В задании 14 по стереометрии можно получить ноль баллов, даже если использовать нужные формулы и прийти к верному ответу. Это происходит, потому что ученики часто применяют теорему Пифагора при виде треугольника, похожего на прямоугольный, без предварительного доказательства. Однако в пространстве углы часто искажены на чертеже. Разберём теорему, которая поможет доказывать перпендикулярность прямых и не терять баллы на экзамене.

Формулировка теоремы о трёх перпендикулярах

Схема теоремы о трёх перпендикулярах с наклонной, проекцией и прямой в плоскости.

Разберём смысл теоремы на рисунке. Пусть прямая $B H$ — это перпендикуляр к плоскости $α$ . Точки $A$ и $H$ лежат в плоскости $α$ , точка $B$ не принадлежит ей. Прямая $A B$ является наклонной к плоскости, а $A H$ — проекцией этой наклонной на плоскость. Через точку $A$ проведена прямая $a$ . Теорема о трёх перпендикулярах говорит о том, что если прямая $a$ перпендикулярна проекции $A H$ , то $a$ также перпендикулярна наклонной $A B$ .
Получается, если $B H ⊥ α$ и $a ⊥ A H$ , то $a ⊥ A B$ .[i]

Обратная теорема о трёх перпендикулярах

Вернёмся к нашему рисунку. Согласно обратной теореме о трёх перпендикулярах, если прямая $a$ перпендикулярна наклонной $A B$ , то она также перпендикулярна проекции $A H$ .
То есть если $B H ⊥ α$ и $a ⊥ A B$ , то $a ⊥ A H$ .[i]

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Где применяется теорема на практике

Теорема о трёх перпендикулярах применяется в нескольких случаях.

Доказательство перпендикулярности прямой и плоскости. Чтобы доказать, что прямая в пространстве перпендикулярна некоторой плоскости, нужно найти в этой плоскости две пересекающиеся прямые, которым перпендикулярна эта прямая. Для поиска таких прямых, лежащих в плоскости, используют теорему о трёх перпендикулярах.
Нахождение угла между плоскостью и наклонной. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между самой наклонной и её прямоугольной проекцией на эту плоскость. Для построения или поиска этого плоского угла нужно опустить перпендикуляр на плоскость и провести проекцию наклонной. Чтобы построение было верным, применяют эту теорему.
Нахождение расстояния от точки до плоскости. Кратчайшее расстояние от любой точки пространства до плоскости равно перпендикуляру, опущенному из точки на плоскость. С помощью теоремы о трёх перпендикулярах доказывают, что проведённый отрезок является перпендикуляром.

Разбор реального задания ЕГЭ с объяснением

Рассмотрим типичное задание 14 из ЕГЭ.

Задание

Докажите, что в кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ прямая $B_{1} D$ и плоскость $A_{1} B C_{1}$ перпендикулярны.[i]

Построим рисунок к заданию.

Куб с диагональю B_1D и плоскостью A_1BC_1 в задаче ЕГЭ по стереометрии.

Найдём в плоскости $A_{1} B C_{1}$ две прямые, перпендикулярные $B_{1} D$ . Рассмотрим плоскость $A_{1} B_{1} C_{1}$ верхнего основания. Прямая $D D_{1}$ — перпендикуляр к этой плоскости, а $B_{1} D$ — наклонная к ней. Следовательно, $B_{1} D_{1}$ — проекция наклонной $B_{1} D$ на плоскость верхнего основания.
По свойству диагоналей квадрата $A_{1} C_{1} ⊥ B_{1} D_{1}$ — прямая $A_{1} C_{1}$ перпендикулярна проекции. Отсюда по теореме о трёх перпендикулярах эта прямая перпендикулярна и наклонной: $A_{1} C_{1} ⊥ B_{1} D$ .
Аналогично рассмотрим плоскость $A A_{1} B_{1}$ . $A D ⊥ A A_{1} B_{1}$ — перпендикуляр к плоскости, $B_{1} D$ — наклонная, $A B_{1}$ — проекция наклонной на плоскость. По свойству диагоналей квадрата $A B_{1} ⊥ A_{1} B$ . То есть прямая $A_{1} B$ перпендикулярна проекции $A B_{1}$ . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $A_{1} B ⊥ B_{1} D$ .
Так как $A_{1} C_{1} ⊥ B_{1} D$ и $A_{1} B ⊥ B_{1} D$ , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_{1} D ⊥ A_{1} B C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

Типичные ошибки и как их избежать

Разберём ловушки, которые регулярно встречаются в решениях участников ЕГЭ.

Построение проекции без обоснований. При построении высоты и проекции наклонной важно обосновать, куда попадёт основание перпендикуляра и почему.
Пропуск доказательства. В таких заданиях нужно сначала доказать, что треугольник является прямоугольным, например, по теореме о трёх перпендикулярах, а уже затем применять теорему Пифагора.
Мелкий чертёж. Советуем строить крупный чертёж и при необходимости выносить плоские фигуры на отдельный рисунок для наглядности.

Проверка знаний

Проверь знания, полученные в этой статье. Оцени, насколько хорошо тебе удалось усвоить базовые принципы построения рассуждений.

Задание 1

Назови три компонента, которые всегда участвуют в теореме о трёх перпендикулярах.

Наклонная, её проекция на плоскость и прямая, лежащая в этой плоскости и перпендикулярная проекции.

Задание 2

Всегда ли прямая на плоскости должна проходить строго через основание наклонной, чтобы можно было воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах?

В строгом математическом доказательстве теоремы прямая в плоскости должна проходить через основание наклонной. Однако при решении задач для скрещивающихся прямых мы можем выполнить параллельный перенос прямой на плоскости так, чтобы она прошла через основание наклонной. Поэтому при решении задач это необязательное условие.

Задание 3

Диагонали ромба $A B C D$ пересекаются в точке $O$ . Из точки $H$ , не лежащей в плоскости ромба, проведён перпендикуляр, который проходит через точку $D$ . Докажи, что $O H ⊥ A C$ .

Построим рисунок к заданию. $A B C D$ — ромб, $A C \cap B D = O$ , $H D ⊥ A B C D$ .
Рисунок к заданию 3
$H D$ — перпендикуляр к плоскости ромба, $O H$ — наклонная, $O D$ — проекция наклонной $O H$ на плоскость $A B C D$ .
По свойству ромба его диагонали перпендикулярны: $A C ⊥ B D$ или $A C ⊥ O D$ .
Получили, что прямая $A C$ перпендикулярна проекции $O D$ . Отсюда по теореме о трёх перпендикулярах прямая $A C$ перпендикулярна наклонной $O H$ : $O H ⊥ A C$ . Что и требовалось доказать.

Подводим итоги

Теперь ты можешь приступать к решению задания 14 из ЕГЭ на доказательство перпендикулярности прямых в пространстве. После изучения статьи ты знаешь:

формулировку теоремы о трёх перпендикулярах и обратной ей;
применение этой теоремы для разных целей и задач;
типичные ошибки на ЕГЭ в задании 14 и как их не совершить;
как решать задания на доказательство перпендикулярности прямых в пространстве.

Чтобы закрепить тему, советуем решить несколько задач на доказательство перпендикулярности из нашего банка заданий.

Стереометрия — теорема о трёх перпендикулярах: теория к экзамену ЕГЭ по математике профильного уровня

Формулировка теоремы о трёх перпендикулярах

Обратная теорема о трёх перпендикулярах

Где применяется теорема на практике