Тригонометрические формулы двойного угла: как упрощать и решать

Введение

В этой статье разберём формулы двойного угла — одну из ключевых тем тригонометрии. Они часто встречаются в заданиях профильного ЕГЭ по математике:

№ 6 — простейшие тригонометрические уравнения: здесь формулы двойного угла помогают свести выражение к базовому виду;
№ 7 — преобразования тригонометрических выражений: упрощение дробей, вычисление значений;
№ 13 — более сложные тригонометрические уравнения, где эти формулы используются для понижения степени или разложения на множители.

Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрические функции от аргумента $2 α$ через функции от $α$ . Они особенно полезны, когда в выражениях или уравнениях встречаются удвоенные углы. Далее рассмотрим основные формулы, разберём их происхождение и обсудим приёмы, которые помогут легко их запомнить и правильно применять.

Суть и основные формулы

Формулы двойного угла выражают $\sin 2 α$ , $\cos 2 α$ и $tg 2 α$ через $\sin α$ , $\cos α$ и $tg α$ .

Ключевые формулы:

Синус двойного угла:
$\sin 2 α = 2 \sin α \cdot \cos α$ .
Косинус двойного угла (три формы записи):
$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ ;
$\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1$ ;
$\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α$ .
Тангенс двойного угла:
$tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$ , при $α \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, α \neq \frac{π}{2} + π n, n \in Z$ .
Котангенс двойного угла:
$ctg 2 α = \frac{{ctg}^{2} α - 1}{2 ctg α}$ , при $α \neq \frac{π n}{2}, n \in Z$ .

Эти формулы выводятся из формул сложения $(\sin (α + β), \cos (α + β), tg (α + β))$ при $β = α$ .

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Закономерности и советы для запоминания

Синус двойного угла.
Два синуса на косинус — $2 \sin α \cdot \cos α$ . Произноси как скороговорку: «два синуса косинуса».
Косинус двойного угла.
Основная форма: $\cos^{2} α - \sin^{2} α$ (разность квадратов).
Две другие формы получаются заменой:
- $\cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α \to \cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α$ .
- $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α \to \cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1$ .
Как выбрать нужную форму $\cos 2 α$ :
- Если в выражении есть $\sin α$ , используй $\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α$ .
- Если есть $\cos α$ , используй $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1$ .
- Если нужно разложить на множители, используй $\cos^{2} α - \sin^{2} α = (\cos α - \sin α) \cdot (\cos α + \sin α)$ .
Тангенс двойного угла.
Формула: $tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$ .
Мнемоническое правило: «два тангенса делить на один минус квадрат тангенса».

Дополнительные полезные формулы

Формулы двойного угла тесно связаны с формулами понижения степени. Они позволяют избавиться от квадратов тригонометрических функций:

$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}$ .
$\cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$ .
${tg}^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{1 + \cos 2 α}$ .

Эти формулы получаются из формул косинуса двойного угла. Они очень полезны в задании № 13, когда нужно понизить степень уравнения.

Примеры заданий

Короткие примеры для отработки формул

Считаем, что угол находится в первой четверти.

$\sin 2 α$ , если $\sin α = \frac{3}{5}$ , $\cos α = \frac{4}{5}$ :
$\sin 2 α = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} = 0, 96$ .
$\cos 2 α$ , если $\cos α = 0, 6$ :
$\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 = 2 \cdot 0, 36 - 1 = 0, 72 - 1 = - 0, 28$ .
$\cos 2 α$ , если $\sin α = 0, 8$ :
$\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α = 1 - 2 \cdot 0, 64 = 1 - 1, 28 = - 0, 28$ .
$tg 2 α$ , если $tg α = 2$ :
$tg 2 α = \frac{2 \cdot 2}{1 - 4} = \frac{4}{- 3} = - \frac{4}{3}$ .

Задание № 1 — простейшее тригонометрическое уравнение

Условие: реши уравнение $\sin 2 x = \cos x$ .

Применяем формулу синуса двойного угла: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ .
Уравнение принимает вид: $2 \sin x \cos x = \cos x$ .
Переносим всё в одну часть: $2 \sin x \cos x - \cos x = 0$ .
Выносим $\cos x$ за скобки: $\cos x (2 \sin x - 1) = 0$ .
Произведение равно нулю, значит:
$\cos x = 0$ или $2 \sin x - 1 = 0$ .
Решаем каждое уравнение:
$\cos x = 0 \to x = \frac{π}{2} + π n, n \in Z$ .
$\sin x = \frac{1}{2} \to x = \frac{π}{6} + 2 π k, x = \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in Z$ .

Ответ: $\frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π k, \frac{5 π}{6} + 2 π k, n, k \in Z$ .

Задание № 2

Условие: реши уравнение $\cos 2 x = 1 - \sin x$ .

