Отбор корней двойным неравенством: пошаговое руководство для подготовки к экзаменам

Суть метода заключается в строгой алгебраической оценке. После решения тригонометрического уравнения получается бесконечное множество ответов. Эта группа ответов записывается в виде серии корней с целочисленным параметром. Обычно параметр обозначают буквами «n», «k» или «m». Чтобы провести отбор корней двойным неравенством, нужно поместить полученную формулу между границами заданного отрезка.

Важно обращать внимание на скобки в условии задачи. Если отрезок задан квадратными скобками, то границы нужно включать в поиск. Если промежуток выделен круглыми скобками, знаки обязаны быть строгими.

Давай пошагово разберём универсальный алгоритм, который применим к любым тригонометрическим уравнениям:

1. Составляем начальное неравенство. Для этого берём найденную серию корней и записываем её между границами заданного интервала.
2. Делим все части математического выражения на число. Это действие существенно упрощает визуальное восприятие и дальнейшие расчёты.
3. Далее нужно перенести все свободные числа из центральной части в левую часть и в правую часть с противоположным знаком. В центре должен остаться только параметр или параметр с коэффициентом.
4. Выделяем целую часть в полученных дробях. Правильно выделенная целая часть помогает легко увидеть нужные числа на числовой прямой.
5. Выписываем все целые значения параметра, которые попадают в найденный диапазон.
6. Выполняем подстановку. Найденные значения параметра нужно поочерёдно подставить в исходную серию. Результат вычислений и будет являться итоговым ответом.

Задание
а) Решите уравнение $\cos (\frac{\pi }{2}+2x)=\sqrt{2}\sin x$.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-5\pi ;-4\pi ]$.

Решение
а)
Шаг 1. Сначала преобразуем левую часть уравнения по формулам приведения. Функция меняется на синус, а знак становится отрицательным.
Равенство принимает вид: $-\sin 2x=\sqrt{2}\sin x$.
Шаг 2. Применяем формулу двойного угла: $-2\sin x\cos x-\sqrt{2}\sin x=0$.
Шаг 3. Выносим общий множитель за скобки. Получаем: $-\sin x(2\cos x+\sqrt{2})=0$.
Шаг 4. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Первый множитель даёт уравнение: $\sin x=0$. Отсюда первая серия корней: $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}$.
2. Второй множитель даёт уравнение: $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Отсюда получаем ещё две серии корней: $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$, и вторая серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=\pi k,k\in \mathbb{Z};x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z};x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$.

Решение
б)

1) Шаг 1. Рассмотрим первый корень:

Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.

Шаг 3. Поскольку параметр $k$ является целым числом, $k=-5$ и $k=-4$.
Шаг 4. Подставляем $k=-5$ в ответ. Получаем $x=-5\pi$.
Шаг 5. Подставляем $k=-4$ в ответ. Получаем $x=-4\pi$.

2) Шаг 1. Рассмотрим второй корень:

Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.

Шаг 3. Вычитаем три четвёртых из всех частей.

Шаг 4. Переводим дроби в десятичный вид для удобства.

Шаг 5. Делим все части на два.

Шаг 6. На этом промежутке нет целых значений параметра $n$, следовательно, подходящих корней тоже нет.

3) Шаг 1. Рассмотрим третий корень:

Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.

Шаг 3. Прибавляем три четвёртых ко всем частям.

Шаг 4. Переводим дроби в десятичный вид для удобства.

Шаг 5. Делим все части на два.

Шаг 6. Поскольку параметр $m$ является целым числом, $m=-2$.
Шаг 7. Подставляем $m=-2$ в ответ. Получаем $x=-\frac{3}{4}\pi -4\pi$, приводим к общему знаменателю и получаем: $x=-\frac{19\pi }{4}\pi$.

Ответ: $x=-5\pi ,x=-4\pi ,x=-\frac{19\pi }{4}$.

Частые ошибки при отборе корней:

• Путаница со строгими знаками. Как делать нельзя: ставить знак «меньше или равно», если в условии стоит круглая скобка. Внимательно переноси тип скобок из условия. Если скобка круглая, используй строгий знак «меньше».
• Остановка на этапе поиска параметра. Помни, что экзаменатор просит найти значения переменной «x». Параметр нужно обязательно подставить в исходное уравнение и довести вычисления до конца.
• Игнорирование общего знаменателя. Аккуратно домножай целые числа на нужный знаменатель.

Попробуй решить задания самостоятельно, чтобы закрепить понимание темы.

Задание 1
Проведи отбор корней для серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на интервале $[-\pi ;\pi ]$.

Задание 2
Проведи отбор корней для серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n$ на интервале $[0;3\pi ]$.

Теперь ты умеешь применять алгебраический метод для отбора корней. Чтобы закрепить навык, советуем решить 5–7 тригонометрических уравнений из нашего банка ЕГЭ. Регулярная практика поможет довести этот навык до автоматизма и не ошибаться на экзамене. Желаем успешной подготовки!