Задание 16 ЕГЭ по профильной математике — экономическая задача, которая часто вызывает трудности на экзамене. Чаще всего баллы теряются из-за неправильного оформления на чистовике: отсутствия пояснений, использования готовых формул без вывода и путаницы в терминах. В статье разберём правила проверяющих комиссий, изучим пошаговый алгоритм решения и типичные ошибки, чтобы у тебя получилось уверенно получить максимальные два первичных балла.
Как устроено экономическое задание
Задание 16 проверяет умение строить математические модели реальных процессов. Чаще всего встречаются ситуации, связанные с банковскими кредитами, вкладами или оптимизацией производства.
Ключевое понятие в задании — математическая модель. Это уравнение, система уравнений или неравенство, которое описывает условие задачи и позволяет найти ответ. Если модель составлена верно, но допущена вычислительная ошибка, комиссия выставит один балл. Если же ответ правильный, но модель не описана словами, эксперт поставит 0 баллов.
Главное правило оформления — пояснять словами каждую новую переменную. Нельзя просто написать уравнение с буквами, которые не заданы в исходном тексте. Каждую переменную нужно пояснить. Например, следует писать так: «Пусть $S$ — сумма кредита, $r$ — процентная ставка, а $x$ — ежегодная выплата».
Для кредитов с дифференцированными платежами, когда долг уменьшается равномерно, всегда лучше использовать таблицу. Она наглядно демонстрирует проверяющему, как меняется долг до начисления процентов, после их начисления и после внесения денег в кассу банка.
Универсальный алгоритм решения задачи
Чтобы не растеряться на экзамене, используй чёткий алгоритм действий. Он позволяет структурировать логику решения для любой экономической ситуации.
- Введение переменных. Выпиши все данные из условия и придумай понятные буквенные обозначения для неизвестных величин, обязательно сопроводив их текстовым комментарием.
- Построение модели. Составь таблицу для кредита или запиши функцию прибыли для задачи на оптимизацию. Покажи логику изменения чисел шаг за шагом.
- Составление уравнения. Опираясь на данные таблицы или функции, составь итоговое равенство. Так ты завершишь построение математической модели.
- Решение и вычисления. Аккуратно вырази искомую величину. Старайся не умножать большие числа сразу, лучше раскладывай их на множители для последующего сокращения.
- Запись ответа. Убедись, что найденная величина соответствует вопросу задачи. Например, требуется найти величину в рублях, а не в процентах.
Разбор примеров задач
Разберём задачи, которые часто встречаются на ЕГЭ.
Классический кредит с равномерным уменьшением долга
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца нужно выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$.
Решение
Шаг 1. Пусть $S$ — первоначальная сумма кредита. Количество периодов $n = 15$ месяцев. Пусть $k = \dfrac{r}{100}$ — коэффициент процентной ставки.
Шаг 2. По условию долг уменьшается равномерно. Значит, каждый месяц основной долг становится меньше на величину $\dfrac{S}{15}$. Остатки долга по месяцам будут выглядеть так: $S$, $\dfrac{14S}{15}$, $\dfrac{13S}{15}$, …, $0$.
Шаг 3. Каждая выплата состоит из двух частей: фиксированной части основного долга ($\dfrac{S}{15}$) и начисленных процентов за текущий месяц. Проценты начисляются на остаток долга. Сумма всех выплаченных процентов составит:
$k \cdot S + k \cdot \frac{14S}{15} + k \cdot \frac{13S}{15} + \dots + k \cdot \frac{S}{15}.$
Вынесем общий множитель за скобки:
$k \cdot \frac{S}{15} \cdot (15 + 14 + 13 + \dots + 1).$
В скобках находится арифметическая прогрессия. Найдём её сумму:
$\frac{15 + 1}{2} \cdot 15 = 120.$
Тогда общая сумма процентов равна:
$k \cdot \frac{S}{15} \cdot 120 = 8kS.$
Шаг 4. Общая сумма выплат состоит из суммы кредита $S$ и переплаты (всех начисленных процентов). По условию она на 40% больше суммы кредита и равна $1{,}4S$. Получаем уравнение:
$S + 8kS = 1{,}4S.$
Шаг 5. Разделим обе части на $S$, так как сумма кредита точно больше нуля:
$1 + 8k = 1{,}4, \, 8k = 0{,}4, \, k = 0{,}05.$
Переведём коэффициент обратно в проценты:
$r = 0{,}05 \cdot 100 = 5.$
Ответ: 5%.
