Определённый интеграл и его свойства: теория и разбор задач

Пусть существует непрерывная функция $f(x)$ на заданном отрезке от $a$ до $b$. Если у неё есть первообразная $F(x)$, то определённым интегралом называют разность значений этой первообразной на концах отрезка. Неопределённый интеграл — это функция, а определённый интеграл — это всегда конкретное число.

Вычисления производятся через формулу Ньютона — Лейбница:

Геометрический смысл определённого интеграла помогает решать часть задач без сложных уравнений. Если функция неотрицательна, то значение её интеграла равно площади криволинейной трапеции $S={\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Эта фигура ограничена графиком функции сверху, осью абсцисс снизу, а также двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Свойства для вычислений

Знание свойств помогает упростить расчёты и не делать лишнюю работу. Базовые правила выглядят так:

1. Одинаковые пределы интегрирования дают ноль: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$.
2. Смена пределов интегрирования местами меняет знак результата на противоположный: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$.
4. Интеграл суммы двух функций равен сумме двух отдельных интегралов. Аналогично это работает для разности: ${\int }_a^b(f(x)\pm d(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}d(x)dx$.
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на меньшие части. Интеграл на отрезке от $a$ до $b$ равен сумме интегралов на отрезках от $a$ до $c$ и от $c$ до $b$: ${\int }_a^b(f(x)\pm d(x))dx={\int }_a^{c}f(x)dx\pm {\int }_c^{b}f(x)dx$.
6. Для нечётных функций на симметричном интервале (от $-a$ до $a$) результат всегда равен нулю. Для чётных функций на таком же интервале можно найти интеграл от нуля до $a$ и умножить его результат на два: ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Чтобы решать подобные математические задачи без сбоев, используй чёткую последовательность действий:

1. Найди неопределённый интеграл для заданной функции. На этом шаге не нужно добавлять константу $C$, так как при вычитании она уничтожится.
2. Запиши полученную первообразную и поставь вертикальную черту с указанием пределов от $a$ до $b$.
3. Подставь в первообразную верхний предел $b$ и посчитай первое значение.
4. Подставь в первообразную нижний предел $a$ и вычисли второе значение.
5. Вычти из первого числа второе. Результат и будет правильным ответом.

Рассмотрим применение теории на практике. Для подготовки к экзаменам важно уметь работать с алгебраическими выражениями и графиками.

Классическое алгебраическое вычисление

Условие

Нужно вычислить ${\int }_1^2(2x^2+x-1)dx$.

Решение

Шаг 1. Используем свойство суммы и разности ${\int }_1^2(2x^2+x-1)dx={\int }_1^{2}2x^{2}dx+{\int }_1^{2}xdx+{\int }_1^2(-1)dx$. Найдём первообразную для каждого слагаемого отдельно. Первообразная для $2x^2$ равна $\frac{2x^3}{3}$, для $x$ равна $\frac{x^2}{2}$, а для единицы — $x$.

Шаг 2. Запишем конструкцию по формуле Ньютона — Лейбница:

Шаг 3. Подставим верхний предел 2 вместо переменной $x$:

Шаг 4. Подставим нижний предел 1:

Шаг 5. Найдём разность значений:

Ответ: $\frac{31}{6}$.

Графическая задача (значения первообразной)

На рисунке изображён график некоторой функции $y=f(x)$. Пользуясь рисунком, вычислите $F(8)-F(2)$, где $F(x)$ — одна из первообразных функций $f(x)$.

Решение

Шаг 1. Вспомним геометрический смысл. Разность $F(8)-F(2)$ равна площади выделенной на рисунке трапеции $ABCD$.

Шаг 2. Вместо интегральных вычислений применим формулу площади трапеции:

Шаг 3. Подставим значения из условия: $\frac{1+6}{2}·2=7$.

Логика решения таких номеров строится на простом геометрическом подсчёте площади фигуры.

Ответ: $7$.

Разберём частые ошибки, из-за которых теряются баллы:

• Ошибка знака в формуле Ньютона — Лейбница. При вычитании нижнего предела из верхнего могут появиться внутренние минусы. Всегда записывай разность в виде $F(b)-(F(a))$ и подробно раскрывай скобки на следующем этапе.
• Игнорирование разрывов функции. Формулу Ньютона — Лейбница разрешено применять только для функции, непрерывной на всём отрезке. Интегрировать гиперболу $\frac{1}{x}$ на отрезке от $-1$ до $1$ прямым способом нельзя. Функция имеет бесконечный разрыв в нуле, и применение стандартной формулы выдаст бессмысленный результат.
• Фантомная константа. Помни, что результатом является число. Константа $+C$ не пишется в ответе, так как она взаимно уничтожается при подстановке пределов.

Попробуй решить предложенные задания самостоятельно и сверься с ответами.

Задание 1. Найди значение интеграла ${\int }_{-2}^{-2}(x^4-5x+7)dx$.

Задание 2. Вычисли площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, прямыми $x=1$ и $x=2$, а также графиком $y=3x^2$.

Задание 3. Укажи ошибку в записи: ${\int }_{-1}^{2}5xdx={.5x^2|}_{-1}^2$.

Теперь ты знаешь, как вычисляется определённый интеграл, и можешь применять эти знания в заданиях профильного ЕГЭ по математике. Ты умеешь находить первообразные с помощью формулы Ньютона — Лейбница, заменять переменные вместе с рабочими пределами, а также применять геометрический смысл интеграла для нахождения площади под графиком. Главное — следить за знаками при вычитании и не пытаться прибавить константу в ответе. Чтобы довести навык до автоматизма и чувствовать себя увереннее, порешай задачи в «100балльном банке» — там собраны тренировочные варианты, которые помогут закрепить теорию на практике.