Введение
Треугольник — базовая фигура планиметрии. Умение находить его неизвестные элементы открывает дорогу к решению многих экзаменационных задач.
В этой статье разберём два приёма: теорему синусов и теорему косинусов. Именно они чаще всего требуются в задании № 23 ОГЭ (расчётная геометрическая задача) и в № 17 ЕГЭ профильного уровня (задача повышенной сложности). Покажем, в каких ситуациях какой инструмент удобнее, на что обращать внимание при вычислениях и как избежать распространённых ловушек.
Решить треугольник: о чём идёт речь
Выражение «решить треугольник» означает: по нескольким известным элементам — сторонам, углам, высотам, медианам — определить остальные. На экзамене редко требуется найти всё — чаще нужно вычислить конкретную величину: длину отрезка, градусную меру угла или радиус окружности.
Ключевые соотношения
Теорема синусов
Отношение стороны к синусу противоположного угла одинаково для всех трёх сторон. Более того, это общее значение равно удвоенному радиусу описанной окружности:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$
Теорема косинусов
Квадрат любой стороны можно выразить через две другие стороны и косинус угла между ними. Например, для стороны a:
$a^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cdot \cos \alpha$
Как сориентироваться: выбираем нужную теорему
На практике выбор между синусами и косинусами определяется тем, какие элементы треугольника известны:
Если известны две стороны и угол между ними — сразу применяем теорему косинусов, чтобы найти третью сторону.
Если даны три стороны — тоже используем теорему косинусов, из неё выражаем любой из углов.
Если в условии есть два угла и любая сторона — ситуация для теоремы синусов. Через известную сторону и её противолежащий угол находим общее отношение, затем — остальные стороны.
Если даны две стороны и угол, который лежит не между ними, снова выручает теорема синусов, но здесь нужно обратить внимание на то, что может получиться два варианта (острый и тупой угол).
Связь с радиусом описанной окружности тоже удобно запоминать через теорему синусов:
$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$
Разбор задач
Блок 1. Базовые задачи
Пример 1. Применяем теорему косинусов
Условие
В треугольнике ABC известно: AB = 5, BC = 7, угол B = 60°. Нужно найти AC.
Сторона AC лежит напротив угла B, а нам даны именно две стороны, образующие этот угол (AB и BC). Записываем теорему косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$.
Подставляем числа:
$AC^2 = 5^2 + 7^2 − 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 49 − 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 − 35 = 39$.
Следовательно, $AC = \sqrt{39}$.
Ответ: $\sqrt{39}$.
Пример 2. Работает теорема синусов
Условие
В треугольнике ABC сторона BC = 12, угол A = 30°, угол B = 45°. Требуется найти длину AC.
Сначала находим третий угол:
∠C = 180° − 30° − 45° = 105°.
$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$.
Отсюда $AC = BC \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 12 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 12 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12\sqrt{2}$.
Ответ: $12\sqrt{2}$.
Блок 2. ЕГЭ, задание № 17 — задача с дополнительными построениями
Условие
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. На катете AC отмечена точка M, на продолжении катета BC за точку C — точка N. При этом CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы соответственно треугольников ACB и NCM.
а) Доказать, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Найти длину PQ, если BC = 3, AC = 5.
а) Доказательство перпендикулярности
В исходном треугольнике ABC угол C прямой, поэтому его биссектриса CP делит прямой угол пополам:
$\angle PCA = \angle PCB = 45^\circ$.
Рассмотрим треугольник NCM. По построению CN = AC и CM = BC. Угол между этими отрезками также прямой, так как N лежит на продолжении BC, а M — на AC. Следовательно, угол $NCM = 90^\circ$. Биссектриса CQ этого угла даёт $\angle QCM = 45^\circ$.
Угол между CP и CQ складывается из угла QCM и угла MCP:
$\angle QCP = \angle QCM + \angle MCP = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
Это и означает, что $CP \perp CQ$.
б) Вычисление отрезка PQ
Шаг 1. Равенство отрезков
Треугольники NCM и ACB равны по двум катетам (оба прямоугольные, CM = BC, CN = AC). Значит, QC = CP как соответственные элементы.