Кредит с изменяющейся процентной ставкой
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. В январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 24% по сравнению с концом предыдущего года. В январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 20%. С февраля по июнь каждого года нужно выплатить часть долга. В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. К июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 1,421 миллиона рублей?
Решение
Шаг 1. Пусть $S$ — кредитная сумма в миллионах рублей. Срок кредита $n = 8$ лет. Долг уменьшается равномерно, следовательно, каждый год он сокращается на $\dfrac{S}{8}$.
Шаг 2. Первые четыре года ставка составляет 24%, поэтому $k_1 = 0{,}24$. Остатки долга в эти годы: $S$, $\dfrac{7S}{8}$, $\dfrac{6S}{8}$, $\dfrac{5S}{8}$.
Сумма процентов за первые четыре года:
$0{,}24 \cdot S + 0{,}24 \cdot \frac{7S}{8} + 0{,}24 \cdot \frac{6S}{8} + 0{,}24 \cdot \frac{5S}{8} = 0{,}24 \cdot \frac{S}{8} \cdot (8 + 7 + 6 + 5) = 0{,}24 \cdot \frac{S}{8} \cdot 26 = 0{,}03 \cdot S \cdot 26 = 0{,}78S.$
Шаг 3. Следующие четыре года ставка составляет 20%, поэтому $k_2 = 0{,}20$. Остатки долга в эти годы: $\dfrac{4S}{8}$, $\dfrac{3S}{8}$, $\dfrac{2S}{8}$, $\dfrac{S}{8}$.
Сумма процентов за вторые четыре года:
$0{,}20 \cdot \frac{4S}{8} + 0{,}20 \cdot \frac{3S}{8} + 0{,}20 \cdot \frac{2S}{8} + 0{,}20 \cdot \frac{S}{8} = 0{,}20 \cdot \frac{S}{8} \cdot (4 + 3 + 2 + 1) = 0{,}20 \cdot \frac{S}{8} \cdot 10 = 0{,}025 \cdot S \cdot 10 = 0{,}25S.$
Шаг 4. Общая сумма выплат складывается из взятого кредита $S$ и всех начисленных процентов:
$S + 0{,}78S + 0{,}25S = 2{,}03S.$
По условию общая сумма равна 1,421 миллиона рублей. Составим уравнение:
$2{,}03S = 1{,}421, \, S = \frac{1{,}421}{2{,}03} = 0{,}7.$
Ответ: 0,7 миллиона рублей.
Задача на оптимизацию производства
Дмитрий владеет двумя заводами, выпускающими одинаковую продукцию. Если рабочие первого завода трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то выпускают $6t$ единиц продукции. Если рабочие второго завода трудятся $t^2$ часов в неделю, то выпускают $3t$ единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 600 рублей за час. Дмитрий готов платить рабочим 1 875 000 рублей в неделю. На какое максимальное число единиц продукции он может рассчитывать?
Решение
Шаг 1. Пусть сотрудники первого завода работают $x^2$ часов и производят $6x$ деталей. А сотрудники второго завода работают $y^2$ часов и производят $3y$ деталей. Всего затрачено денег на оплату труда: $600 \cdot (x^2 + y^2)$.
Шаг 2. Бюджет ограничен суммой 1 875 000 рублей.
$600 \cdot (x^2 + y^2) = 1\,875\,000.$
Разделим обе части уравнения на 600:
$x^2 + y^2 = 3125.$
Шаг 3. Нужно найти наибольшее значение общего количества деталей. Обозначим это как функцию $f$.