Применяем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x$ .
Уравнение принимает вид: $1 - 2 \sin^{2} x = 1 - \sin x$ .
Вычитаем 1 из обеих частей: $- 2 \sin^{2} x = - \sin x$ .
Умножаем на $- 1$ : $2 \sin^{2} x = \sin x$ .
Переносим всё в одну часть: $2 \sin^{2} x - \sin x = 0$ .
Выносим $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \sin x - 1) = 0$ .
Решаем:
$\sin x = 0 \to x = π n, n \in Z$ .
$\sin x = \frac{1}{2} \to x = \frac{π}{6} + 2 π k, x = \frac{5 π}{6} + 2 π k, k \in Z$ .

Ответ: $π n, \frac{π}{6} + 2 π k, \frac{5 π}{6} + 2 π k, n, k \in Z$ .

Задание № 3 — преобразования тригонометрических выражений

Условие: найди значение выражения $6 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}$ .

Замечаем, что $2 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} = \sin 30^{\circ}$ .
Значит, $6 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} = 3 \cdot (2 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}) = 3 \cdot \sin 30^{\circ}$ .
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Вычисляем: $3 \cdot \frac{1}{2} = 1, 5$ .

Ответ: 1,5.

Задание № 4

Условие: найди значение выражения $\frac{21 (\sin^{2} 66^{\circ} - \cos^{2} 66^{\circ})}{\cos 132^{\circ}}$ .

Замечаем, что $\sin^{2} 66^{\circ} - \cos^{2} 66^{\circ} = - (\cos^{2} 66^{\circ} - \sin^{2} 66^{\circ})$ .
По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ .
При $α = 66^{\circ}$ получаем: $\cos 132^{\circ} = \cos^{2} 66^{\circ} - \sin^{2} 66^{\circ}$ .
Тогда $\sin^{2} 66^{\circ} - \cos^{2} 66^{\circ} = - \cos 132^{\circ}$ .
Подставляем в числитель: $21 \cdot (- \cos 132^{\circ}) = - 21 \cos 132^{\circ}$ .
Исходное выражение принимает вид:
$\frac{- 21 \cos 132^{\circ}}{\cos 132^{\circ}} = - 21$ (при $\cos 132^{\circ} \neq 0$ ).

Ответ: −21.

Задание № 5 — тригонометрическое уравнение повышенной сложности

Здесь формулы двойного угла применяются для понижения степени, разложения на множители или сведения к квадратному уравнению.

Условие: реши уравнение $\sin 2 x + \cos 2 x = 1$ . Найди корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Применяем формулы двойного угла:
$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ .
$\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ .
Уравнение принимает вид:
$2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 = 1$ .
Переносим: $2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 2 = 0$ .
Делим на 2: $\sin x \cos x + \cos^{2} x - 1 = 0$ .
Заменяем $1 = \sin^{2} x + \cos^{2} x$ :
$\sin x \cos x + \cos^{2} x - (\sin^{2} x + \cos^{2} x) = 0$ ;
$\sin x \cos x + \cos^{2} x - \sin^{2} x - \cos^{2} x = 0$ ;
$\sin x \cos x - \sin^{2} x = 0$ .
Выносим $\sin x$ за скобки: $\sin x (\cos x - \sin x) = 0$ .
Решаем:
$\sin x = 0 \to x = π n, n \in Z$ .
$\cos x - \sin x = 0 \to \cos x = \sin x \to tg x = 1 \to x = \frac{π}{4} + π k, k \in Z$ .
Отбираем корни на отрезке [0; 2π]:
- Из первой серии: $0, π, 2 π$ .
- Из второй серии: $\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$ .
Все корни: $0, \frac{π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, 2 π$ .

Ответ: $0, \frac{π}{4}, π, \frac{5 π}{4}, 2 π$ .

Типичные ошибки

Путают формулы косинуса двойного угла.
Как избежать: запомни три формы и выбирай ту, которая удобнее. Если сомневаешься, используй основную: $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ .
Забывают про вынесение общего множителя при решении уравнений.
Как избежать: после применения формул всегда переноси всё в одну часть и ищи общий множитель. Не сокращай на выражение, которое содержит переменную, — это может привести к потере корней.
Неправильно применяют формулы понижения степени.
Как избежать: запомни — $\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2}, \cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2}$ . Проверяй себя подстановкой простых углов (например, $α = 0$ ).
Теряют корни при делении на $\cos x$ или $\sin x$ .
Как избежать: никогда не дели обе части уравнения на выражение, которое содержит переменную, без предварительной проверки случаев, когда это выражение равно нулю. Лучше выноси за скобки.

Заключение

Теперь ты умеешь:

применять формулы синуса, косинуса и тангенса двойного угла;
выбирать нужную форму косинуса двойного угла в зависимости от условия;
использовать формулы понижения степени для упрощения выражений и уравнений;
решать тригонометрические уравнения, применяя формулы двойного угла и разложение на множители.

Благодаря этому навыку ты сможешь без труда решать задание № 6 — сводя уравнения к простейшим с помощью формул двойного угла; задание № 7 — вычисляя значения тригонометрических выражений и задание № 13 — преобразовывая уравнения повышенной сложности и находя корни на промежутке.

Формулы двойного угла — это мощный инструмент. Освоив их, ты заметно упростишь себе решение многих тригонометрических задач. Удачи на экзамене!