x\le {\log }_{3}2\hfill \\ x>1\hfill \end{array}$

Ответ: $x\in [0;{\log }_{3}2]\cup (1;+\infty )$.

Обрати внимание на условие при замене: $t=3^x,t>0$. Его можно не указывать сразу, но тогда при обратной замене придётся отдельно учитывать, что часть значений не подходит и даёт «нет решений». Удобнее задать это ограничение сразу и отбросить неподходящие значения ещё на этапе работы с новой переменной.

Однородные показательные неравенства

В однородном неравенстве три слагаемых, и все они степени. Одно слагаемое — это квадрат первого выражения (например, $4^x=2^{2x}$), второе — квадрат второго ($9^x=3^{2x}$), а третье — их произведение $(6^x=2^x·3{)}^x$. Свободных чисел в таком неравенстве нет.

Главная идея: разделить обе части неравенства на максимальную степень (на $4^x=2^{2x}$ или $9^x=3^{2x}$), то есть на квадрат. Поскольку показательная функция всегда строго больше нуля, знак неравенства никогда не меняется. С помощью такого деления мы получим неравенство с единым новым основанием.

Пример 2. Решить неравенство $2·4^x-5·6^x+3·9^x\le 0$.

Решение

Замечаем все признаки, которые описаны выше, и заменяем неравенство на равносильное: $2·2^{2x}-5·2^x·3^x+3·3^{2x}\le 0$.

Далее разделим обе части неравенства на квадрат. Лучше делить на выражение с меньшим основанием — так не придётся следить за изменением знака неравенства. В нашем случае это $2^{2x}$.

$2·\frac{2^{2x}}{2^{2x}}-5·\frac{2^x·3^x}{2^{2x}}+3·\frac{3^{2x}}{2^{2x}}\le 0$

$2-5·\frac{3^x}{2^x}+3·\frac{3^{2x}}{2^{2x}}\le 0$

Далее делаем замену: пусть $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$.

$2-5·t+3·t^2\le 0\iff t\in \left[\frac{2}{3};1\right]$

$\frac{2}{3}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^x\le 1$

Приведём всё к одному основанию:

${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^x\le {\left(\frac{3}{2}\right)}^0$

Так как $\frac{3}{2}>1$, знак неравенства сохраняется.

$-1\le x\le 0$

Ответ: $x\in [-1;0]$.

Метод группировки

Этот метод выручает, когда неравенство не однородное, основания разные и нет явной структуры для замены.

Главная идея: сгруппировать слагаемые попарно так, чтобы вынести за скобки общий множитель. В итоге мы должны получить произведение скобок.

Пример 3. Решить неравенство $6^x-2^{x+1}-3^{x+1}+6\le 0$.

Решение

Воспользуемся свойствами степеней и преобразуем:

$2^x·3^x-2·2^x-3·3^x+6\le 0$

Сгруппируем:

$(2^x·3^x-2·2^x)-(3·3^x-6)\le 0$

$2^x(3^x-2)-3(3^x-2)\le 0$

$(3^x-2)(2^x-3)\le 0$

Решим неравенство методом интервалов: его можно применять и к показательным выражениям.

Нули: $(3^x-2)(2^x-3)=0$.

1. $3^x-2=0⟹3^x=2⟹x={\log }_{3}2$
2. $2^x-3=0⟹2^x=3⟹x={\log }_{2}3$

Ответ: $x\in [{\log }_{3}2;{\log }_{2}3]$.

Итак, при решении показательных неравенств важно придерживаться нескольких правил:

• приводить выражения к одному основанию;
• раскладывать выражения на множители;
• учитывать, что показательная функция всегда положительна;
• использовать свойства степеней;
• следить за знаком неравенства: при основании $0<a<1$ он меняется на противоположный.

Как применять эти методы на практике

Разберём ещё один пример уровня основной волны профильного ЕГЭ.

Пример 4. Решить неравенство $\frac{4^x-2^{x+2}+3}{2^x-1}+\frac{4^x-7·2^x+10}{2^x-5}\le 2^{x+1}-5$.

Решение

Преобразуем с использованием свойств степеней и приведём всё к общему основанию (берём меньшее число, часто оно будет простым).

$\frac{2^{2x}-2·2^x+3}{2^x-1}+\frac{2^{2x}-7·2^x+10}{2^x-5}\le 2·2^x-5$

Выполним замену для удобства: пусть $t=2^x,t>0$ — сразу пропишем условие, потому что так удобнее.

