Введение

Треугольник — базовая фигура планиметрии. Умение находить его неизвестные элементы открывает дорогу к решению многих экзаменационных задач.

В этой статье разберём два приёма: теорему синусов и теорему косинусов. Именно они чаще всего требуются в задании № 23 ОГЭ (расчётная геометрическая задача) и в № 17 ЕГЭ профильного уровня (задача повышенной сложности). Покажем, в каких ситуациях какой инструмент удобнее, на что обращать внимание при вычислениях и как избежать распространённых ловушек.

Решить треугольник: о чём идёт речь

Выражение «решить треугольник» означает: по нескольким известным элементам — сторонам, углам, высотам, медианам — определить остальные. На экзамене редко требуется найти всё — чаще нужно вычислить конкретную величину: длину отрезка, градусную меру угла или радиус окружности.

Ключевые соотношения

Теорема синусов

Отношение стороны к синусу противоположного угла одинаково для всех трёх сторон. Более того, это общее значение равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} = 2 R$

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны можно выразить через две другие стороны и косинус угла между ними. Например, для стороны a:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α$

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Как сориентироваться: выбираем нужную теорему

На практике выбор между синусами и косинусами определяется тем, какие элементы треугольника известны:

Если известны две стороны и угол между ними — сразу применяем теорему косинусов, чтобы найти третью сторону.
Если даны три стороны — тоже используем теорему косинусов, из неё выражаем любой из углов.
Если в условии есть два угла и любая сторона — ситуация для теоремы синусов. Через известную сторону и её противолежащий угол находим общее отношение, затем — остальные стороны.
Если даны две стороны и угол, который лежит не между ними, снова выручает теорема синусов, но здесь нужно обратить внимание на то, что может получиться два варианта (острый и тупой угол).

Связь с радиусом описанной окружности тоже удобно запоминать через теорему синусов:

$R = \frac{a}{2 \sin α}$

Разбор задач

Блок 1. Базовые задачи

Пример 1. Применяем теорему косинусов

Условие

В треугольнике ABC известно: AB = 5, BC = 7, угол B = 60°. Нужно найти AC.

Сторона AC лежит напротив угла B, а нам даны именно две стороны, образующие этот угол (AB и BC). Записываем теорему косинусов:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot \cos B$ .

Подставляем числа:

$A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^{\circ} = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .

Следовательно, $A C = \sqrt{39}$ .

Ответ: $\sqrt{39}$ .

Пример 2. Работает теорема синусов

Условие

В треугольнике ABC сторона BC = 12, угол A = 30°, угол B = 45°. Требуется найти длину AC.

Сначала находим третий угол:

∠C = 180° − 30° − 45° = 105°.

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$ .

Отсюда $A C = B C \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 12 \cdot \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 12 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 12 \sqrt{2}$ .

Ответ: $12 \sqrt{2}$ .

Блок 2. ЕГЭ, задание № 17 — задача с дополнительными построениями

Условие

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. На катете AC отмечена точка M, на продолжении катета BC за точку C — точка N. При этом CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы соответственно треугольников ACB и NCM.

а) Доказать, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Найти длину PQ, если BC = 3, AC = 5.

Задача с дополнительными построениями

а) Доказательство перпендикулярности

В исходном треугольнике ABC угол C прямой, поэтому его биссектриса CP делит прямой угол пополам:
$∠ P C A = ∠ P C B = 45^{\circ}$ .

Рассмотрим треугольник NCM. По построению CN = AC и CM = BC. Угол между этими отрезками также прямой, так как N лежит на продолжении BC, а M — на AC. Следовательно, угол $N C M = 90^{\circ}$ . Биссектриса CQ этого угла даёт $∠ Q C M = 45^{\circ}$ .

Угол между CP и CQ складывается из угла QCM и угла MCP:
$∠ Q C P = ∠ Q C M + ∠ M C P = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ .

Это и означает, что $C P ⟂ C Q$ .

б) Вычисление отрезка PQ

Шаг 1. Равенство отрезков

Треугольники NCM и ACB равны по двум катетам (оба прямоугольные, CM = BC, CN = AC). Значит, QC = CP как соответственные элементы.