Шаг 2. Гипотенуза исходного треугольника
По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$.
Шаг 3. Косинус угла при вершине B
$\cos \angle ABC = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
Шаг 4. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону AB
По свойству биссектрисы $\frac{BP}{PA} = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$.
Вся сторона AB составляет 8 частей, поэтому $BP = \frac{3}{8} \cdot AB = \frac{3}{8}\sqrt{34}$, $PA = \frac{5}{8}\sqrt{34}$.
Шаг 5. Длина CP через теорему косинусов в треугольнике CPB
В треугольнике CPB известны: BC = 3, $BP = \frac{3}{8}\sqrt{34}$, угол CBP совпадает с углом ABC, его косинус уже найден. Пишем: $CP^2 = BC^2 + BP^2 − 2 \cdot BC \cdot BP \cdot \cos \angle CBP$.
Подстановка:
$CP^2 = 9 + \left(\frac{3}{8}\sqrt{34}\right)^2 − 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8}\sqrt{34} \cdot \frac{3}{\sqrt{34}}$.
Упрощаем:
$CP^2 = 9 + \frac{9}{64} \cdot 34 − 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8} \cdot 3$.
$CP^2 = 9 + \frac{306}{64} − \frac{54}{8}$.
Приводим к общему знаменателю 32:
$CP^2 = \frac{288}{32} + \frac{153}{32} − \frac{216}{32} = \frac{225}{32}$.
Таким образом, $CP = \frac{15}{\sqrt{32}} = \frac{15}{4\sqrt{2}}$.
Шаг 6. Финальный расчёт PQ
Треугольник QCP прямоугольный и равнобедренный (доказано, что $CP \perp CQ$ и QC = CP).
По теореме Пифагора: $PQ = \sqrt{CP^2 + CQ^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{225}{32}} = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4}$.
Ответ: $\frac{15}{4}$.
Частые затруднения и как их преодолеть
Не могу выбрать между синусами и косинусами.
Сделай для себя простую памятку:- Косинусы работают, когда ты имеешь дело с двумя сторонами и углом между ними (или с тремя сторонами).
- Синусы удобны, если в условии фигурирует пара «сторона — противолежащий угол» (два угла и сторона, две стороны и угол не между ними).
Забываю про два возможных варианта в задаче с двумя сторонами и углом не между ними.
Когда применяешь теорему синусов, помни: синус угла может соответствовать как острому, так и тупому углу (если только задача не ограничивает тип треугольника). Проверяй, может ли найденный угол быть тупым, и если да, то учитывай оба случая.Ошибаюсь в знаках при использовании теоремы косинусов для тупого угла.
Косинус тупого угла отрицателен. Это превращает знак «минус» в формуле в «плюс». Чтобы не запутаться, всегда подставляй числовые значения аккуратно, лучше сначала записать выражение в общем виде, а потом — конкретные числа.В сложных задачах ЕГЭ забываю, как связаны сторона и радиус описанной окружности.
Из теоремы синусов: $a = 2R \sin A$, значит, $R = \frac{a}{2 sin A}$. Эта формула выручает, если в задаче фигурирует описанная окружность.
Заключение
После разбора этого материала ты сможешь:
- осознанно выбирать между теоремой синусов и теоремой косинусов в зависимости от того, какие элементы треугольника известны;
- применять свойство биссектрисы для нахождения отрезков, на которые она разбивает сторону;
- комбинировать эти инструменты в задачах повышенной сложности, которые включают дополнительные построения.
В результате ты можешь решать:
- задание № 23 ОГЭ — любые вычислительные задачи, связанные с треугольником;
- задание № 17 ЕГЭ — планиметрические задачи, где требуется не только найти неизвестный элемент, но и провести рассуждение, которое часто включает несколько геометрических фактов.
Главный совет: не заучивай бездумно формулы, а старайся видеть геометрическую ситуацию. Хороший чертёж и аккуратно подписанные данные — половина успеха.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
