Задание 17 из ЕГЭ по математике: теоремы Чевы и Менелая

Сначала разберём определения и правила, которые помогают составить верное уравнение и не запутаться в отрезках.

Теорема Менелая

Рассмотрим базовую конструкцию. Пусть на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $C_1$ и $A_1$. На продолжении стороны $AC$ взята точка $B_1$.

Главное правило, которое нужно усвоить для безошибочного составления дробей, называется правилом обхода. Схема звучит так: «вершина — точка, точка — вершина». Начиная от любой вершины изначального треугольника, мы двигаемся к точке на секущей линии, от неё возвращаемся к следующей вершине и так далее, пока полностью не обойдём весь контур и не вернёмся в самую первую вершину.

Прямая может пересекать только продолжения всех трёх сторон. В таком случае все три точки располагаются на продолжениях, но само буквенное выражение записывается аналогичным образом.

Теорема Чевы

Пусть на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Отрезки, которые соединяют вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, называются чевианами.

Если исходные прямые пересекаются в одной точке, находящейся вне границ внутренней области треугольника, то ровно одна из рабочих точек будет лежать на самой стороне, а две оставшиеся — на продолжениях. Равенство произведений при этом сохраняется неизменным.

Чтобы стабильно решать задачи, полезно придерживаться чёткого порядка действий:

1. Внимательно рассмотри чертёж и чётко определи базовый треугольник.
2. Найди прямую-секущую для применения правила Менелая или три пересекающиеся внутри чевианы для правила Чевы.
3. Выбери стартовую вершину.
4. Пройди по контуру фигуры строго по правилу чередования, собирая отрезки в числители и знаменатели дробей.
5. Приравняй произведение трёх полученных дробей к единице.
6. Подставь известные числовые значения из условия и реши простое линейное уравнение.

Разберём три ситуации, двигаясь от базовых конструкций к реальным экзаменационным формулировкам.

Базовое применение теоремы Менелая

Условие

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ находится точка $D$ так, что $\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}$. На стороне $BC$ находится точка $E$ так, что $\frac{BE}{EC} = \frac{1}{3}$. Прямые $AE$ и $CD$ пересекаются в общей точке $O$. Найдите отношение отрезков $\frac{AO}{OE}$.

Решение

Шаг 1. Выберем базовую фигуру. Удобно рассмотреть треугольник $ABE$, так как мы ищем части стороны $AE$.

Шаг 2. Секущей для этого треугольника будет прямая $CD$. Она пересекает сторону $AB$ в точке $D$, сторону $AE$ в точке $O$ и продолжение стороны $BE$ в точке $C$.

Шаг 3. Запишем соотношение. Начнём маршрут из вершины $A$:

Шаг 4. Подставим числа. По условию задачи $\frac{BE}{EC} = \frac{1}{3}$. Следовательно, вся сторона $BC$ состоит из четырёх частей $(1 + 3)$. Отношение $BC$ к $CE$ составит $\frac{4}{3}$.

Шаг 5. Выполним расчёт:

Следовательно, обратное отношение $\frac{AO}{OE} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

Классическая конструкция Чевы

Условие

Внутри треугольника $ABC$ на сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ взяты соответственно точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Соединяющие их отрезки пересекаются в общей точке внутри. Известны длины: $AC_1 = 4$, $C_1B = 2$, $BA_1 = 3$, $A_1C = 5$, $B_1A = 6$. Длина отрезка $CB_1$ равна $x$. Найдите значение $x$.

Решение

Шаг 1. Используем прямую формулу для трёх чевиан, так как они пересекаются внутри.

Шаг 2. Составим произведение:

Шаг 3. Подставим значения в пропорцию:

Шаг 4. Выполним расчёт. Умножим первые две дроби:

Шаг 5. Перемножим оставшиеся элементы:

Шаг 6. Шестёрки сокращаются, остаётся $\frac{x}{5} = 1$. Отсюда $x = 5$.

Ответ: 5.

Экзаменационное задание

Условие

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечена точка $M$ таким образом, что $\frac{BM}{MC} = \frac{1}{2}$. На отрезке $AM$ поставлена точка $K$ так, что $\frac{AK}{KM} = \frac{3}{1}$. Прямая, проведённая через вершину $B$ и точку $K$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Найдите отношение $AN$ к $NC$.

Решение

Шаг 1. Так как мы ищем отношение частей стороны $AC$, возьмём за основу треугольник $AMC$.

Шаг 2. Секущей для этой фигуры будет выступать прямая $BN$. Она пересекает сторону $AC$ в точке $N$, $AM$ в точке $K$, а продолжение стороны $MC$ — в точке $B$.

Шаг 3. Запишем выражение, стартуя от вершины $A$:

Шаг 4. Найдём полные длины. В задаче дано отношение $\frac{BM}{MC} = \frac{1}{2}$. Значит, вся сторона $CB$ состоит из отрезка $CM$ и отрезка $MB$. То есть $CB = 3 MB$. Отношение $CB$ к $BM$ равно 3.

Шаг 5. Поработаем с пропорцией: по условию $\frac{AK}{KM} = \frac{3}{1}$. Значит, обратное отношение $MK$ к $KA$ равно $\frac{1}{3}$.

Шаг 6. Подставим значения в формулу: $\frac{AN}{NC} \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. Тройки сокращаются, и остаётся $\frac{AN}{NC} \cdot 1 = 1$.

Ответ: $\frac{1}{1}$.

Чтобы не потерять баллы на правильных вычислениях во второй части ЕГЭ, обрати внимание на экзаменационные ловушки:

• Ошибка в обосновании. Нельзя просто записать формулу из дробей и выдать ответ. Обязательно поясни текстом, для какого именно треугольника и какой секущей применяется теорема. Эксперты засчитают решение без текстового описания как недостаточно обоснованное.
• Использование случайной вершины. Выбирай стартом только вершину базового треугольника, а затем строго чередуй её с точкой на прямой. Двигаться от точки пересечения хаотично нельзя — уравнение получится неверным.
• Путаница с внешней прямой. При подстановке длины внешней стороны бери полный размер от внешней вершины до базовой. Например, возвращаясь к третьему примеру, нужно брать длину всей стороны $CB$, а не только внутренний отрезок $CM$.

Реши задачу самостоятельно, чтобы закрепить материал.

Условие

В треугольнике $PQR$ на стороне $QR$ взята точка $S$ так, что $\frac{QS}{SR} = \frac{2}{3}$. На отрезке $PS$ взята точка $T$ так, что $\frac{PT}{TS} = \frac{4}{1}$. Прямая $QT$ пересекает сторону $PR$ в точке $L$. Найдите отношение $PL$ к $LR$.

После изучения этого материала можно уверенно решать планиметрические задачи на поиск отношений отрезков на экзамене. Теперь ты умеешь:

• применять теоремы Менелая и Чевы для решения заданий № 17 в профильном ЕГЭ;
• безошибочно составлять пропорции с помощью золотого правила обхода контура «вершина — точка — вершина»;
• находить базовый треугольник и секущую прямую для работы с формулами;
• грамотно обосновывать каждый шаг решения, чтобы получить максимальный балл от экспертов.

Чтобы закрепить навык и увеличить скорость решения, советуем прорешать 5–7 аналогичных задач из банка заданий.