В задании 13 профильного ЕГЭ по математике часто нужно отбирать корни тригонометрического уравнения. Ошибки на этом этапе приводят к потере баллов. Разберём алгебраический способ — отбор корней двойным неравенством. Он поможет избежать случайных ошибок при работе с окружностью и уверенно забрать свой балл.
Суть алгебраического метода отбора
Суть метода заключается в строгой алгебраической оценке. После решения тригонометрического уравнения получается бесконечное множество ответов. Эта группа ответов записывается в виде серии корней с целочисленным параметром. Обычно параметр обозначают буквами «n», «k» или «m». Чтобы провести отбор корней двойным неравенством, нужно поместить полученную формулу между границами заданного отрезка.
Важно обращать внимание на скобки в условии задачи. Если отрезок задан квадратными скобками, то границы нужно включать в поиск. Если промежуток выделен круглыми скобками, знаки обязаны быть строгими.
Давай пошагово разберём универсальный алгоритм, который применим к любым тригонометрическим уравнениям:
- Составляем начальное неравенство. Для этого берём найденную серию корней и записываем её между границами заданного интервала.
- Делим все части математического выражения на число. Это действие существенно упрощает визуальное восприятие и дальнейшие расчёты.
- Далее нужно перенести все свободные числа из центральной части в левую часть и в правую часть с противоположным знаком. В центре должен остаться только параметр или параметр с коэффициентом.
- Выделяем целую часть в полученных дробях. Правильно выделенная целая часть помогает легко увидеть нужные числа на числовой прямой.
- Выписываем все целые значения параметра, которые попадают в найденный диапазон.
- Выполняем подстановку. Найденные значения параметра нужно поочерёдно подставить в исходную серию. Результат вычислений и будет являться итоговым ответом.
Разбор заданий из профильного экзамена
Задание
а) Решите уравнение $\cos(\frac{\pi}{2}+2x) = \sqrt2\sin x$.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-5\pi; -4\pi]$.
Решение
а)
Шаг 1. Сначала преобразуем левую часть уравнения по формулам приведения. Функция меняется на синус, а знак становится отрицательным.
Равенство принимает вид: $-\sin 2x = \sqrt2\sin x$.
Шаг 2. Применяем формулу двойного угла: $-2\sin x \cos x -\sqrt2\sin x = 0$.
Шаг 3. Выносим общий множитель за скобки. Получаем: $-\sin x(2\cos x + \sqrt2) = 0$.
Шаг 4. Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
- Первый множитель даёт уравнение: $\sin x = 0$. Отсюда первая серия корней: $x = \pi k,\, k \in \mathbb{Z}$.
- Второй множитель даёт уравнение: $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Отсюда получаем ещё две серии корней: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\, n \in \mathbb{Z}$, и вторая серия $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m,\, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k,\, k \in \mathbb{Z};\, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\, n \in \mathbb{Z};\, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m,\, m \in \mathbb{Z}$.
Решение
б)
1) Шаг 1. Рассмотрим первый корень:
$-5\pi \leq \pi k \leq -4\pi$
Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.
$-5 \leq k \leq -4$
Шаг 3. Поскольку параметр $k$ является целым числом, $k = -5$ и $k = -4$.
Шаг 4. Подставляем $k = -5$ в ответ. Получаем $x = -5\pi$.
Шаг 5. Подставляем $k = -4$ в ответ. Получаем $x = -4\pi$.
2) Шаг 1. Рассмотрим второй корень:
$-5\pi \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq -4\pi$
Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.
$-5 \leq \frac{3}{4} + 2n \leq -4$
Шаг 3. Вычитаем три четвёртых из всех частей.
$-5\frac{3}{4} \leq 2n \leq -4\frac{3}{4}$
Шаг 4. Переводим дроби в десятичный вид для удобства.
$-5,75 \leq 2n \leq -4,75$
Шаг 5. Делим все части на два.
$-2,875 \leq n \leq -2,375$
Шаг 6. На этом промежутке нет целых значений параметра $n$, следовательно, подходящих корней тоже нет.
3) Шаг 1. Рассмотрим третий корень:
$-5\pi \leq -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m \leq -4\pi$
Шаг 2. Делим все части неравенства на число $\pi$.
$-5 \leq -\frac{3}{4} + 2m \leq -4$
Шаг 3. Прибавляем три четвёртых ко всем частям.
$-4\frac{1}{4} \leq 2m \leq -3\frac{1}{4}$
Шаг 4. Переводим дроби в десятичный вид для удобства.
$-4,25 \leq 2m \leq -3,25$
Шаг 5. Делим все части на два.
$-2,125 \leq m \leq -1,625$
Шаг 6. Поскольку параметр $m$ является целым числом, $m = -2$.
Шаг 7. Подставляем $m = -2$ в ответ. Получаем $x = -\frac{3}{4}\pi -4\pi$, приводим к общему знаменателю и получаем: $x = -\frac{19\pi}{4}\pi$.
Ответ: $x = -5\pi,\, x = -4\pi,\, x = -\frac{19\pi}{4}$.
Типичные ошибки и экзаменационные ловушки
Частые ошибки при отборе корней:
- Путаница со строгими знаками. Как делать нельзя: ставить знак «меньше или равно», если в условии стоит круглая скобка. Внимательно переноси тип скобок из условия. Если скобка круглая, используй строгий знак «меньше».
- Остановка на этапе поиска параметра. Помни, что экзаменатор просит найти значения переменной «x». Параметр нужно обязательно подставить в исходное уравнение и довести вычисления до конца.
- Игнорирование общего знаменателя. Аккуратно домножай целые числа на нужный знаменатель.
Самопроверка знаний
Попробуй решить задания самостоятельно, чтобы закрепить понимание темы.
Задание 1
Проведи отбор корней для серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ на интервале $[-\pi; \pi]$.
Подстановка формулы в границы покажет, что параметр $k = 0$ и $k = -1$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$.
Задание 2
Проведи отбор корней для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ на интервале $[0; 3\pi]$.
Подстановка формулы в границы покажет, что параметр $n = 1$.
Ответ: $\frac{7\pi}{4}$.
Заключение
Теперь ты умеешь применять алгебраический метод для отбора корней. Чтобы закрепить навык, советуем решить 5–7 тригонометрических уравнений из нашего банка ЕГЭ. Регулярная практика поможет довести этот навык до автоматизма и не ошибаться на экзамене. Желаем успешной подготовки!