$\frac{t^2-2t+3}{t-1}+\frac{t^2-7t+10}{t-5}\le 2t-5$

Если сейчас привести дроби к общему знаменателю, мы получим многочлен третьей степени, в котором очень легко запутаться. Будем хитрее — разложим на множители, чтобы упростить себе вычисления!

С помощью теоремы Виета (или любым другим способом) найдём корни и разложим числители дробей:

$t^2-2t+3=(t-1)(t-3)$

$t^2-7t+10=(t-2)(t-5)$

$\frac{(t-1)(t-3)}{t-1}+\frac{(t-2)(t-5)}{t-5}\le 2t-5$

В числителе и знаменателе содержатся одинаковые множители, которые хочется сократить. Это можно сделать, но при условии, что знаменатель не равен нулю!

$t-1\ne 0\Rightarrow t\ne 1$

$t-5\ne 0\Rightarrow t\ne 5$

Только в этом случае мы делаем равносильный переход к системе:

$\{\begin{array}{c}(t-3)+(t-2)\le 2t-5\hfill \\ t\ne 1\hfill \\ t\ne 5\hfill \end{array}$

$t-3+t-2\le 2t-5$

$2t-5\le 2t-5$

$0\le 0\iff t\in \Re$

Собираем все условия вместе:

$\{\begin{array}{c}t>0\hfill \\ t\ne 1\hfill \\ t\ne 5\hfill \end{array}$

$t\in \Re$

$t\in (0;1)\cup (1;5)\cup (5;+\infty )$

Выполним обратную замену: $t=2^x$

$\{\begin{array}{c}{2}^x>0(\text{выполняется всегда})\hfill \\ 2^x\ne 1⟹2^x\ne 2^0⟹x\ne 0\hfill \\ 2^x\ne 5⟹x\ne {\log }_{2}5\hfill \end{array}$

$x\in (-\infty ;0)\cup (0;{\log }_{2}5)\cup ({\log }_{2}5;+\infty )$

Ответ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;{\log }_{2}5)\cup ({\log }_{2}5;+\infty )$.

Для более продвинутых — ещё один эффективный приём: метод рационализации. Если у нас есть разность двух степеней с одинаковым основанием, её можно заменить по правилу:

$a^{f(x)}-a^{g(x)}\iff (a-1)(f(x)-g(x))$

Смысл в том, что при одинаковом основании знак разности степеней определяется тем, какой из показателей больше.

Пример 5. Решить неравенство $\frac{{15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{x^2-2x}\ge 0$

Решение

Анализ числителя показывает, что нужно группировать и раскладывать на множители:

${15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15=5^x·3^x-3·3^x-5·5^x+3·5=(5^x·3^x-3·3^x)-(5·5^x-3·5)=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(5^x-3)(3^x-5)$

$\frac{(5^x-3)(3^x-5)}{x^2-2x}\ge 0$

Можно сразу применить метод интервалов, но здесь удобно использовать рационализацию. Для этого преобразуем скобки — приведём выражения к общему основанию с помощью определения логарифма:

$5^x-3=5^x-5^{{\log }_{5}3}=(5-1)(x-{\log }_{5}3)$

$3^x-5=3^x-3^{{\log }_{3}5}=(3-1)(x-{\log }_{3}5)$

$\frac{8(x-{\log }_{5}3)(x-{\log }_{3}5)}{x^2-2x}\ge 0$

Нули числителя: $x={\log }_{5}3,x={\log }_{3}5$.

Нули знаменателя: $x=0,x=2$.

Теперь правильно расположим все точки на числовой прямой. Для этого выполним оценку:

1. ${\log }_{5}1<{\log }_{5}3<{\log }_{5}5\Rightarrow 0<{\log }_{5}3<1$
2. ${\log }_{3}3<{\log }_{3}5<{\log }_{3}9\Rightarrow 1<{\log }_{3}5<2$

Ответ: $x\in (-\infty ;0)\cup [{\log }_{5}3;{\log }_{3}5]\cup (2;+\infty )$.

Метод рационализации обычно применяется, когда в основании есть переменная, но именно числовые значения помогают лучше его понять.

Теперь ты понимаешь, как решать неравенства, в которых переменная находится в показателе степени, и почему при этом важно учитывать основание. Умеешь приводить выражения к одному основанию, выбирать подходящий метод решения и следить за знаком неравенства при преобразованиях.

Главное — закрепить базовые приёмы: уверенно применять свойства степеней, делать замену переменной, раскладывать выражения на множители, использовать метод интервалов и внимательно учитывать ограничения, чтобы не терять решения. Эти навыки помогут уверенно решать задания профильного ЕГЭ по математике, в том числе № 15, и другие задачи повышенной сложности.