При решении уравнений мы привыкли, что из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень. Однако математика позволяет обойти это ограничение с помощью комплексных чисел. Хоть эта тема и не встречается напрямую в базовых заданиях ЕГЭ по математике, понимание алгебраической формы и действий с комплексными числами помогает глубже понять алгебру и пригодится для решения сложных задач с параметрами, а также на олимпиадах. В этой статье разберёмся, как устроены такие конструкции и по каким правилам с ними работать.
Из чего состоит комплексное число
Комплексное число — это выражение вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — любые действительные числа, а $i$ — мнимая единица. Главное свойство мнимой единицы описывается строгим равенством: $i^2=-1$.
Благодаря этому правилу можно извлекать корни из отрицательных величин $\sqrt{-a} = i\sqrt{a}$ при $a > 0$.
Частные случаи и равенство комплексных чисел
Если действительная часть равна нулю ($a = 0$), число принимает вид $z = bi$. Такие числа называют чисто мнимыми.
При равенстве мнимой части нулю ($b = 0$) выражение полностью совпадает с классическим действительным числом. Поэтому все известные нам обычные числа являются подмножеством комплексных чисел.
Два комплексных числа считаются равными только в одном случае: если попарно совпадают их действительные и мнимые части.
Действия с комплексными числами
Алгебраическая форма записи позволяет выполнять математические операции без создания громоздких правил. Сложение, вычитание и умножение работают здесь так же, как в привычной алгебре многочленов.
Сложение и вычитание
Суммирование или нахождение разности сводится к простому приведению подобных слагаемых. Нужно сложить или вычесть обычные числовые элементы отдельно и точно так же объединить элементы, содержащие букву $i$.
Умножение и деление
Произведение вычисляется стандартным раскрытием скобок. Каждое слагаемое первой части нужно перемножить с каждым слагаемым второй. Отличие состоит в том, что при появлении $i^2$ нужно заменить эту конструкцию на минус единицу.
Для деления понадобится понятие комплексно сопряжённых чисел. Это числа, которые отличаются исключительно знаком перед мнимой частью. Если умножить их друг на друга, результат превратится в положительное действительное число. Этот приём позволяет избавиться от мнимых единиц в знаменателе дроби.
Пошаговый алгоритм вычислений
Чтобы решить задачу с комплексными числами, используй чёткий алгоритм действий:
- Внимательно посмотри на требуемый математический знак.
- При сложении опусти скобки и приведи подобные слагаемые.
- При вычитании поменяй знаки внутри второй скобки.
- При умножении раскрой выражение фонтанчиком и замени все получившиеся $i^2$ на минус единицы.
- При делении умножай числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое исходному знаменателю.
Разбор примеров
Сложение
Условие
Даны значения $z_1 = 3 + 2i$ и $z_2=-1 + 4i$. Найди их сумму.
Решение
Шаг 1. Составим единое выражение: $(3 + 2i) + (-1 + 4i)$.
Шаг 2. Вычислим разность действительных частей: $3-1=2$.
Шаг 3. Сложим мнимые части: $2 + 4 = 6$. Допишем $i$.
Ответ: $2 + 6i$.
Умножение
Условие
Вычисли произведение $(1-2i)(3 + i)$.
Решение
Шаг 1. Раскроем скобки всеми возможными парами: $1 \cdot 3 + 1 \cdot i-2i \cdot 3-2i \cdot i$.
Шаг 2. Запишем первичный результат: $3 + i-6i-2i^2$.
Шаг 3. Заменим $i^2$ на $-1$. Выражение $-2i^2$ превратится в число $2$.
Шаг 4. Посчитаем подобные слагаемые: $3 + 2 = 5$ и $i-6i=-5i$.
Ответ: $5-5i$.
Деление
Условие
Вычисли значение дроби $\dfrac{2 + i}{1-i}$.
Решение
Шаг 1. Изучим знаменатель. Он равен $1-i$. Сопряжённая ему выражение будет выглядеть как $1 + i$.
Шаг 2. Домножим числитель и знаменатель на эту конструкцию: $\dfrac{(2 + i)(1 + i)}{(1-i)(1 + i)}$.
Шаг 3. Найдём значение знаменателя по формуле разности квадратов: $1^2-i^2=1-(-1)=2$.
Шаг 4. Вычислим значение числителя: $2 + 2i + i + i^2$. Приведём подобные с учётом квадрата мнимой единицы: $2 + 3i-1=1 + 3i$.
Шаг 5. Выполним почленное деление числителя на знаменатель $\dfrac{1+3i}{2}$. Результат деления единицы на два равен $0,5$, а результат деления тройки на два равен $1,5$.
Ответ: $0{,}5 + 1{,}5i$.
Типичные ошибки
Даже хорошо подготовленные ученики часто допускают вычислительные и логические ошибки в этой теме. Обрати внимание на основные ловушки, чтобы не потерять баллы на экзамене.
- Определение параметров. Мнимая часть обозначается исключительно коэффициентом перед символом, поэтому в выражении $4 + 7i$ она равна $7$, а не $7i$.
- Сравнение величин. Понятия сравнения к комплексной области неприменимы. На числовой прямой они не выстраиваются, поэтому утверждать, что $6 + 3i$ больше, чем $1 + 2i$, неверно.
- Деление дробей. Нельзя просто разделить первое число числителя на первое число знаменателя. Избавляться от мнимой единицы в знаменателе нужно строго через домножение на сопряжённое выражение.
- Работа со знаками. При получении значения $-5i^2$ не стоит просто стирать букву и переносить минус пять в ответ. Нужно учитывать, что квадрат мнимой единицы равен минус одному: поэтому выражение $-5i^2$ превращается в $5$.
Задания для самопроверки
Примени изученный алгоритм самостоятельно, чтобы закрепить материал.
Задание 1. Вычисли разность выражений $(6-4i)-(3 + i)$.
Шаг 1. Раскроем скобки и поменяем знаки у вычитаемого.
Шаг 2. Найдём разность действительных частей: $6-3=3$.
Шаг 3. Найдём разность мнимых частей: $-4-1=-5$.
Ответ: $3-5i$.
Задание 2. Раскрой квадрат одночлена $(3i)^2$.
Возведём в квадрат каждый множитель. Девятка умножается на $-1$ (так как $i^2=-1$).
Ответ: $-9$.
Задание 3. Выполни деление дроби $\dfrac{10i}{1 + 3i}$.
Шаг 1. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение $1-3i$, сопряжённое знаменателю.
Шаг 2. Определим знаменатель: $1^2-(3i)^2=1-9i^2=1-9 \cdot (-1)=10$.
Шаг 3. Раскроем скобки в числителе: $10i \cdot (1-3i)=10i-30i^2=10i + 30$.
Шаг 4. Разделим почленно числитель на знаменатель и поставим числа в правильном порядке.
Ответ: $3 + i$.
Заключение
Теперь ты понимаешь алгебраическую природу комплексных чисел и умеешь выполнять с ними нужные вычисления. Главным инструментом во время решения таких примеров остаётся свойство квадрата мнимой единицы ($i^2=-1$). Навыки группировки элементов и работы с сопряжёнными знаменателями помогут тебе уверенно справляться с нетипичными математическими задачами, заданиями профильного ЕГЭ и олимпиадами. Чтобы алгоритм не забывался, регулярно решай тренировочные задачи и внимательно следи за знаками при раскрытии скобок.
