Задания на вычисление площади фигур и работу с первообразными встречаются в первой части профильного ЕГЭ по математике. Ученики часто теряют баллы в этой теме, потому что путают порядок действий в формулах или упускают из виду геометрический смысл определённого интеграла. Разберёмся, как находить площадь закрашенной области под графиком. После прочтения статьи ты сможешь уверенно применять формулу Ньютона — Лейбница и не попадаться в типичные ловушки составителей экзамена.
Основы теории
Криволинейная трапеция — это плоская фигура. Сверху она ограничена графиком непрерывной функции $y = f(x)$, которая не принимает отрицательных значений на заданном отрезке. Снизу её границей служит горизонтальная ось абсцисс $y = 0$, а по бокам фигура зажата вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.
Чтобы вычислить площадь такой нестандартной формы, применяется интегральное исчисление. Базовый инструмент здесь носит название формулы Ньютона — Лейбница.
Главная формула
Площадь фигуры, которая сверху ограничена неотрицательной функцией, равна разности значений первообразной на концах заданного отрезка:
$S = \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$
В этом выражении $F(x)$ — это первообразная для изначальной функции $f(x)$. Переменные $a$ и $b$ обозначают пределы интегрирования, где $a$ строго меньше $b$. Сначала нужно подставить верхнюю границу отрезка, а затем вычесть результат подстановки нижней границы.
Особые случаи расположения графика
При решении нужно внимательно следить за положением функции относительно нулевой отметки. Если линия $y = f(x)$ на всем отрезке от $a$ до $b$ полностью расположена ниже оси абсцисс, применяется другая логика. Математически площадь всегда выражается положительной величиной, поэтому формула принимает вид:
$S=-\int_{a}^{b} f(x)dx = F(a)-F(b)$
Иногда требуется вычислить площадь области, зажатой сразу между двумя графиками. Если верхняя функция задана уравнением $y = f(x)$, а нижняя — уравнением $y = g(x)$, то следует интегрировать их разность:
$S = \int_{a}^{b} (f(x)-g(x))dx$
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться во время вычислений, советуем использовать чёткий шаблон действий. Любая подобная задача сводится к четырём шагам:
- Определить границы интегрирования. Найти наименьшее значение $x$ (предел $a$) и наибольшее (предел $b$).
- Записать уравнение функции $f(x)$ и найти её первообразную $F(x)$ по стандартной справочной таблице.
- Подставить верхнюю границу $b$ в найденную первообразную, затем подставить нижнюю границу $a$.
- Вычесть из первого полученного числа второе по формуле $F(b)-F(a)$.
Практика: разбор задач
В школьной программе и вариантах ЕГЭ встречаются задачи разных форматов. Разберём основные типы заданий.
Расчёт по заданным функциям
Условие
Вычисли площадь участка, ограниченного линиями $y = x^2, \, y = 0, \, x = 1$ и $x = 2$.
Шаг 1. Сделаем чертеж, выделяем функцию и границы. Верхняя граница фигуры задаётся положительной функцией $y = x^2$. Пределы интегрирования ограничены прямыми $a = 1$ и $b = 2$.
Рисунок к заданию
Шаг 2. Находим первообразную функции. По правилам интегрирования степенных функций для $f(x) = x^2$ первообразная выглядит так: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Шаг 3. Применяем формулу Ньютона — Лейбница. Подставляем пределы интеграла — от единицы до двойки:
$S = F(2)-F(1) = \frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}$.
Шаг 4. Завершаем вычисления. Получаем две дроби с одинаковым знаменателем:
$S = \frac{8}{3}-\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.
Подсчёт по клеточкам
Условие
На рисунке поверх клеточек координатной плоскости изображён график некоторой положительной функции $y = f(x)$. Требуется без знания формулы вычислить определённый интеграл $\int_{1}^{5} f(x)dx$. При этом визуально фигура под графиком представляет собой обычную прямоугольную трапецию.
Шаг 1. Вспоминаем геометрический смысл определённого интеграла. Если функция принимает положительные значения, её интеграл совпадает с площадью закрашенной под её графиком области.
