Тригонометрическая окружность: от градусов к радианам и задания № 7, 6 и 13 в ЕГЭ

1.7К 190 ~8 мин

Обновлено 30.06.2026

ЕГЭ

10 класс

11 класс

Доброва Дарья

Методист «100балльного репетитора» по математике для ОГЭ и 10 класса

Введение

Тригонометрическая окружность — это база, без которой невозможно решить ключевые задания ЕГЭ по математике. Она встречается в № 7 (вычисление значений выражений с синусами, косинусами, тангенсами), в № 6 и 13 (простейшие и сложные тригонометрические уравнения) и даже в физических задачах.

В этой статье разберём, как работать с окружностью, переводить градусы в радианы, находить значения тригонометрических функций для «нестандартных» углов и избегать типичных ошибок.

Что такое тригонометрическая окружность

Тригонометрическая окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Углы на ней отсчитываются от положительного направления оси Ox:

против часовой стрелки — положительные углы;
по часовой стрелке — отрицательные углы.

Полный оборот = 360° = 2π радиан.

На окружности отмечены ключевые точки:

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Перевод градусов в радианы и обратно

Формулы:

$α (рад) = α (град) \cdot \frac{π}{180^{\circ}}$
$α (град) = α (рад) \cdot \frac{180^{\circ}}{π}$

Примеры переводов

Пример 1 (градусы → радианы)

Перевести 60° в радианы.

Решение: $60^{\circ} = 60 \cdot \frac{π}{180} = \frac{60 π}{180} = \frac{π}{3}$ .

Ответ: $\frac{π}{3}$ .

Пример 2 (градусы → радианы)

Перевести 150° в радианы.

Решение: $150^{\circ} = 150 \cdot \frac{π}{180} = \frac{150 π}{180} = \frac{5 π}{6}$ .

Ответ: $\frac{5 π}{6}$ .

Пример 3 (радианы → градусы)

Перевести $\frac{5 π}{4}$ радиан в градусы.

Решение: $(\frac{5 π}{4}) \cdot \frac{180^{\circ}}{π} = \frac{5 \cdot 180^{\circ}}{4} = 5 \cdot 45^{\circ} = 225^{\circ}$ .

Ответ: 225°.

Пример 4 (радианы → градусы)

Перевести $\frac{7 π}{6}$ радиан в градусы.

Решение: $(\frac{7 π}{6}) \cdot \frac{180^{\circ}}{π} = \frac{7 \cdot 180^{\circ}}{6} = 7 \cdot 30^{\circ} = 210^{\circ}$ .

Ответ: 210°.

Пример 5 (отрицательные углы)

Перевести −120° в радианы.

Решение: $- 120^{\circ} = - 120 \cdot \frac{π}{180} = \frac{- 120 π}{180} = \frac{- 2 π}{3}$ .

Ответ: $\frac{- 2 π}{3}$ .

Таблица самых частых углов

Градусы	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
Радианы	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

Совет для быстрого перевода в уме

Градусы → радианы: умножь градусы на $π$ и раздели на 180, сократи дробь.
Радианы → градусы: замени $π$ на 180° и посчитай.
Запомни: $180^{\circ} = π$ — это главный ключ. Тогда $90^{\circ} = \frac{π}{2}$ , $45^{\circ} = \frac{π}{4}$ , $60^{\circ} = \frac{π}{3}$ , $30^{\circ} = \frac{π}{6}$ .

Знаки тригонометрических функций по четвертям

I четверть (0 − 90°): все функции $> 0$ ( $\sin, \cos, tg, ctg$ ).
II четверть (90 − 180°): только $\sin > 0$ .
III четверть (180 − 270°): только $tg$ и $ctg > 0$ .
IV четверть (270 − 360°): только $\cos > 0$ .

Как найти значение sin, cos для любого угла через окружность

Привести угол к диапазону 0–360° (вычесть/прибавить 360° или 2π).
Определить четверть → знак.
Найти острый угол (до ближайшей оси) и взять табличное значение.
Поставить знак.

