Задание №18 в профильном ЕГЭ по математике часто содержит линейные зависимости с параметром. На первый взгляд, тема простая, но именно здесь многие теряют баллы из-за одной маленькой детали — нулевого коэффициента при $x$. В этой статье ты разберёшься, как избегать ловушек и правильно считать количество решений.
Ты научишься:
- быстро выяснять, сколько корней даёт уравнение в зависимости от параметра;
- грамотно делить на выражения с буквой, не теряя особых случаев;
- работать с условиями типа «корень лежит на отрезке»;
- решать системы из двух уравнений с дополнительными неравенствами.
Что скрывается за формулой
Любое линейное уравнение с параметром ты можешь привести к виду:
$A(a) \cdot x = B(a)$,
где $A(a)$ и $B(a)$ — некоторые выражения, зависящие от параметра a.
Переменная у нас $x$, а $a$ — фиксированное, но неизвестное число.
Примеры:
- $(a − 2)x = a + 1$
- $ax = a^2 − 1$
- $(a^2 + 1)x = 3$
Три случая поведения уравнения
Вот ключевое правило, которое тебе нужно выучить наизусть.
- Если $A(a) \neq 0$, то можно смело делить: $x = \frac{B(a)}{A(a)}$. Получаешь единственное решение.
- Если $A(a) = 0$, но $B(a) \neq 0$, то уравнение превращается в $0 \cdot x = \text{число}$. Решений нет.
- Если $A(a) = 0$ и $B(a) = 0$, то получаешь $0 \cdot x = 0$. Подходит любое x (бесконечно много решений).
Самая распространённая ошибка — пропустить второй и третий случай, сразу разделив на $A(a)$. Запомни: прежде чем делить, проверь, не ноль ли делитель.
Полезные приёмы для экономии времени
- Коэффициент в виде $a^2 + 1$ никогда не обнуляется (при реальных $a$). Значит, сразу можешь делить.
- Если сказано «имеет хотя бы один корень», то это объединение случаев «одно решение» и «бесконечно много». Исключаешь только случай «нет решений».
- Фраза «бесконечно много решений» всегда означает систему $A(a) = 0$ и $B(a) = 0$.
- Встретилось $(a − 1)x = (a − 1)(a + 1)$? Не торопись сокращать. Сначала вынеси общий множитель или рассмотри $a = 1$ отдельно.
- В системах сначала выражай $x$ и $y$ через $a$, потом подставляй в дополнительное условие (неравенство, отрезок и так далее).
Какие задачи встречаются в ЕГЭ № 18
Чаще всего задания можно условно разделить на несколько типов:
- Простейшие: найти $a$, при которых уравнение $(a − 2)x = 5$ имеет один корень / не имеет корней / имеет бесконечно много корней.
- Усложнённые: корень должен лежать в заданном промежутке, например, $[−1; 3]$.
- Системы: даны два линейных уравнения с параметром, нужно, чтобы решение $(x; y)$ удовлетворяло, скажем, $x > y$ или $x \ge 0$.
Разбор задач с решениями
Задача 1. Три варианта для одного уравнения
Условие
Дано уравнение $(a − 2)x = a + 1$.
Выясни, при каких a оно:
а) имеет единственный корень;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно много корней.
Здесь $A(a) = a − 2, B(a) = a + 1$.
а) Единственное решение: $a − 2 \neq 0 \rightarrow a \neq 2$. При таких $a$ находим $x = \frac{a + 1}{a − 2}$.
б) Нет решений:$a − 2 = 0$ и $a + 1 \neq 0$. Из первого $a = 2$, тогда $a + 1 = 3 \neq 0$. Подходит.
в) Бесконечно много:$a − 2 = 0$ и $a + 1 = 0$ одновременно. $a = 2$, но $2 + 1 \neq 0 \rightarrow$ невозможно.
Ответы:
а) $a \neq 2$
б) $a = 2$
в) $\varnothing$
Задача 2. Когда параметр и в коэффициенте, и в правой части
Условие
Найди все $a$, для которых $(a^2 − 1)x = a − 1$ имеет ровно один корень.
Раскладываем: $A(a) = (a − 1)(a + 1), B(a) = a − 1$.
Рассуждаем по шагам.
Шаг 1. Пусть $A(a) \neq 0$, то есть $a \neq 1$ и $a \neq −1$. Тогда $x = \frac{a − 1}{(a − 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$. Получили одно решение.
Шаг 2. Проверяем «опасные» точки.
Подставляем $a = 1$: получаем $0 \cdot x = 0 \rightarrow$ бесконечно много корней (не подходит).
Подставляем $a = −1$: получаем $0 \cdot x = −2 \rightarrow$ нет корней (не подходит).
Значит, подходят все $a$, кроме 1 и −1.
Ответ: $a \in (−\infty; −1) \cup (−1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Задача 3. Корень должен попасть в отрезок
Условие
При каких $a$ корень уравнения $(a + 3)x = a^2 − 9$ лежит на отрезке $[0; 2]$?
Сначала выясни, при каких a вообще есть решения.
Если $a + 3 \neq 0$ (то есть $a \neq −3$), то $x = \frac{a^2 − 9}{a + 3} = \frac{(a − 3)(a + 3)}{a + 3} = a − 3$. Один корень.
Если $a = −3$, то получаем $0 \cdot x = 9 − 9 = 0 \rightarrow$ бесконечно много корней (любой $x$).
Теперь проверяем условие про отрезок.
- При $a = −3$ бесконечно много корней → среди них заведомо есть числа из $[0; 2]$ (например, $x = 1$). Значит, $a = −3$ годится.
- При $a \neq −3$ корень один: $x = a − 3$. Требуем $0 \le a − 3 \le 2 \rightarrow 3 \le a \le 5$.
Объединяем: $a = −3$ или $a$ от 3 до 5 включительно.
Ответ: $a \in \{−3\} \cup [3; 5]$.
Задача 4. Система с неравенством между переменными
Условие
Найди все $a$, при которых решение системы
$\begin{cases} x + y = a \\ 2x − y = 3 \end{cases}$
удовлетворяет условию $x > y$.
Шаг 1. Находим $x$ и $y$. Складываем уравнения: $(x + y) + (2x − y) = a + 3 \rightarrow 3x = a + 3 \rightarrow x = \frac{a + 3}{3}$.
Подставляем в первое: $\frac{a + 3}{3} + y = a \rightarrow y = a − \frac{a + 3}{3} = \frac{3a − a − 3}{3} = \frac{2a − 3}{3}$.
Система имеет единственное решение при любом $a$.
Шаг 2. Требуем $x > y$: $\frac{a + 3}{3} > \frac{2a − 3}{3}$.
Умножаем на 3 (положительное число, знак не меняется): $a + 3 > 2a − 3 \rightarrow 3 + 3 > 2a − a \rightarrow 6 > a \rightarrow a < 6$.
Шаг 3. Ограничений на $a$ больше нет. Записываем ответ.
Ответ: $a \in (−\infty; 6)$.
Список задач для быстрой тренировки
$(a − 1)x = 0 \rightarrow$ при $a \neq 1$ корень 0; при $a = 1$ бесконечно много.
$2ax = 4 \rightarrow$ при $a \neq 0$, $x = \frac{2}{a}$; при $a = 0$ нет решений.
$(a^2 + 1)x = a \rightarrow$ всегда одно решение ($a^2 + 1 > 0$).
$ax = a \rightarrow$ при $a \neq 0$, $x = 1$; при $a = 0$ бесконечно много.
$(a − 2)x = 3 \rightarrow$ при $a \neq 2$ один корень; при $a = 2$ нет решений.
$a(a − 1)x = a − 1 \rightarrow$ при $a \neq 0,1$, $x = \frac{1}{a}$; при $a = 1$ бесконечно много; при $a = 0$ нет решений.
$(a − 3)x = 2a − 6 = 2(a − 3) \rightarrow$ при $a \neq 3$, $x = 2$; при $a = 3$ бесконечно много.
$ax = a + 2 \rightarrow$ при $a \neq 0$, $x = \frac{a + 2}{a} > 0 \rightarrow a < −2$ или $a > 0$; $a = 0$ не даёт решений.
$(a^2 − 4)x = 0 \rightarrow$ при $a \neq \pm 2$, $x = 0$; при $a = \pm 2$ бесконечно много.
Система $\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = a \end{cases}$ имеет бесконечно много решений при $a = 2$; при $a \neq 2$ решений нет.
Система $\begin{cases} 2x + y = a \\ x − y = 1 \end{cases}$ даёт $x = \frac{a + 1}{3}$; условие $x \ge 0 \Rightarrow a \ge −1$.
Что чаще всего идёт не так (и как это исправить)
Ошибка 1. Делить на $(a − 2)$ без оглядки на ноль.
Как исправить: всегда пиши два варианта — либо коэффициент не ноль, либо он ноль.
Ошибка 2. Путать «хотя бы один корень» и «ровно один».
Запомни: хотя бы один = одно решение + бесконечно много. Не забывай про случай бесконечного множества.
Ошибка 3. Смешивать «нет решений» и «бесконечно много».
Запомни: для бесконечного множества нужно $A = 0$ И $B = 0$. Если $A = 0$, но $B \neq 0$ — это «нет решений».
Ошибка 4. Сокращать на $(a − 1)$, не рассмотрев $a = 1$.
Как исправить: не сокращай, а переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители.
Ошибка 5. В задачах с отрезком забывать проверить границы.
Как исправить: концы отрезка подставляй в условие обязательно.
Ошибка 6. Забывать про ОДЗ, когда параметр в знаменателе.
Как исправить: выписывай запрещённые значения параметра до начала решения.
Ошибка 7. В системах не проверять, есть ли решение вообще.
Как исправить: сначала найди определитель или реши систему в общем виде, убедись, что она совместна.
Полезный совет: перед тем как сдать ответ, подставь «граничные» $a$ (например, $a = 0$, $a = 2$, $a = −3$) в исходное уравнение и прикинь, сколько корней выходит. Это быстро отлавливает случайные ошибки.
Заключение
Теперь ты умеешь:
- приводить линейное уравнение с параметром к виду $A(a) \cdot x = B(a)$;
- различать три ситуации: одно решение, нет решений, бесконечно много решений;
- добавлять условия на корень (отрезок, неравенство);
- работать с системами и дополнительными требованиями типа $x > y$.
Всё это поможет тебе уверенно решать задачу № 18 на ЕГЭ, когда внутри неё прячется линейная зависимость. Главное — не спеши, всегда думай о нулевом коэффициенте и проверяй граничные значения параметра.
Автор статьи