Шаг 2. Анализируем тип геометрической фигуры на рисунке. Так как граничная линия прямая, перед нами классическая прямоугольная трапеция.
Шаг 3. Считаем размеры сторон по клеткам. Левое основание равно $2$, правое основание равно $4$, а расстояние между ними по оси абсцисс (то есть высота геометрической трапеции) равно $4$ единицам (от точки $1$ до точки $5$).
Шаг 4. Применяем базовую формулу площади трапеции из планиметрии:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 2}{2} \cdot 4 = \frac{6}{2} \cdot 4 = 12$.
Ответ: 12.
Подстановка в известную первообразную
Условие
На отрезке $[-11;-9]$ функция имеет первообразную $F(x) = x^3 + 30x^2 + 302x-15$. Найди площадь заштрихованной под графиком области.
Шаг 1. Фиксируем исходные данные. В условии первообразная уже известна — это формула $F(x)$, а концы отрезка служат пределами: $a=-11, \, b=-9$.
Шаг 2. Подставляем верхний предел интеграла $b=-9$ в предложенную функцию:
$F(-9)=(-9)^3+30\cdot(-9)^2+302\cdot(-9)-15=-729+2430-2718-15=-1032$.
Шаг 3. Подставляем нижний предел $a=-11$:
$F(-11)=(-11)^3+30\cdot(-11)^2+302\cdot(-11)-15=-1331+3630-3322-15=-1038$.
Шаг 4. Вычисляем разность. Знак минус на минус в выражении даёт плюс:
$S=F(-9)-F(-11)=-1032-(-1038)=-1032+1038=6$.
Ответ: 6.
Типичные ошибки
Чтобы не потерять баллы на экзамене из-за обидной невнимательности, следует учитывать список самых распространённых ловушек.
- Отрицательный результат. Площадь всегда выражается положительным числом. Значение интеграла в задаче действительно бывает отрицательным, но если требуется найти именно площадь фигуры, ответ с минусом указывает на ошибку в расчётах или неправильный учёт положения графика под осью координат;
- Нарушение порядка вычитания. Из значения первообразной на правом конце отрезка нужно вычитать значение на левом конце, а не наоборот. Применение формулы в виде $F(a)-F(b)$ для положительной функции приведёт к неверному знаку в ответе;
- Пересечение оси абсцисс. Если функция пересекает горизонтальную ось прямо внутри заданного промежутка интегрирования, нельзя применять общую формулу ко всему отрезку сразу. Нужно сначала найти точку пересечения, разбить фигуру на две отдельные части и вычислить их раздельно (взяв площадь нижнего участка по модулю), а затем сложить результаты.
Задания для закрепления
Попробуй решить эти быстрые задачи самостоятельно, чтобы проверить усвоение формулы.
Задание 1. Дана первообразная функции. Значение $F(4) = 25$, а значение $F(1) = 10$. График функции не опускается ниже оси $y = 0$. Чему равна площадь заштрихованной под графиком криволинейной трапеции на отрезке от $1$ до $4$?
Согласно правилу, из большего предела интегрирования нужно вычесть меньший: $25-10 = 15$.
Ответ: 15.
Задание 2. Найди площадь фигуры, ограниченной линией $f(x) = \cos(x)$ и осью абсцисс на промежутке от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Первообразная для косинуса равна $\sin(x)$.
Шаг 1. Подставляем верхнюю границу: $\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. Подставляем нижнюю: $\sin(0) = 0$.
Шаг 2. Итоговая разность равна единице ($1-0 = 1$).
Ответ: 1.
Заключение
Теперь ты понимаешь геометрический смысл определённого интеграла и умеешь использовать формулу Ньютона — Лейбница для поиска площади фигуры под графиком. Эти знания позволят без проблем справляться с заданиями первой части ЕГЭ по математике на работу с первообразными. Главное — внимательно следить за знаками при подстановке пределов и учитывать расположение графика. Чтобы закрепить тему и довести навык вычислений до автоматизма, рекомендуем порешать прототипы задач в «100балльном банке».
