Задание № 18 ЕГЭ: как не потерять корни в квадратных уравнениях с параметром

Пусть дано уравнение с переменной $x$ и параметром $a$:

Главное правило, которое спасает от глупых ошибок: прежде чем считать дискриминант, посмотри на коэффициент при $x^2$.

• Если $A(a) = 0$, уравнение перестаёт быть квадратным. Оно превращается в линейное: $B(a) \cdot x + C(a) = 0$. У такого уравнения может быть ноль, одно или бесконечно много решений.
• Если $A(a) \neq 0$, перед нами обычный квадратный трёхчлен. Тогда количество корней определяется знаком дискриминанта:
  • $D > 0$ → два разных корня;
  • $D = 0$ → один корень (два совпадающих);
  • $D < 0$ → корней нет.

Большинство ошибок происходит именно из-за забытого случая $A(a) = 0$. Запомни три ловушки:

1. Сказано «ровно два корня» — это автоматически означает $A(a) \neq 0$ и $D > 0$.
2. Сказано «ровно один корень» — здесь два принципиально разных сценария:
   • либо $A(a) = 0$ и линейное уравнение даёт единственное решение;
   • либо $A(a) \neq 0$ и дискриминант равен нулю.
3. Если условие накладывает ограничения на знаки корней (оба положительны, разных знаков, лежат на отрезке и тому подобное), без теоремы Виета или анализа расположения параболы не обойтись.

Схема действий:

1. Выпиши коэффициенты $A(a)$, $B(a)$, $C(a)$.
2. Реши уравнение $A(a) = 0$. Каждое такое значение параметра проверь отдельно — вдруг там получится нужное количество корней.
3. Для всех остальных $a$ (где $A(a) \neq 0$) считай дискриминант $D$.
4. Нанеси на числовую ось все значения $a$, где $D = 0$ и где $D > 0$ / $D < 0$.
5. Если в условии есть дополнительные требования (например, «корни больше нуля»), подключай теорему Виета:

Знаки неравенств зависят от конкретного задания: строгие или нестрогие.

Ниже — пять заданий разного уровня сложности: первые четыре связаны с квадратными уравнениями, а последнее представляет собой реальную экзаменационную задачу с показательной заменой.

Задача 1. Один корень — два возможных варианта

Условие: найди все $a$, при которых $ax^2 + (a + 1)x + 1 = 0$ имеет ровно одно решение.

Решение

Шаг 1. Линейный случай

$a = 0$ → уравнение превращается в $x + 1 = 0$, откуда $x = −1$. Один корень — подходит.

Шаг 2. Квадратный случай

$a \neq 0$. Ищем $D = 0$:

$D = (a + 1)^2 − 4a = a^2 + 2a + 1 − 4a = a^2 − 2a + 1 = (a − 1)^2$.

$D = 0$ при $a = 1$. Проверяем: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0$ → единственный корень $x = −1$.

Ответ: $a = 0$ и $a = 1$.

Задача 2. Два положительных корня

Условие: найди все $a$, при которых $x^2 − 2(a − 1)x + a^2 − 2a = 0$ имеет два различных положительных корня.

Решение

Старший коэффициент равен 1 (никогда не нулю). Поэтому линейный случай можно не рассматривать.

Требования:

• $D > 0$ (разные корни);
• сумма корней $S = 2(a − 1) > 0$;
• произведение $P = a^2 − 2a > 0$.

Считаем:

$\frac{D}{4} = (a − 1)^2 − (a^2 − 2a) = a^2 − 2a + 1 − a^2 + 2a = 1 > 0$.

Дискриминант всегда положителен — первое условие выполнено автоматически.

$S > 0 \Rightarrow a > 1$.
$P > 0 \Rightarrow a(a − 2) > 0 \Rightarrow a 2$.

Пересекаем: $a > 1$ и ($a < 0$ или $a > 2$) → остаётся $a > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

Задача 3. Ровно один корень на отрезке

Условие: найди все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 − (a + 2)x + a + 1 = 0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 3]$.

Решение

Коэффициент при $x^2$ равен 1 $\neq 0$, поэтому уравнение квадратное при всех $a$. Линейного случая нет.

Шаг 1. Дискриминант и существование корней

$D = (a + 2)^2 − 4(a + 1) = a^2 + 4a + 4 − 4a − 4 = a^2$.

Дискриминант $D = a^2 \geq 0$ при всех $a$.

• Если $a \neq 0$, то $D > 0$ → два различных корня.
• Если $a = 0$, то $D = 0$ → один корень (кратности 2).

Шаг 2. Поиск корней

$x = \frac{(a + 2) \pm \sqrt{a^2}}{2} = \frac{a + 2 \pm |a|}{2}.$

Рассмотрим два случая.

1. Случай А: $a \geq 0$. Тогда $|a| = a$ и корни:
   $x_1 = \frac{a + 2 + a}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$;
   $x_2 = \frac{a + 2 − a}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
2. Случай Б: $a < 0$. Тогда $|a| = -a$ и корни:
   $x_1 = \frac{a + 2 + (−a)}{2} = \frac{2}{2} = 1$;
   $x_2 = \frac{a + 2 − (−a)}{2} = \frac{a + 2 + a}{2} = \frac{2a + 2}{2} = a + 1$.

Видим, что при любом $a$ корни уравнения: $x = 1$ и $x = a + 1$. (При $a = 0$ оба корня совпадают: $x = 1$ и $x = 1$.)

Шаг 3. Условие «ровно один корень на отрезке $[0; 3]$»

Корень $x = 1$ всегда лежит на отрезке $[0; 3]$, потому что $0 \leq 1 \leq 3$.
Значит, у нас уже есть один корень на отрезке — это $x = 1$. Чтобы он был единственным на этом отрезке, второй корень $x = a + 1$ не должен попадать в $[0; 3]$ (кроме случая, когда он совпадает с первым, но тогда корень один — это допустимо).

Шаг 4. Разбор возможных ситуаций

Ситуация 1. Второй корень совпадает с первым: $a + 1 = 1 \Rightarrow a = 0$. Тогда уравнение имеет единственный корень $x = 1$ (кратности 2). На отрезке он ровно один — подходит.

Ситуация 2. Второй корень не совпадает с первым ($a \neq 0$) и лежит вне отрезка $[0; 3]$.
То есть $a + 1 < 0$ или $a + 1 > 3$.

• $a + 1 < 0 \Rightarrow a < −1$.
• $a + 1 > 3 \Rightarrow a > 2$.

При таких $a$ на отрезке $[0; 3]$ остаётся только корень $x = 1$ → ровно один корень.

Ситуация 3. Второй корень попадает в отрезок $[0; 3]$ (но не совпадает с 1).
Это $0 \leq a + 1 \leq 3$ и $a + 1 \neq 1$, то есть $−1 \leq a \leq 2$, $a \neq 0$.

В этом случае на отрезке будут оба корня ($1$ и $a + 1$) → два корня. Нам не подходит.

Шаг 5. Проверка границ

• При $a = −1$: $a + 1 = 0$. Корни: $1$ и $0$. На отрезке $[0; 3]$ лежат оба ($0$ и $1$) → два корня. Не подходит.
• При $a = 2$: $a + 1 = 3$. Корни: $1$ и $3$. На отрезке оба → два корня. Не подходит.
• При $a = −1$ и $a = 2$ уже учтены в ситуации 3. Не подходит.

Шаг 6. Ответ

Подходят:

• $a = 0$ (совпадающие корни, единственный корень $1$);
• $a < −1$ (второй корень левее $0$);
• $a > 2$ (второй корень правее $3$).

Ответ: $(−\infty; −1) \cup \{0\} \cup (2; +\infty)$.

