Задание 18 профильного ЕГЭ по математике часто вызывает затруднения из-за наличия параметра. Многие из таких задач становятся прозрачными, если перевести их с алгебраического языка на геометрический. Когда в системе уравнений фигурируют квадраты переменных, на координатной плоскости часто появляется график уравнения окружности или полуокружности. Частая ошибка при решении — потеря области допустимых значений квадратного корня. Разберём теорию и научимся применять графический метод на реальных экзаменационных заданиях.
От окружности к полуокружности
Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, нужно научиться считывать информацию напрямую из уравнения.
Полная окружность
Уравнение $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ задаёт на координатной плоскости окружность с центром в точке с координатами $(a;\, b)$ и радиусом $R > 0$.
Важные нюансы:
- Знак внутри скобок противоположен координате центра. Если в уравнении стоит скобка $(x + 3)^2$, это означает, что координата $x$ центра равна $-3$.
- Справа от знака равенства стоит квадрат радиуса. Если там находится число 9, $R = 3$.
- Окружность нулевого радиуса ($R = 0$) представляет собой точку. Если справа оказалось отрицательное число, уравнение не имеет решений, а геометрическая фигура не существует.
Полуокружность
Часто в заданиях профильного ЕГЭ встречается квадратный корень, например $y = \sqrt{R^2-x^2}$.
- Выразим переменную $y$ из классического уравнения окружности с центром в начале координат $x^2 + y^2 = R^2$. Получим $y^2 = R^2-x^2$.
- Отсюда есть два варианта: $y = \sqrt{R^2-x^2}$ или $y=-\sqrt{R^2-x^2}$.
- Поскольку арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, функция вида $y = \sqrt{R^2-(x-a)^2} + b$ задаёт исключительно верхнюю полуокружность. Значения $y$ здесь всегда больше либо равны $b$.
- Уравнение с минусом перед корнем задаёт нижнюю дугу $y=-\sqrt{R^2-(x-a)^2} + b$. Это ключевое отличие полуокружности от полной окружности.
Графический метод решения
Чтобы не запутаться во время экзамена, применяй следующий алгоритм:
- Изолируй переменные и параметр. Постарайся привести каждое уравнение системы к знакомому виду (прямая, угол, парабола или дуга).
- Найди статический график. Одно из уравнений обычно не содержит параметра $a$. Построй его на координатной плоскости.
- Проанализируй динамический график. Определи, как параметр влияет на график второго уравнения. Он может изменять наклон прямой, сдвигать фигуру вдоль осей или увеличивать радиус.
- Найди точки контакта. Двигай динамический график, фиксируя моменты касания или прохождения через граничные точки статического графика.
- Составь уравнения для крайних положений и реши их относительно параметра $a$.
Разбор заданий из профильного ЕГЭ
Разберём применение алгоритма на практике с заданиями из базы реальных вариантов экзамена.
Задача 1
Найдите все значения параметра $a$, при которых система имеет ровно одно решение: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \ y = a. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Первое уравнение задаёт окружность с центром $(0;\, 0)$ и радиусом 2. Строим её на координатной плоскости.
Шаг 2. Второе уравнение $y = a$ задаёт горизонтальную прямую. При изменении $a$ прямая перемещается вдоль оси ординат.
Шаг 3. Одно решение будет в том случае, если прямая коснётся дуги в самой верхней или самой нижней точке.
Шаг 4. Радиус равен 2. Значит, верхняя точка имеет ординату 2, а ордината нижней равна $-2$.
Ответ: $a = 2, \, a=-2$.
Задача 2
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система имеет ровно одно решение: $\begin{cases} y = \sqrt{4-x^2}, \ y = ax + a-1. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Анализируем первое уравнение. Перед нами верхняя полуокружность с центром $(0;\, 0)$ и радиусом 2. Учитываем условие $y \ge 0$. График существует в границах оси абсцисс от $-2$ до 2.
Шаг 2. Разбираем второе уравнение. Сгруппируем слагаемые с параметром: $y + 1 = a(x + 1)$. Это уравнение задаёт пучок прямых, которые при любом значении параметра $a$ проходят через фиксированную точку $M(-1;\, -1)$. Коэффициент $a$ отвечает за наклон: при его изменении прямая вращается вокруг точки $M$.
Шаг 3. Ищем пересечения графиков. Центр вращения $M(-1;\, -1)$ лежит ниже оси абсцисс, то есть вне верхней дуги и внутри достроенной полной окружности. Прямая пересечёт дугу ровно один раз, если пройдёт через её крайние точки.
- Крайняя левая точка $A(-2;\, 0)$. Подставим её координаты в уравнение прямой: $0 = a(-2 + 1)-1$, откуда получаем $a=-1$.
- Крайняя правая точка $B(2;\, 0)$. Подставим её координаты в уравнение: $0 = a(2 + 1)-1$, откуда получаем $3a = 1$, то есть $a = \frac{1}{3}$.