$f(x, y) = 6x + 3y.$
Так как время не может быть отрицательным, из уравнения $y^2 = 3125-x^2$ получаем $y = \sqrt{3125-x^2}$. Подставим $y$ в функцию, чтобы она зависела только от одной переменной $x$:
$f(x) = 6x + 3\sqrt{3125-x^2}.$
Шаг 4. Для нахождения наибольшего значения используем производную:
$f'(x) = 6 + 3 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{3125-x^2}} = 6-\frac{3x}{\sqrt{3125-x^2}}.$
Шаг 5. Приравняем производную к нулю, чтобы найти точку экстремума:
$6 = \frac{3x}{\sqrt{3125-x^2}}, \\ 2 = \frac{x}{\sqrt{3125-x^2}}.$
Шаг 6. Возведём обе части в квадрат:
$4 = \frac{x^2}{3125-x^2}, \\ 12500-4x^2 = x^2, \\ 5x^2 = 12500, \\ x^2 = 2500, \\ x = 50.$
Это единственная критическая точка на области определения, поэтому в ней достигается максимум функции.
Шаг 7. Так как $x = 50$, найдём $y$:
$y = \sqrt{3125-2500} = \sqrt{625} = 25.$
Шаг 8. Максимальное количество продукции:
$f(50) = 6 \cdot 50 + 3 \cdot 25 = 300 + 75 = 375.$
Ответ: 375 единиц продукции.
Типичные ошибки на экзамене
Разберём ошибки оформления, из-за которых школьники чаще всего теряют баллы.
- Использование готовых математических формул без вывода. Не стоит сразу писать сложную дробь для аннуитетного платежа. Распиши первые месяцы через начисление процентов и выплаты, покажи геометрическую прогрессию, и только потом выведи итоговую формулу. Школьная программа не содержит готовых банковских формул, поэтому эксперты требуют их самостоятельного вывода.
- Отсутствие описания переменных. Не записывай в чистовике уравнение вида $X + Y = 20$, не объяснив, что значат эти буквы. Обязательно используй фразы: «Пусть $X$ — это…». Любая неописанная буква считается ошибкой построения математической модели и оценивается в 0 баллов.
- Путаница в понятиях «остаток долга» и «выплата». Не приравнивай сумму выплат к сумме остатков долга. Выплата — это деньги, которые клиент вносит в банк. Остаток — это сумма, которую клиент всё ещё должен после выплаты. Всегда чётко разделяй эти значения в таблице.
- Вычисления на черновике без переноса шагов в чистовик. Не пиши ответ сразу после исходного уравнения. Оставляй ключевые алгебраические преобразования на чистовике. Эксперт должен видеть, как именно получилось итоговое выражение, иначе ответ могут засчитать необоснованным.
Самопроверка
Ответь на вопросы ниже, чтобы закрепить материал.
1. Можно ли использовать в решении переменную $t$, если в условии она не задана, а пояснений о её значении нет?
Нельзя. Если переменная не описана, математическая модель считается необоснованной. За это эксперт гарантированно выставит 0 баллов.
2. Если таблица выплат составлена верно, записано правильное уравнение суммы всех платежей, но допущена ошибка в арифметике при сложении в конце, сколько баллов выставит проверяющий?
За такое решение ставится 1 балл. Верно построенная и обоснованная математическая модель оценивается одним баллом независимо от дальнейших вычислительных недочётов.
Заключение
Теперь ты понимаешь, как правильно подойти к заданию 16 профильной математики на ЕГЭ. Ты умеешь грамотно вводить переменные, использовать таблицы для финансовых задач, выводить формулы шагами и подробно расписывать логику решения на чистовике. Соблюдение этих правил оформления поможет выстроить правильную математическую модель и получить максимальные баллы. Чтобы потренироваться, отработай 5–10 экономических задач из нашего банка ЕГЭ, уделяя основное внимание подробной записи каждого действия.