Пример: $\sin 150 °$ .

150° — II четверть, синус > 0.

До 180° не хватает 30°, значит, $\sin 150 ° = \sin 30 ° = 0, 5$ .

Особые случаи: отрицательные углы

$\cos (- x) = \cos x$ (чётная функция)

$\sin (- x) = - \sin x$ (нечётная функция)

$tg (- x) = - tg x$

Разбор заданий из ЕГЭ (№ 7)

В задании № 7 ЕГЭ проверяют умение вычислять значения тригонометрических выражений без калькулятора.

Задача 1

$12 \cdot \sin 150^{\circ} \cdot \cos 120^{\circ}$

$\sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

$\cos 120^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 60^{\circ}) = - \cos 60^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .

Произведение: $12 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = 12 \cdot (- \frac{1}{4}) = - 3$ .

Ответ: −3.

Задача 2

$12 \sqrt{2} \cdot \cos (- 225^{\circ})$

Косинус чётный: $\cos (- 225^{\circ}) = \cos 225^{\circ}$ .

$225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ} \to$ III четверть, косинус отрицательный.

$\cos 225^{\circ} = - \cos 45^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Итого: $12 \sqrt{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 12 \cdot (\frac{2}{2}) = - 12$ .

Ответ: −12.

Задача 3

$4 \sqrt{3} \cdot \sin (- 120^{\circ})$

Синус нечётный: $\sin (- 120^{\circ}) = - \sin 120^{\circ}$ .

$120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} \to$ II четверть, синус > 0, $\sin 120^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Значит, $\sin (- 120^{\circ}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Выражение: $4 \sqrt{3} \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - 4 \cdot (\frac{3}{2}) = - 6$ .

Ответ: −6.

Задача 4 (радианы)

$26 \sqrt{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{4 π}{3})$

$\cos (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4 π}{3} = 240^{\circ}$ (III четверть, косинус < 0).

$\cos (\frac{4 π}{3}) = - \cos (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}$ .

Произведение: $26 \sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = 26 \sqrt{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{4}) = - 26 \cdot (\frac{2}{4}) = - 13$ .

Ответ: −13.

Задача 5

$18 \sqrt{2} \cdot tg (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{4})$

$tg (\frac{π}{4}) = 1$ .

$\sin (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Итого: $18 \sqrt{2} \cdot 1 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 18 \cdot (\frac{2}{2}) = 18$ .

Ответ: 18.

Решение уравнения с отбором корней (ЕГЭ № 6 — база для окружности)

Задача 6

Решите уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . В ответе укажите сумму корней в интервале от 0 до $2 π$ , делённую на $π$ .

На окружности $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \frac{π}{3}$ и $x = \frac{2 π}{3}$ (вторая четверть).

Сумма: $\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = π$ .

Делим на $π \to 1$ .

Ответ: 1.

Типичные ошибки

Ошибка	Как избежать
Путаю знак синуса/косинуса во II и III четвертях	Рисуй окружность и подписывай знаки
Забываю, что $\cos (- x) = \cos x$	Запомни: косинус — чётный
Неправильно перевожу градусы в радианы	Учи таблицу: $180 ° = π$ рад
Ошибаюсь в $\sin 120 °$ (думаю, что = $- \sqrt{\frac{3}{2}}$ )	Вспомни: $\sin > 0$ во II четверти

Совет для запоминания:

Синус — ось Y (вертикаль) → знак как у игрек.
Косинус — ось X (горизонталь) → знак как у икс.
Тангенс = $\frac{y}{x}$ → знак «+» в I и III четвертях.

Заключение

Теперь ты умеешь:

переводить градусы в радианы и обратно;
определять знак синуса, косинуса, тангенса по четвертям;
вычислять значения выражений с углами 120°, 135°, 150°, 225°, −120°, −225°;
решать простейшее тригонометрическое уравнение и находить сумму корней на интервале,
уверенно решать задания № 7, 6 из ЕГЭ.

Потренируйся на задачах: