Задание 19 в ЕГЭ по математике имеет репутацию «олимпиадного», поэтому к нему часто даже не приступают. Однако пункты «а» и «б» в этой задаче может решить каждый, кто знает базовую арифметику. Главный секрет заключается в том, что правильное оформление гарантирует получение баллов. В этой статье подробно разберём, как решать такие задания, как записывать ответ, чтобы эксперт не снизил оценку, и на каких мелочах чаще всего теряются баллы.
Теория: как писать ответы
Каждое действие в бланке нужно объяснять. Логика решения должна быть понятна проверяющему без дополнительных догадок.
Если ответ «Да»
Когда нужно узнать, возможна ли какая-либо ситуация, и она действительно возможна, достаточно привести ровно один подходящий пример. Расписывать долгий подбор на черновике не требуется. Эксперту нужен корректный пример и проверка того, что он удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого запиши выбранные числа, подставь их в условия задачи и покажи вычислениями, что всё сходится.
Если ответ «Нет»
Здесь ситуация отличается. Если написать: «Составить сумму из таких чисел не вышло, значит, ответ нет» — за это поставят ноль баллов. Для отрицательного ответа требуется математическое доказательство того, что искомая комбинация невозможна. Чаще всего это доказывается через чётность, делимость, строгие неравенства или минимальные и максимальные суммы.
Оформление пункта «в»
Обычно в этом пункте нужно найти наибольшее или наименьшее значение величины. Здесь применяется правило «оценка плюс пример».
Сначала строится оценка: строгими формулами доказывается, что искомое число не может быть больше или меньше определённого порога.
Затем приводится пример: нужно показать набор чисел, при котором этот порог достигается. Если привести только пример без доказательства порога, снимут один балл.
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы не теряться в условиях, используй чёткий алгоритм действий:
- Внимательно прочитай условие. Подчеркни тип чисел, с которыми предстоит работать. Натуральные числа начинаются с единицы (1, 2, 3 и так далее). Целые числа включают ноль и отрицательные. Различные числа не могут повторяться.
- Найди крайние значения. Вычисли минимально возможную сумму или максимально возможное количество, для этого сложи самые маленькие или самые большие числа, подходящие под условие.
- Сравни с условием. Если минимальная сумма больше требуемой, ответ сразу «нет». Если меньше или равна требуемой, нужно отдельно проверить, можно ли достичь нужного значения без нарушения условий.
- Проверь условие. Найденный пример проверь по каждому слову из первого предложения задачи.
- Оформи чистовик. Запиши решение кратко, без лишних слов, опираясь на математические факты.
Задача на суммы и остатки
На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо оканчивается на 7. Сумма написанных чисел равна 810.
а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?
Шаг 1. Анализируем данные.
Всего 30 разных чисел от единицы и выше. Если чётных чисел 24 штуки, то чисел, оканчивающихся на семёрку, остаётся ровно 6 (30 − 24 = 6).
Шаг 2. Ищем минимальные суммы.
Нужно проверить, поместятся ли числа в сумму 810. Возьмём самые маленькие возможные чётные числа: 2, 4, 6… вплоть до 48 (так как их 24 штуки).
Посчитаем их сумму. Это сумма арифметической прогрессии $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$, подставив в формулу получаем: $\dfrac{2 + 48}{2} \cdot 24 = 600$.
Теперь возьмём 6 самых маленьких натуральных чисел, оканчивающихся на 7: 7, 17, 27, 37, 47, 57.
Их сумма равна: $\dfrac{7 + 57}{2} \cdot 6 = 192$.
Шаг 3. Делаем вывод и составляем пример.
Минимальная возможная сумма всех этих тридцати чисел равна: 600 + 192 = 792.
Нужно получить 810. Разница между 810 и 792 составляет 18.
Можно увеличить одно из чётных чисел на 18. Например, заменим самое большое чётное число 48 на 66. Число 66 также является чётным и не совпадает ни с одним другим числом из списка.
Новая сумма чётных чисел: 600 − 48 + 66 = 618.
