В заданиях 4 и 5 профильного ЕГЭ по математике проверяют знание теории вероятностей и статистики. Разберёмся, в чём физический смысл центральных тенденций и мер разброса, а также научимся пошагово решать задания из профильного ЕГЭ по математике. После прочтения этого материала ты перестанешь ошибаться в базовых статистических определениях.
Базовая теория
Случайные величины
Случайная величина принимает разные значения в зависимости от исхода события. До проведения опыта точный результат неизвестен.
Случайные величины обозначают большими латинскими буквами: $X$, $Y$, $Z$. Они бывают дискретными и непрерывными. Дискретную величину можно посчитать поштучно. Яркий пример — количество выпавших очков на игральном кубике. Непрерывная величина заполняет целый числовой промежуток. К непрерывным значениям относятся время, температура или рост человека.
Центральные тенденции: среднее, медиана и мода
В статистике эти меры показывают типичное значение признака в большой группе данных:
- Среднее арифметическое вычисляется делением суммы всех чисел на их количество. Этот параметр отлично подходит для числовых массивов без резких скачков и аномалий.
- Медиана показывает значение, стоящее строго посередине упорядоченного ряда чисел. Если чисел в ряду чётное количество, нужно взять два центральных и разделить их сумму пополам. В ситуациях с аномальными выбросами выбор между средним арифметическим и медианой решается в пользу медианы, так как она показывает более объективную картину.
- Мода указывает на число, которое встречается в наборе чаще остальных. В ряду может быть несколько мод, а может не быть ни одной.
Меры разброса данных
Важно понимать, насколько сильно значения отличаются друг от друга и от средних показателей:
- Размах показывает разницу между самым большим и самым маленьким числом в наборе.
- Дисперсия показывает средний квадрат отклонения значений от среднего. Чем дисперсия больше, тем сильнее разбросаны статистические данные.
- Среднеквадратическое отклонение вычисляется как корень из дисперсии. Оно нужно, чтобы показать отклонение в тех же нормальных единицах измерения.
Универсальный алгоритм решения статистических задач
Поиск ответов сводится к простому алгоритму, который будет полезным для любых типовых вариантов:
- Внимательно прочитай условие и выпиши все известные данные в единый числовой ряд.
- Обязательно отсортируй ряд по возрастанию. Это действие исключает обидные ошибки при поиске медианы.
- Точно определи искомый элемент.
- Примени классическую теорему сложения или умножения вероятностей.
- Выполни проверку ответа на здравую логику.
Разбор заданий из профильного ЕГЭ
Задачи на вероятность и статистику проверяются в номерах 4 и 5. Рассмотрим реальные экзаменационные формулировки.
Задание 4 из ЕГЭ (базовая вероятность)
В сборнике билетов по биологии всего 60 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме «Круглые черви». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Круглые черви».
Шаг 1. Вспомним классическую формулу вероятности. Нужно благоприятные исходы поделить на общее количество равновозможных исходов.
Шаг 2. Выделим благоприятные исходы. В нашем случае это билеты с искомой темой. Их ровно 15.
Шаг 3. Зафиксируем общее количество исходов, которое равняется 60.
Шаг 4. Выполним деление: $\frac{15}{60} = 0{,}25$.
Ответ: 0,25.
Комментарий к решению: вероятность всегда выражается числом от нуля до единицы. Если получилось число больше единицы, нужно выполнить перерасчёт.
Задание 5 из ЕГЭ (сложная вероятность)
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 85% яиц из первого хозяйства получают высшую категорию, а из второго хозяйства высшую категорию получают 65% яиц. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Шаг 1. Введём неизвестную переменную. Пусть x означает вероятность поступления яйца из первого хозяйства. Яйца закупают только в двух местах, поэтому вероятность покупки из второго хозяйства составит $1-x$.
Шаг 2. Опишем вероятность получения высшей категории для конкретного хозяйства. Для первого она составит $0{,}85x$. Для второго она равна $0{,}65(1-x)$.
Шаг 3. Составим уравнение по формуле полной вероятности. Сложим значения из второго шага и приравняем к общей вероятности высшей категории из условия:
$0{,}85x + 0{,}65(1-x) = 0{,}8$.
Шаг 4. Решим полученное линейное уравнение. Раскроем скобки:
$0{,}85x + 0{,}65-0{,}65x = 0{,}8$.
Приведём подобные слагаемые:
$0{,}2x = 0{,}15, \, x = \frac{0{,}15}{0{,}2}, \, x = 0{,}75$.
Ответ: 0,75.
Комментарий к решению: при решении подобных текстовых номеров перевод процентов в десятичные дроби обязателен перед началом вычислений.
Типичные ошибки
Подмена понятий медианы и среднего значения
Ошибочно рассчитывать сумму всех элементов и делить на их количество, когда в условии требуется найти медиану.
Верно: для поиска медианы обязательно нужно выстроить ряд от меньшего к большему и взять строго центральный элемент.
Игнорирование цифры ноль
Ошибочно вычёркивать нули из вычислений, считая их несуществующими показателями.
Верно: ноль — полноправным математическим элементом. Если он встречается в списке данных чаще других чисел, то мода будет равна нулю.
Простое сложение процентов
Ошибочно суммировать 85% и 65% в заданиях на зависимые события (как в задаче выше).
Верно: нужно выявлять долю каждого события при помощи переменной и умножать вероятность ветви на вероятность события на этой ветке.
Самопроверка
Попробуй закрепить теорию с помощью небольшого теста.
Вопрос 1
В наборе данных даны числа 2, 4, 4, 6, 8. Чему равна мода?
Мода равна числу 4, поскольку эта цифра повторяется в ряду наибольшее количество раз.
Ответ: 4.
Вопрос 2 (задание № 4 из ЕГЭ)
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Сначала найдём количество сумок без дефектов: 140 − 14 = 126 качественных сумок. Теперь разделим хорошие сумки на общее количество: $\frac{126}{140} = 0{,}9$.
Ответ: 0,9.
Заключение
Теперь ты понимаешь физический смысл базовых терминов статистики и умеешь находить среднее арифметическое, медиану, моду и дисперсию числового ряда. Знание этих определений и умение применять классическую формулу вероятности позволят уверенно решать задания 4 и 5 на профильном ЕГЭ. Чтобы закрепить результат, не забывай сортировать числовые ряды по возрастанию и всегда проверяй, чтобы итоговая вероятность не оказывалась отрицательной или больше единицы. Тренируйся на типовых заданиях регулярно, чтобы чувствовать себя уверенно на экзамене.
