Кусочно-непрерывные функции в ОГЭ № 22: полный разбор

Шаг 1. Строим первый кусок: y = 2x — 2 при x < 3

Это прямая. Найдём значение на границе: при x = 3, y = 4. Но так как x < 3, точка (3; 4) будет выколота.
Возьмём ещё одну точку: x = 0, y = -2.

Шаг 2. Строим второй кусок: y = -3x + 13 при 3 ≤ x ≤ 4

Это отрезок прямой.

• При x = 3: y = -9 + 13 = 4. Точка (3; 4) закрашена.
• При x = 4: y = -12 + 13 = 1. Точка (4; 1) закрашена.

Шаг 3. Строим третий кусок: y = 1,5x — 7 при x > 4

Это прямая. Смотрим границу: при x = 4, y = 6 — 7 = -1. Но x > 4, поэтому точка (4; -1) выколота.
Возьмём другую точку: x = 6, y = 9 — 7 = 2.

Шаг 4. Анализируем график (ищем m)

• Интервал -1 < m < 1: Возьмём, например, m = 0.
  • Первый кусок: 2x — 2 = 0 → x = 1 (подходит, 1 < 3) — одна точка.
  • Второй кусок: -3x + 13 = 0 → x = $\frac{13}{3}$ ≈ 4,33 — не подходит (должен быть от 3 до 4). Значит, на втором куске пересечений нет.
  • Третий кусок: 1,5x — 7 = 0 → x = $\frac{7}{1,5} = \frac{14}{3}$ ≈ 4,67 (подходит, x > 4) — одна точка.
  • Итого: 2 точки. Весь интервал (-1; 1) подходит.
• m = 4:
  • Первый кусок: 2x — 2 = 4 → x = 3 — не подходит, так как x < 3. Пересечения нет.
  • Второй кусок: -3x + 13 = 4 → -3x = -9 → x = 3 — подходит (закрашенная точка) — одна точка.
  • Третий кусок: 1,5x — 7 = 4 → 1,5x = 11 → x = $\frac{22}{3}$ ≈ 7,33 (подходит) — вторая точка.
  • Итого 2 точки. Подходит.
• Проверим границы:
  • m = -1: третий кусок дает x = 4 (выколотая) — не считается, первый кусок дает x = 0,5 — одна точка, второй кусок -3x + 13 = -1 → x= $\frac{14}{3}$ — не подходит. Итого 1 точка.
  • m = 1: второй кусок дает x = 4 (закрашенная) — одна точка, третий кусок 1,5x — 7 = 1 → x = $\frac{16}{3}$ ≈ 5,33 — вторая точка, первый кусок 2x — 2 = 1 → x = 1,5 — третья точка. Итого 3 точки.

Ответ: m ∈ (-1; 1) ∪ {4}.

Шаг 1. Строим первый кусок: y = x² — 6x + 11 при x ≥ 2

Это парабола, ветви вверх.

• Вершина: $x_0 = \frac{−b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$, $y_0 = 9 − 18 + 11 = 2$. Точка (3; 2).
• Граница: при x = 2, y = 4 — 12 + 11 = 3. Точка (2; 3) закрашена.
• Дополнительно:
  x = 4, y = 16 — 24 + 11 = 3;
  x = 5, y = 25 — 30 + 11 = 6.

Шаг 2. Строим второй кусок: y = x + 3 при x < 2

Это прямая.

• Граница: при x = 2, y = 5. Но x < 2, поэтому точка (2; 5) выколота.
• Другая точка: x = 0, y = 3.

Шаг 3. Анализируем график (ищем m)

• m = 2:
  • Парабола: x² — 6x + 11 = 2 → x² — 6x + 9 = 0 → (x-3)² = 0 → x = 3 — одна точка.
  • Прямая: x + 3 = 2 → x = -1 (подходит, -1 < 2) — вторая точка.
  • Итого 2 точки. Подходит.
• Интервал 3 < m < 5: возьмём m = 4.
  • Парабола: x² — 6x + 11 = 4 → x² — 6x + 7 = 0. Дискриминант положительный (36 — 28 = 8), корни: x = 3 ± √2 ≈ 1,59 и 4,41. 3 — √2 ≈ 1,59 — не подходит (x ≥ 2), 3 + √2 ≈ 4,41 — подходит. На параболе одна точка.
  • Прямая: x + 3 = 4 → x = 1 (подходит) — одна точка.
  • Итого 2 точки. Весь интервал подходит.
• Проверим границы:
  • m = 3: парабола даёт x = 2 и x = 4 (две точки), прямая даёт x = 0 (одна точка) → всего 3 точки.
  • m = 5: парабола даёт один корень (первый будет x ≈ 4,7, второй корень меньше 2), прямая даёт x = 2 (выколота) → всего 1 точка.

Ответ: m ∈ (3; 5) ∪ {2}.

Шаг 1. Строим первый кусок: y = x² — 2x + 1 при x ≥ -2

Заметим, что y = (x-1)². Ветви вверх.

• Вершина: $x_0 = \frac{−b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$, $y_0 = 1 − 2 + 1 = 0$. Точка (1; 0).
• Граница: при x = -2, y = (-2-1)² = 9. Точка (-2; 9) закрашена.
• Дополнительно:
  x = -1, y = 4;
  x = 0, y = 1.

Шаг 2. Строим второй кусок: $y = \frac{−18}{x}$ при x < -2

Это гипербола. Нас интересует левая ветка (x < 0).

• Граница: при $x = −2$, $y = \frac{−18}{−2} = 9$. Но x < -2, поэтому точка (-2; 9) выколота.
• Дополнительно:
  x = -3, y = 6;
  x = -6, y = 3;
  x = -9, y = 2;
  x = -4, y = 4,5.

Шаг 3. Анализируем график (ищем m)

• m = 9:
  • Парабола: (x-1)² = 9 → x-1 = ±3 → x = 4 и x = -2. Обе точки подходят (x ≥ -2). На параболе две точки.
  • Гипербола: имеет выколотую точку (-2; 9), но она не считается. Пересечений с гиперболой нет.
  • Итого 2 точки. Подходит.
• Другие значения m:
  • При 0 < m < 1: парабола даёт две точки (ветви слева и справа от вершины), гипербола даёт одну точку → 3 точки.
  • При 1 < m < 4: парабола даёт две точки, гипербола даёт одну точку → 3 точки.
  • При 4 < m < 9: парабола даёт две точки, гипербола даёт одну точку → 3 точки.
  • При m > 9: парабола даёт одну точку (второй корень меньше -2, не подходит), гипербола не пересекает (так как $y = \frac{−18}{x}$ при x < -2 даёт y < 9) → 1 точка.
    При m = 0: парабола даёт одну точку (вершина), гипербола не пересекает → 1 точка.
  • При m < 0: парабола не пересекает (ветви вверх, минимум 0). Гипербола также не пересекает график. При m < 0, $\frac{−18}{x}$ = m → $x = \frac{−18}{m}$. Если m < 0, то x > 0, а это не подходит (x < -2). Значит, пересечений нет. Итого 0 точек.

Таким образом, единственное значение, дающее ровно две точки, — m = 9.

Ответ: m = 9.