Задачи на свойства делимости часто встречаются в конце профильного ЕГЭ по математике (задание 19). Ошибки в этой теме обычно возникают из-за неумения работать с переменными и сложными текстовыми условиями. Разберём базовые правила работы с делителями и алгоритм решения, который позволит уверенно справляться с подобными заданиями на экзамене.
Как работают свойства делимости
Целое число $a$ делится на целое число $b$ (при условии, что $b$ не равно нулю), если существует такое $q$, что $a = b \cdot q$. $q$ называется частным от деления.
При делении нацело остаток равен нулю. Основные принципы делимости:
- Сумма и разность. Если $a$ делится на $c$ и $b$ делится на $c$, то сумма и разность этих чисел также делятся на $c$. Если $a$ делится на $c$, а $b$ не делится на $c$, то $a+b$ не делится на $c$.
- Произведение. Если хотя бы один из множителей делится на $c$, то произведение обязательно делится на $c$. Дополнительное правило существует для простых чисел: если произведение $ab$ делится на простое число $p$, то хотя бы один из множителей делится на $p$. Для составных чисел это свойство может не выполняться.
- Взаимно простые делители. Если целое число одновременно делится на несколько взаимно простых чисел, то оно делится и на произведение этих чисел. Например, если значение делится на 2 и делится на 3, то оно делится на 6. Если числа имеют общий делитель, применять это правило нельзя.
Разрядная запись чисел
Любое число можно представить через разрядные слагаемые. Для двузначного числа формула выглядит так: $10a + b$. Здесь переменная $a$ означает цифру десятков, а переменная $b$ — цифру единиц.
Если условие описывает трёхзначное число, запись принимает вид $100a + 10b + c$. Такой подход позволяет перевести задачу про неизвестные цифры в классическое алгебраическое уравнение, которое останется решить в целых числах.
Алгоритм решения задач
Для решения задач на делимость и свойства чисел применяй следующий алгоритм:
- Переведи текстовое условие в алгебраическое уравнение при помощи разрядной записи или базовых свойств делимости.
- Проверь чётность и нечётность каждого выражения.
- Раскрой скобки и найди общие множители.
- Сделай оценку крайних значений: посчитай минимально или максимально возможную сумму, чтобы ограничить перебор вариантов.
Разбор базового примера
Условие
Сумма цифр двузначного числа ровно в три раза меньше самого двузначного числа. Найди это исходное число.
Решение
Шаг 1. Составим уравнение. Двузначное значение записываем как $10a + b$, а сумму его цифр как $(a + b)$. Уравнение принимает вид:
$10a + b = 3 \cdot (a + b)$
Шаг 2. Раскроем скобки:
$10a + b = 3a + 3b$
Шаг 3. Перенесём неизвестные параметры и приведём подобные слагаемые:
$7a = 2b$
Шаг 4. Из равенства $7a = 2b$ следует, что правая часть делится на 7. Так как 2 и 7 взаимно просты, число $b$ должно делиться на 7. Так как $b$ означает только одну цифру от 0 до 9, единственным возможным ненулевым вариантом остаётся цифра 7.
Шаг 5. Подставим $b = 7$ в уравнение:
$7a = 2 \cdot 7$
Вычислим неизвестную переменную: $a = 2$.
Ответ: 27.
Разбор задания 19 из профильного ЕГЭ
Рассмотрим классическую формулировку задания 19 из ЕГЭ.
На доске написано тридцать различных натуральных чисел. Каждое написанное значение является либо чётным, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Общая сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли на доске присутствовать ровно двадцать четыре чётных числа?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на цифру 7?
Решение пункта «а»
Шаг 1. Если на доске находится двадцать четыре чётных числа, то нечётных чисел остаётся ровно шесть. Каждое нечётное число обязательно оканчивается на 7. Сумма шести таких чисел будет оканчиваться на цифру 2, потому что произведение шести и семи даёт 42. Каждое нечётное число имеет вид $10k + 7$, поэтому сумма шести таких чисел имеет вид: $10(k_1 + \cdots + k_6) + 42$.