Шаг 2. Гипотенуза исходного треугольника

По теореме Пифагора: $A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$ .

Шаг 3. Косинус угла при вершине B

$\cos ∠ A B C = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{\sqrt{34}}$ .

Шаг 4. Отрезки, на которые биссектриса делит сторону AB

По свойству биссектрисы $\frac{B P}{P A} = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{5}$ .

Вся сторона AB составляет 8 частей, поэтому $B P = \frac{3}{8} \cdot A B = \frac{3}{8} \sqrt{34}$ , $P A = \frac{5}{8} \sqrt{34}$ .

Шаг 5. Длина CP через теорему косинусов в треугольнике CPB

В треугольнике CPB известны: BC = 3, $B P = \frac{3}{8} \sqrt{34}$ , угол CBP совпадает с углом ABC, его косинус уже найден. Пишем: $C P^{2} = B C^{2} + B P^{2} - 2 \cdot B C \cdot B P \cdot \cos ∠ C B P$ .

Подстановка:
$C P^{2} = 9 + {(\frac{3}{8} \sqrt{34})}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8} \sqrt{34} \cdot \frac{3}{\sqrt{34}}$ .

Упрощаем:
$C P^{2} = 9 + \frac{9}{64} \cdot 34 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{8} \cdot 3$ .
$C P^{2} = 9 + \frac{306}{64} - \frac{54}{8}$ .

Приводим к общему знаменателю 32:
$C P^{2} = \frac{288}{32} + \frac{153}{32} - \frac{216}{32} = \frac{225}{32}$ .

Таким образом, $C P = \frac{15}{\sqrt{32}} = \frac{15}{4 \sqrt{2}}$ .

Шаг 6. Финальный расчёт PQ

Треугольник QCP прямоугольный и равнобедренный (доказано, что $C P ⟂ C Q$ и QC = CP).

По теореме Пифагора: $P Q = \sqrt{C P^{2} + C Q^{2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{225}{32}} = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4}$ .

Ответ: $\frac{15}{4}$ .

Частые затруднения и как их преодолеть

Не могу выбрать между синусами и косинусами.
Сделай для себя простую памятку:
- Косинусы работают, когда ты имеешь дело с двумя сторонами и углом между ними (или с тремя сторонами).
- Синусы удобны, если в условии фигурирует пара «сторона — противолежащий угол» (два угла и сторона, две стороны и угол не между ними).
Забываю про два возможных варианта в задаче с двумя сторонами и углом не между ними.
Когда применяешь теорему синусов, помни: синус угла может соответствовать как острому, так и тупому углу (если только задача не ограничивает тип треугольника). Проверяй, может ли найденный угол быть тупым, и если да, то учитывай оба случая.
Ошибаюсь в знаках при использовании теоремы косинусов для тупого угла.
Косинус тупого угла отрицателен. Это превращает знак «минус» в формуле в «плюс». Чтобы не запутаться, всегда подставляй числовые значения аккуратно, лучше сначала записать выражение в общем виде, а потом — конкретные числа.
В сложных задачах ЕГЭ забываю, как связаны сторона и радиус описанной окружности.
Из теоремы синусов: $a = 2 R \sin A$ , значит, $R = \frac{a}{2 s i n A}$ . Эта формула выручает, если в задаче фигурирует описанная окружность.

Заключение

После разбора этого материала ты сможешь:

осознанно выбирать между теоремой синусов и теоремой косинусов в зависимости от того, какие элементы треугольника известны;
применять свойство биссектрисы для нахождения отрезков, на которые она разбивает сторону;
комбинировать эти инструменты в задачах повышенной сложности, которые включают дополнительные построения.

В результате ты можешь решать:

задание № 23 ОГЭ — любые вычислительные задачи, связанные с треугольником;
задание № 17 ЕГЭ — планиметрические задачи, где требуется не только найти неизвестный элемент, но и провести рассуждение, которое часто включает несколько геометрических фактов.

Главный совет: не заучивай бездумно формулы, а старайся видеть геометрическую ситуацию. Хороший чертёж и аккуратно подписанные данные — половина успеха.