Задача 4. Два корня — но с вырождением

Условие: найди все $a$, при которых $(a − 1)x^2 + 2(a + 1)x + (a + 3) = 0$ имеет ровно два различных корня.

Решение

Сначала исключаем случай, когда уравнение перестаёт быть квадратным:
$a − 1 = 0 \Rightarrow a = 1$. Подставляем $a = 1$: $0 \cdot x^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + 4 = 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = −1$. Получился один корень, а нам нужно два — значит, $a = 1$ не подходит.

Теперь $a \neq 1$. Считаем дискриминант (лучше сразу четверть):

Раскрываем:

Вычитаем:

Дискриминант всегда положителен (равен 4). Значит, при любом $a \neq 1$ уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Задача 5. Показательное уравнение с параметром

Условие: найди все значения параметра $a$, при каждом из которых $16^x + (3a^2 + 5a + 7) \cdot 4^x − 2a + 3 = 0$ имеет единственный корень.

Решение

Шаг 1. Замена

Заметим, что $16^x = (4^x)^2$. Положим $t = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого вещественного $x$, получаем ограничение: $t > 0$.

Уравнение превращается в $t^2 + (3a^2 + 5a + 7)t − 2a + 3 = 0$.
Коэффициент при $t^2$ равен 1, он никогда не обращается в ноль. Значит, линейного случая нет.

Шаг 2. Что значит «единственный корень $x$»

Функция $x → 4^x$ взаимно однозначно отображает $\mathbb{R}$ в $(0; +\infty)$. Поэтому каждому положительному $t$ соответствует ровно один $x$. Нам нужно, чтобы среди корней $t$ оказался ровно один положительный.

Шаг 3. Анализ суммы корней (теорема Виета)

Сумма корней:

Квадратный трёхчлен $3a^2 + 5a + 7$ имеет отрицательный дискриминант ($25 − 84 = −59 < 0$), поэтому он всегда строго положителен. Следовательно, $t_1 + t_2 < 0$ при любом $a$.

Шаг 4. Что даёт отрицательная сумма

Если сумма корней отрицательна:

• они не могут быть оба положительными (иначе сумма была бы больше 0);
• возможны варианты:
  • оба корня отрицательны → нет решений $x$;
  • один положительный, один отрицательный → ровно один корень $x$;
  • один корень ноль, другой отрицательный → нет решений $x$ (ноль не подходит из-за $t > 0$);
  • $D = 0$ и единственный корень положителен → ровно один корень $x$.

Шаг 5. Произведение корней

По теореме Виета:

Случай «один положительный, один отрицательный» означает $t_1 \cdot t_2 < 0$:

При $a > 1{,}5$ проверим дискриминант:

Для $a > 1{,}5$ имеем $8a − 12 > 0$, а квадрат всегда неотрицателен. Значит, $D > 0$ автоматически. Условие выполняется.

Шаг 6. Случай $D = 0$

Уравнение $D = 0$ не имеет решений (левая часть слишком велика — можно убедиться оценкой). Этот вариант отпадает.

Шаг 7. Граница $a = 1{,}5$

Подставляем: произведение корней равно нулю. Корни: $t = 0$ и $t = −(3a^2 + 5a + 7) < 0$. Положительных корней нет → решений $x$ нет.

Ответ: $(1{,}5; +\infty)$.

Теперь ты умеешь

• делать замену, чтобы свести показательное или логарифмическое уравнение к квадратному;
• не забывать про ограничения, которые накладывает эта замена;
• различать линейный и квадратный случаи, проверяя старший коэффициент;
• применять теорему Виета для отбора корней по знаку или по сумме/произведению.

С этими навыками ты сможешь решить практически любую задачу № 18 ЕГЭ, где уравнение сводится к квадратному. Главное — действовать по порядку, не торопиться и помнить про случай «обнуления квадрата».