Шаг 2. Сумма чётных чисел всегда даёт чётный результат. Общая сумма всех чисел равняется 810, следовательно, она оканчивается на ноль. Чтобы после сложения с двойкой получить ноль на конце, сумма двадцати четырёх чётных чисел должна оканчиваться на цифру 8.
Шаг 3. Построим конкретный пример. Пусть шесть нечётных чисел будут самыми маленькими: 7, 17, 27, 37, 47, 57. Их сумма равняется 192. Тогда сумма двадцати четырёх чётных чисел должна равняться разности общей суммы и суммы нечётных чисел:
$810-192 = 618$
Шаг 4. Возьмём двадцать три самых маленьких чётных числа: 2, 4, 6 и так далее до 46. По правилам арифметической прогрессии их сумма составит 552. Последним чётным числом станет разность нужной суммы и уже набранной суммы:
$618-552 = 66$
Шаг 5. Все подобранные числа различаются, условия соблюдены. В таких пунктах достаточно привести один подходящий набор чисел, чтобы доказать возможность ситуации.
Ответ: да.
Решение пункта «б»
Шаг 1. Предположим, что на доске содержатся ровно два числа, которые оканчиваются на 7. Тогда чётных чисел должно быть двадцать восемь.
Шаг 2. Сделаем оценку крайних значений и найдём минимально возможную сумму. Сумма первого и второго самых маленьких нечётных чисел (7 и 17) составляет 24. Сумма двадцати восьми самых маленьких чётных чисел (от 2 до 56) равняется 812.
Шаг 3. Общая минимальная сумма составит:
$812 + 24 = 836$
Шаг 4. По условию сумма должна равняться 810. Это строгое математическое противоречие, так как 836 больше 810. Следовательно, ровно два числа находиться на доске не могут.
Ответ: нет.
Типичные ошибки на экзамене
На профильном экзамене важно правильно оформить решение в бланке. Обрати внимание на самые опасные ловушки:
- Ответ без доказательства. Писать слово «Да» на основе абстрактных рассуждений недостаточно. При положительном ответе обязательно приводи строгий числовой пример и выписывай найденные значения.
- Ошибка в доказательстве. При отрицательном ответе нельзя показывать только один неработающий пример. Нужно использовать алгебраическую оценку (как при решении вопроса «б»), чтобы математически доказать невозможность события при любых условиях.
- Отрицательные остатки. При вычислениях остаток обязан быть неотрицательным и меньше делителя. Остаток всегда строго меньше модуля делителя.
Задания для самопроверки
Реши два небольших задания самостоятельно, чтобы проверить усвоение темы.
Задание 1. Известно, что $M$ при делении на 5 даёт остаток 3. А $N$ при делении на 5 даёт остаток 4. Какой остаток при делении на 5 получится от суммы чисел $M$ и $N$?
При сложении чисел можно складывать только их остатки. Сумма остатков 3 и 4 равна 7. 7 при делении на 5 даёт остаток 2.
Ответ: 2.
Задание 2. Можно ли представить трёхзначное число с одинаковыми цифрами в виде произведения числа 37 и натурального числа?
Любое число формата «три одинаковые цифры» имеет вид $111 \cdot a$, где переменная $a$ — цифра. 111 раскладывается на множители 3 и 37, поэтому запись принимает вид $37 \cdot 3 \cdot a$. Полученное выражение имеет множитель 37.
Ответ: да.
Заключение
После прочтения материала ты знаешь основные математические принципы работы с остатками и делителями. Теперь ты умеешь применять разрядную алгебраическую запись, которая помогает переводить сложные условия многозначных чисел в простые уравнения. Метод оценки крайних значений через неравенства и базовая проверка чётности помогут быстро отсекать неверные варианты на профильном ЕГЭ по математике и обосновывать ответы формата «Да/Нет». Чтобы закрепить успех, рекомендуем решить 5–7 похожих задач из банка заданий.
