Однородные уравнения второй степени регулярно встречаются в задании № 13 профильного уровня ЕГЭ. Ошибки в них часто возникают из-за потери корней при неверном делении. Разберём чёткий алгоритм решения, который поможет не растеряться на экзамене и получить максимальный балл. После прочтения статьи ты сможешь уверенно справляться с этим типом заданий.
Как выглядит однородное тригонометрическое уравнение
Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a \sin^2 {x} + b \sin {x} \cos {x} + c \cos^2 {x} = 0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, отличные от нуля.
В однородном уравнении сумма показателей степеней синуса и косинуса в каждом слагаемом одинакова (в данном случае равна двум). Именно этот признак определяет степень однородного уравнения. Правая часть при этом обязательно должна равняться нулю.
Почему мы имеем право делить на косинус
Главный метод решения таких заданий — деление обеих частей на $\cos^2 x$. Однако в математике строго запрещено делить на ноль, а переменная величина вполне может принимать нулевое значение.
Покажем, почему при решении этого уравнения можно без потери корней делить на квадрат косинуса. Будем рассуждать от обратного. Предположим, что в $a \sin^2 {x} + b \sin {x} \cos {x} + c \cos^2 {x} = 0$ косинус принимает нулевое значение. То есть $\cos {x} = 0$.
Подставим $\cos {x} = 0$ в уравнение: $a \sin^2 {x} + b \sin {x} \cdot 0 + c \cdot 0^2 = 0$. Второе и третье слагаемые равны нулю, и остаётся только $a \sin^2 {x} = 0$.
Из этого следует, что $\sin {x} = 0$. Но синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю по основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2 {x} + \cos^2 {x} = 1$ (поскольку $0 + 0 \neq 1$).
Мы пришли к противоречию. Значит, выполняется условие $\cos {x} \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$, не потеряв при этом его корни.
Алгоритм решения с объяснением
Чтобы не запутаться, стоит придерживаться следующего алгоритма:
- Определить тип уравнения. Нужно убедиться, что оно нужного вида: все слагаемые имеют вторую степень, а справа стоит ноль.
- Проверить, что все числовые коэффициенты ($a$, $b$ и $c$) не равны нулю.
- Объяснить, почему в этом случае можно разделить выражение на квадрат косинуса.
- Разделить обе части уравнения почленно на $\cos^2 x$ и заменить отношение синуса к косинусу на тангенс ($\frac{\sin x}{\cos x} = tg\, x$).
- Выполнить замену $t = tg\, x$.
- Решить квадратное уравнение $a t^2 + b t + c = 0$ удобным способом.
- Выполнить обратную замену и найти значение $x$.
Разбор примера из профильного ЕГЭ
Разберём типичный пример задания ЕГЭ профильного уровня № 13 (а). Требуется решить тригонометрическое уравнение:
$3 \sin^2 x-4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$
Шаг 1. Анализируем уравнение
Перед нами однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Степень каждого слагаемого равна двум, справа — ноль. Коэффициент перед каждым из трёх слагаемых не равен нулю. Значит, можем использовать изученный алгоритм решения.
Шаг 2. Пишем обоснование
Обязательно нужно объяснить, почему в этом уравнении можно делить на функцию, зависящую от переменной:
Пусть $\cos{x} = 0$. Тогда уравнение примет вид $3 \sin^2 x-4 \sin x \cdot 0 + 0^2 = 0$. Значит, $\sin{x} = 0$. По основному тригонометрическому тождеству синус и косинус одного аргумента не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, $\cos{x} \neq 0$. Можем разделить уравнение на $\cos^2{x}$.
Шаг 3. Делим на квадрат косинуса и упрощаем
Разделим каждое слагаемое на $\cos^2 x$:
$3 \cdot \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-4 \cdot \dfrac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3 \, tg^2 x-4 \, tg\, x + 1 = 0$
Шаг 4. Замена переменной и решение квадратного уравнения
Введём замену переменной. Пусть $tg\, x = t$. Получаем квадратное уравнение:
$3t^2-4t + 1 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = (-4)^2-4 \cdot 3 \cdot 1 = 16-12 = 4$
$t_1 = \dfrac{4+2}{6} = 1$
$t_2 = \dfrac{4-2}{6} = \dfrac{1}{3}$
Шаг 5. Обратная замена
Сделаем обратную замену:
$tg\, x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\, k \in \mathbb{Z} \\ tg\, x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = arctg \left( \dfrac{1}{3} \right) + \pi n,\, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \, x = arctg \left( \dfrac{1}{3} \right) + \pi n$, где $n, \, k \in \mathbb{Z}$.
Это и будет полноценным верным решением пункта «а» задания 13.
Что делать, если справа не ноль
Иногда встречаются уравнения, которые не являются однородными, но могут быть приведены к этому типу уравнений.
Пример: $5 \sin^2 x + 1{,}5 \sin {2x}-\cos^2 x = 2$.
Здесь сразу две сложности: синус двойного угла и в правой части уравнения находится число 2 вместо нуля. Приведём это уравнение к виду однородного.
Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin {2x} = 2 \sin x \cos x$. Получим:
$5 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x-\cos^2 x = 2$
Теперь число 2 из правой части равенства умножим на основное тригонометрическое тождество:
$2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$
Подставим это в уравнение:
$5 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x-\cos^2 x = 2 \sin^2 x + 2 \cos^2 x$
После переноса всех слагаемых в левую сторону и приведения подобных членов уравнение становится однородным второй степени:
$3 \sin^2 x + 3 \sin {2x}-3\cos^2 x = 0$
Далее его нужно решить по изученной схеме.