Шаг 4. Анализ динамического графика.
- Если угловой коэффициент $a$ станет больше $\frac{1}{3}$, прямая будет идти круче вверх и продолжит пересекать правую часть верхней дуги ровно в одной точке.
- Если $a$ станет меньше $-1$, прямая пойдёт круто влево и пересечёт левую часть дуги.
- В промежутке от $-1$ до $\frac{1}{3}$ прямая пересекает ось абсцисс за пределами отрезка от $-2$ до 2, а значит, общих точек с кривой не будет. Касание в этой задаче невозможно, так как точка вращения находится внутри целой окружности.
Ответ: $a \in (-\infty;\, -1] \cup [\frac{1}{3};\, +\infty)$.
Задача 3
Найдите все значения $a$, при которых система имеет ровно два решения: $\begin{cases} y = \sqrt{9-x^2}, \ y = x + a. \end{cases}$
Решение
Шаг 1. Первое уравнение задаёт верхнюю дугу радиусом 3 с центром в начале координат $(0;\, 0)$. Крайние точки графика: $(-3;\, 0)$ и $(3;\, 0)$.
Шаг 2. Второе уравнение задаёт прямую, которая наклонена к положительному направлению оси абсцисс под углом 45 градусов. Параметр $a$ сдвигает эту прямую вдоль оси ординат.
Шаг 3. Зафиксируем моменты для двух пересечений.
- Нижняя граница проходит через левую точку дуги $(-3;\, 0)$. Найдём параметр для этой точки: $0=-3 + a$, значит, $a = 3$. При таком значении линия пересекает дугу в стартовой точке и ещё один раз выше. Получаем два решения.
- Если опустить прямую ниже, она будет пересекать дугу один раз справа.
- Если поднять линию выше 3, она продолжит пересекать дугу в двух местах.
Шаг 4. Верхняя граница определяется моментом касания. Когда прямая касается окружности, решение всего одно. Геометрически расстояние от центра до касательной равно радиусу. Запишем уравнение прямой в общем виде: $x-y + a = 0$, где $A = 1$, $B=-1$, $C = a$. Применим формулу расстояния от точки $(0;\, 0)$:
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} =\frac{|0-0 + a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 3$
Шаг 5. $d = \frac{|a|}{\sqrt{2}} = 3$, откуда получаем положительное значение параметра $a = 3\sqrt{2}$, при котором прямая касается верхней полуокружности. При этом значении параметра решение будет одно.
Ответ: $a \in [3;\, 3\sqrt{2})$.
Типичные ошибки
Чтобы не потерять баллы на экзамене, обращай внимание на сложные моменты:
- Потеря ОДЗ корня. Нельзя бездумно возводить $y = \sqrt{R^2-x^2}$ в квадрат и рисовать замкнутую окружность. Всегда записывай рядом условие неотрицательности $y \ge 0$.
- Ошибки в координатах центра. Центр окружности из уравнения $(x + 5)^2$ находится в точке с координатой $-5$, так как по формуле перед координатой должен стоять знак минуса.
- Неверное понимание условия для касания. Касание образуется не при любом значении параметра. Если точка вращения пучка прямых находится внутри круга, касательная к дуге не появится.
- Выбор скобок в ответе. Обязательно подставляй каждое найденное граничное значение в систему и вручную проверяй количество решений. Если по условию нужны два решения, а при касании оно одно, скобка у граничного значения касания всегда будет круглой.
Практика для самопроверки
Закрепим теорию. Попробуй ответить на вопросы самостоятельно.
Задание 1. Какую геометрическую фигуру задаёт уравнение $x = \sqrt{16-y^2}$?
Задание 2. Какие координаты имеет центр окружности $(x-1)^2 + (y + 7)^2 = 25$?
Задание 3. При каких положительных значениях $a$ график $x^2 + y^2 = a^2$ имеет ровно одну общую точку с прямой $y = 5$?
Ответ к заданию 1. Правая полуокружность. Переменные поменялись местами, теперь ограничение стоит на $x \ge 0$. Радиус равен 4.
Ответ к заданию 2. Координаты центра: $(1;\, -7)$.
Ответ к заданию 3. Система имеет одно решение при касании. Горизонтальная прямая $y = 5$ коснётся верхней точки окружности с центром в начале координат, если радиус $a$ будет равен 5.
Заключение
Теперь ты понимаешь, как считывать координаты центра и длину радиуса напрямую из уравнения окружности. Ты знаешь, что наличие квадратного корня отсекает половину графика, а положение точки вращения прямых определяет возможность касания. Графический метод помогает заменить сложные алгебраические вычисления на наглядные геометрические действия. Чтобы закрепить навык и уверенно решать задание 18 профильного ЕГЭ, порешай аналогичные задачи на графический метод в «100балльном банке». Самостоятельная практика поможет быстро находить правильный алгоритм решения на самом экзамене.
