При решении задания 14 профильного ЕГЭ по математике ученики часто теряют баллы из-за неточных обоснований. Если написать в решении: «Прямая не пересекается с плоскостью, значит, они параллельны», эксперт поставит ноль баллов, так как утверждение опирается на определение, а не на признак. Разберём алгоритмы применения признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, чтобы не терять баллы за доказательства на экзамене.
Разница между определением и признаком
Определение формулирует суть математического понятия.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Использовать определения для доказательства на практике почти невозможно. Прямая и плоскость бесконечны, поэтому мы физически не можем проверить отсутствие общих точек на всём их протяжении.
Для доказательств используются признаки. Признак формулирует строгое условие, при выполнении которого работает нужное свойство.
Выполнение признака легко проверить на чертеже: бесконечная проверка отсутствия точек заменяется поиском одного или двух элементов на ограниченном участке фигуры. Поэтому признаки лежат в основе строгих математических доказательств.
Взаимное расположение прямых в пространстве
В трёхмерном пространстве две прямые могут располагаться тремя способами:
- Пересекаться. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Они всегда лежат в одной плоскости.
- Быть параллельными. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
- Быть скрещивающимися. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. У них нет общих точек, но параллельными они не являются.
Отдельно выделяют перпендикулярные прямые. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться или быть скрещивающимися.
Признак параллельности прямых: если прямая $a$ параллельна прямой $c$ и прямая $b$ параллельна прямой $c$, то прямые $a$ и $b$ параллельны между собой:
Параллельность трёх прямых
$a||c, \, b||c \Rightarrow a||b$.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая может лежать в плоскости, пересекать её или быть параллельной.
Рассмотрим определения и признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Параллельность прямой и плоскости
По определению прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в ней, то она параллельна самой плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости
$a \subset \alpha, \, a||b \Rightarrow b|| \alpha$.
Перпендикулярность прямой и плоскости
По определению прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в ней.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна ей.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
$a \subset \alpha, \, b \subset \alpha, \, a \cap b, \, c \perp a, \, c \perp b \Rightarrow c \perp \alpha$.
Взаимное расположение плоскостей
Две плоскости могут либо пересекаться по прямой, либо не иметь общих точек. Рассмотрим определение и признаки параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Параллельность плоскостей
По определению две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то эти плоскости параллельны:
Признак параллельности плоскостей
$a \subset \alpha, \, b \subset \alpha, \, a \cap b, \, c \subset \beta, \, d \subset \beta, \, c||a, \, d||b \Rightarrow \alpha || \beta$.
Перпендикулярность плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если образованный ими двугранный угол является прямым.
Признак перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой, то они перпендикулярны:
Признак перпендикулярности плоскостей
$b \perp \alpha, \, b \subset \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta$.
Алгоритм решения экзаменационных задач
Соблюдай следующие шаги при оформлении решения:
- Внимательно начерти фигуру. Отметь все равные элементы, середины сторон и прямые углы.
- Сформулируй цель. Напиши, какой именно признак собираешься применить.
- Найди все элементы для использования признака. Укажи, что все его условия выполняются.
- Сделай вывод, сославшись на название выбранного признака.
Разбор задания 14 профильного ЕГЭ по математике
Рассмотрим решение заданий типа ЕГЭ.
Пример 1
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ все рёбра равны. Точка $O$ является центром основания $ABCD$. Докажите, что прямая $SO$ перпендикулярна основанию $ABCD$.
Решение
- Так как пирамида правильная, её основание $ABCD$ — квадрат. Точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам. То есть $AO = OC$ и $BO = OD$.
- Рассмотрим треугольник $ASC$. По условию все рёбра пирамиды равны, значит, $AS = SC$. Треугольник $ASC$ — равнобедренный. Отрезок $SO$ — медиана этого треугольника, значит, этот отрезок также является его высотой: $SO \perp AC$.
- Аналогично $SO$ — медиана и высота равнобедренного треугольника $BSD$. То есть $SO \perp BD$.
- Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и лежат в плоскости основания $ABCD$. Мы доказали, что прямая $SO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в $ABCD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $SO \perp ABCD$.
Ответ: что и требовалось доказать.
Пример 2
Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена произвольная точка $M$. Докажите, что плоскости $MBD$ и $AA_1C$ перпендикулярны.
Решение
- Основание призмы — квадрат $ABCD$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, $AC \perp BD$.
- Так как призма прямая, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, то есть $AA_1 \perp ABCD$.
- Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой в ней. Так как $BD \subset ABCD$, ребро $AA_1 \perp BD$.
- Мы получили, что $BD \perp AC$ и $BD \perp AA_1$. Прямые $AC$ и $AA_1$ лежат в одной плоскости $AA_1C$ и пересекаются друг с другом в точке $A$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что $BD \perp AA_1C$.
- Прямая $BD$ лежит в плоскости $MBD$, при этом $BD \perp AA_1C$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей следует, что $MBD$ и $AA_1C$ перпендикулярны.
Ответ: что и требовалось доказать.
Типичные ошибки на экзамене
Частые ловушки, в которые попадают участники ЕГЭ при оформлении стереометрической задачи:
- Игнорирование слова «пересекающиеся». Ученики доказывают, что прямая перпендикулярна двум другим в плоскости, но сами эти линии параллельны друг другу. По правилам прямая должна быть перпендикулярна именно двум пересекающимся прямым. Всегда пиши фразу: «пересекаются в точке…».
- Подмена понятий. Запись «свойство параллельности» там, где применяется признак параллельности. Эксперт снизит балл за неверное обоснование. Признак помогает доказать положение элементов друг относительно друга, а свойство даёт следствия из уже доказанного.
- Отсутствие пояснений логики. Запись вида «$АС$ перпендикулярно $BD$, значит, плоскости перпендикулярны» недостаточна для полного балла. Нужно указать, по какому конкретно признаку или правилу сделан логический переход.
Задания для самопроверки
Попробуй решить задания самостоятельно, чтобы проверить понимание теории.
Задание 1. Верно ли утверждение: две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой?
Да. Это отдельная теорема-следствие. Если две прямые образуют прямой угол с одной и той же плоскостью, они параллельны друг другу.
Задание 2. Чтобы доказать параллельность двух плоскостей, достаточно ли найти одну пару параллельных прямых в каждой из них?
Нет. По признаку параллельности плоскостей нужно найти внутри каждой из них по две пересекающиеся прямые, которые будут соответственно параллельны. Одной пары недостаточно.
Задание 3. Какое правило обоснует перпендикулярность боковой грани пирамиды и её основания, если высота этой боковой грани является высотой всей пирамиды?
Признак перпендикулярности плоскостей. Одна плоскость (боковая грань пирамиды) содержит перпендикуляр к плоскости основания, а значит, перпендикулярна основанию.
Заключение
После изучения этого материала ты умеешь различать понятия признака и определения в стереометрии и грамотно применять их в задании 14 профильного ЕГЭ по математике. Теперь ты знаешь пошаговый алгоритм решения и понимаешь, как важно находить на чертеже пересекающиеся линии для доказательства перпендикулярности или параллельности плоскостей. Каждое утверждение в оформлении требует ссылки на теорему или правило, иначе проверяющий имеет право не засчитать обоснование. Чтобы закрепить навык, рекомендуем решить 5–7 задач на доказательство из нашего открытого банка, уделяя особое внимание подробному описанию каждого логического шага.