Ловушки экзамена: где часто теряются баллы
Разберём самые опасные и типовые ошибки, которые можно допустить при решении подобных уравнений.
Ловушка 1. Деление без объяснений
Как нельзя: разделить всё уравнение на квадрат косинуса без объяснений.
Как нужно: кратко написать, почему функции синуса и косинуса не могут быть равны нулю одновременно.
Ловушка 2. Отсутствие квадрата синуса
Как нельзя делать: делить на квадрат косинуса уравнение вида $b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$, где $b$ и $c$ — некоторые числа.
Как нужно делать: если в уравнении коэффициент $a = 0$, делить обе части на квадрат косинуса категорически запрещено! В этой ситуации $\cos x$ может обращаться в нуль.
Если косинус равен нулю, то получится верное равенство $0 + 0 = 0$. Значит, $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$ будет являться решением. Деление приведёт к потере этих корней. В таких случаях уравнение решается только методом вынесения общего множителя $\cos x$ за скобки.
Ловушка 3. Деление выражения при ненулевой правой части
Как нельзя делать: встретив $\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x = 1$, сразу делить на $\cos^2 x$. Справа получится $\dfrac{1}{\cos^2 x}$, что только усложнит решение.
Как нужно делать: сначала представить единицу в виде суммы $\sin^2 x + \cos^2 x$, перенести все члены уравнения влево и только потом делить.
Ловушка 4. Игнорирование периода
Как нельзя делать: написать в ответе просто $x = \dfrac{\pi}{4}$.
Как нужно делать: обязательно дописывать период $+ \pi k$ для тангенса и указывать, что $k$ принадлежит множеству целых чисел.
Практикум: задания на закрепление
Решите следующие задания для закрепления изученного материала.
Вопрос 1
Какое из уравнений является однородным второй степени?
А) $\sin^2 x + \cos x = 0$;
Б) $3 \sin^2 x-\sin {x}\cos x-2 \cos^2 x = 0$;
В) $\sin x + \cos x = 0$.
А имеет разные степени слагаемых (квадрат у первого слагаемого и первая степень у второго). Это уравнение не является однородным.
В Б все слагаемые имеют вторую степень, а справа стоит ноль. Это однородное уравнение второй степени.
В содержит первые степени синуса и косинуса — это однородное уравнение первой, а не второй степени.
Ответ: Б.
Вопрос 2
Решите уравнение $\sin^2 x-3 \sin {x}\cos x + 2 \cos^2 x = 0$.
1) Все слагаемые второй степени, справа ноль — это однородное уравнение второй степени.
2) При $\cos x = 0$ получаем $\sin x = 0$, чего быть не может, так как синус и косинус одного угла не могут одновременно быть равны нулю.
3) Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-3 \cdot \dfrac{\sin {x}\cos x}{\cos^2 x} + 2 \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$;
$tg^2 x-3 \, tg\, x + 2 = 0$.
4) Введём замену $t = tg\, x$ и решим квадратное уравнение.
$t^2-3t + 2 = 0$;
$D = (-3)^2-4 \cdot 1 \cdot 2 = 9-8 = 1$;
$t_1 = \dfrac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3+1}{2} = 2$;
$t_2 = \dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3-1}{2} = 1$.
5) Вернёмся к замене.
$tg\, x = 2 \Rightarrow x = arctg 2 + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
$tg\, x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = arctg 2 + \pi n; \, x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, \, k \in \mathbb{Z}$.
Вопрос 3
Решите уравнение $4 \sin^2 x + 0{,}5 \sin {2x}-9 \cos^2 x = 3$.
1) Преобразуем к нужному виду. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin {2x} = 2 \sin x \cos x$, а число $3$ в правой части уравнения умножим на основное тригонометрическое тождество.
$4 \sin^2 x + 0{,}5 \cdot 2 \sin {x} \cos x-9 \cos^2 x = 3 \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x)$;
$4 \sin^2 x + \sin {x} \cos x-9 \cos^2 x = 3 \sin^2 x + 3 \cos^2 x$;
$\sin^2 x + \sin {x} \cos x-12 \cos^2 x = 0$.
2) Получили однородное уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, так как синус и косинус одного угла не могут одновременно быть равны нулю. Значит, можем разделить уравнение на $\cos^2 x \neq 0$.
3) Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin {x}\cos x}{\cos^2 x}-12 \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$;
$tg^2 x + tg\, x-12 = 0$.
4) Введём замену $t = tg\, x$ и решим квадратное уравнение.
$t^2 + t-12 = 0$;
$D = 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$;
$t_1 = \dfrac{-1-\sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1-7}{2} = -4$;
$t_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1+7}{2} = 3$.
5) Вернёмся к замене.
$tg\, x = -arctg 4 + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.
$tg\, x = 3 \Rightarrow x = arctg 3 + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -arctg 4 + \pi n; \, x = arctg 3 + \pi k$, где $n, \, k \in \mathbb{Z}$.
Заключение
После изучения этого урока можно приступать к решению однородных уравнений второй степени из номера 13 ЕГЭ.
Теперь ты знаешь, как:
- распознать однородное уравнение второй степени среди других;
- решить его;
- оформить решение и избежать ошибок, чтобы получить баллы на экзамене.
Чтобы закрепить эту тему, советуем решить 5–7 подобных заданий из нашего банка заданий ЕГЭ.
