Тригонометрическое представление комплексного числа: теория и алгоритм решения

Любое комплексное число записывается в алгебраическом виде как $z=a+bi$. Его положение на координатной плоскости задаётся точкой $M(a; b)$, где координата $a$ откладывается по горизонтальной оси, а координата $b$ — по вертикальной.

Чтобы перейти к тригонометрической форме записи, понадобятся две характеристики этой точки: расстояние до неё от начала координат и угол наклона.

Модуль комплексного числа

Поскольку точка образует с осями прямоугольный треугольник, это расстояние вычисляется по теореме Пифагора: $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

Если комплексное число равно нулю, то его модуль равен нулю, а угол определить невозможно.

Аргумент комплексного числа

Обычно главное значение аргумента ищут в промежутке $(-\pi ;\pi ]$. Чтобы найти этот угол, нужно посмотреть, в какой четверти координатной плоскости находится точка, и использовать соответствующую формулу:

• Если $a>0$ (I и IV четверти), то $\phi =arctg{\displaystyle \frac{b}{a}}$.
• Если $a 0$ (II четверть), то $\phi =\pi +\text{arctg}\frac{b}{a}$.
• Если $a<0$ и $b<0$ (III четверть), то $\phi =-\pi +arctg{\displaystyle \frac{b}{a}}$.

Когда точка лежит прямо на координатных осях, формулы значительно проще:

• При $a=0$ и $b>0$ угол $\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
• При $a=0$ и $b<0$ угол $\phi =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
• При $a>0$ и $b=0$ угол $\phi =0$.
• При $a<0$ и $b=0$ угол $\phi =\pi$.

Итоговая формула

Из рассматриваемого прямоугольного треугольника координаты точки выражаются через тригонометрические функции: $a=r\cos \phi$ и $b=r\sin \phi$. Если подставить их в первоначальное алгебраическое выражение и вынести общий множитель $r$ за скобки, получится нужный результат.

Чтобы не ошибиться в вычислениях, алгоритм перевода числа в тригонометрическую форму лучше разбить на последовательные этапы:

1. Выпиши коэффициенты $a$ (действительная часть) и $b$ (мнимая часть, которая стоит перед $i$).
2. Найди квадратный корень из суммы их квадратов. Полученное значение будет модулем $r$.
3. Определи знаки $a$ и $b$, чтобы понять координатную четверть.
4. Вычисли аргумент $\phi$ по формуле для этой четверти.
5. Подставь найденные значения $r$ и $\phi$ в общую формулу без дальнейшего вычисления синуса и косинуса.

Разберём два случая в разных четвертях.

Условие

Представить в тригонометрической форме выражение $z=1-i$.

Условие

Перевести в тригонометрический вид выражение $z=-\sqrt{3}+i$.

Тригонометрическая форма значительно упрощает вычисления: при умножении двух таких чисел модули просто перемножаются, а углы складываются. При делении модули делятся, а значения углов вычитаются.

Потерять баллы в вычислениях очень легко из-за невнимательности. Проверь себя, чтобы избежать базовых промахов:

• Игнорирование знака минус при поиске модуля. Модуль — это геометрическая длина. Возведение отрицательного числа $b$ в квадрат всегда даёт положительный результат.
• Использование формулы первой четверти для всех случаев. Обязательно проверяй знак коэффициента $a$. Если действительная часть отрицательная, в зависимости от четверти нужно прибавить или вычесть $\pi$.
• «Дорешивание» примера до конца. Не вычисляй значения синуса и косинуса в итоговой формуле. Остановись на записи с тригонометрическими функциями, иначе ты просто вернёшься к исходному алгебраическому выражению.

Попробуй решить задания самостоятельно, чтобы закрепить материал.

Задание 1

Чему равен модуль числа $z=-3+4i$?

Задание 2

Запиши число $z=i$ в тригонометрической форме.

Задание 3

Переведи выражение $z=-2-2i$ в тригонометрический вид.

Теперь ты умеешь переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую. Эти знания помогут быстрее и проще выполнять операции умножения, деления и возведения в степень по формуле Муавра. Ты понимаешь, как правильно применять формулу модуля и почему аргумент напрямую зависит от координатной четверти. Чтобы отработать навыки алгебраических преобразований и решение сложных уравнений, порешай задачи в «100балльном банке» — там собраны разнообразные прототипы из профильного ЕГЭ по математике, которые помогут чувствовать себя увереннее на экзамене.