Складываем: 618 + 192 = 810.
Шаг 4. Запись в чистовике.
Ответ: да.
Пример: возьмём 6 чисел, оканчивающихся на 7 (7, 17, 27, 37, 47, 57), и 24 чётных числа (2, 4, 6… 44, 46, 66).
Проверка:
- Все 30 чисел натуральные и различные (условие выполнено).
- Сумма нечётных чисел: 7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57 = 192.
- Сумма чётных чисел: 2 + 4 + … + 46 + 66 = 618.
- Общая сумма: 192 + 618 = 810 (условие выполнено).
Задача на проценты и округление
В результате опроса выяснилось, что примерно 45% опрошенных предпочитают кофе чаю (число 45 получено с помощью округления до ближайшего целого числа).
а) Могло ли участвовать в опросе ровно 24 человека?
Шаг 1. Переводим текст в математику.
Если число 45 получено округлением до целого, значит, реальный процент находится в строгом диапазоне: от 44,5% (включительно) до 45,5% (не включая границу).
Пусть общее количество людей равно $N$, а число любителей кофе равно $K$. Тогда доля любителей кофе составляет дробь $\dfrac{K}{N}$.
Шаг 2. Составляем систему неравенств.
Известно, что $N = 24$.
Составим неравенство: $0{,}445 \le \dfrac{K}{24} < 0{,}455$.
Шаг 3. Решаем неравенство.
Нужно умножить все части на 24, чтобы выразить $K$.
$0{,}445 \cdot 24 = 10{,}68$.
$0{,}455 \cdot 24 = 10{,}92$.
Получаем: $10{,}68 \le K < 10{,}92$.
Шаг 4. Оформление логики для эксперта.
Ответ: нет.
Доказательство: по условию процент находился в промежутке от 44,5% до 45,5%. Обозначим количество любителей кофе за целое число $K$. При общем количестве опрошенных, равном 24, получаем неравенство $10{,}68 \le K < 10{,}92$. Поскольку $K$ обозначает количество людей, оно обязано быть целым числом. Однако в интервале от 10,68 до 10,92 нет ни одного целого числа (число 10 меньше нижней границы, а число 11 больше верхней границы). Следовательно, в опросе не могло участвовать ровно 24 человека.
Свойства квадратного уравнения
Известно, что квадратное уравнение вида $x^2 + mx + k = 0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения $k$ при $m =-6$.
Шаг 1. Работаем с теоремой Виета.
Корни уравнения $x_1$ и $x_2$ — натуральные числа, причём они не равны друг другу.
По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту m с противоположным знаком: $x_1 + x_2 =-m$.
Произведение корней равно $k$: $x_1 \cdot x_2 = k$.
Шаг 2. Подставляем условия.
Если $m =-6$, то $x_1 + x_2 = 6$.
Так как корни натуральные (целые и положительные), можно перечислить все пары таких чисел, дающих в сумме 6:
- 1 и 5,
- 2 и 4,
- 3 и 3.
Шаг 3. Отсеиваем лишнее.
В условии сказано, что корни различные. Значит, вариант (3; 3) не подходит.
Остаются только пары корней: (1; 5) и (2; 4).
Шаг 4. Запись ответа в чистовике.
Ответ: 5; 8.
Доказательство: по теореме Виета $x_1 + x_2 = 6$, а $x_1 \cdot x_2 = k$. Так как корни являются натуральными и различными, возможны только две подходящие пары слагаемых, дающих в сумме 6. Это пара 1 и 5 (их произведение равно 5, $k = 5$). И пара 2 и 4 (их произведение равно 8, $k = 8$). Других различающихся натуральных корней с такой суммой не существует.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
Вычисления могут быть правильными, но баллы часто теряются из-за неверной записи. Обязательно проверяй решение по этому списку ловушек.
Вывод вместо доказательства
Что ошибка: «Было перебрано пять разных сумм, ни одна не подошла. Значит, составить такую группу чисел невозможно. Ответ: нет».
Как правильно: составить неравенство или показать через чётность или нечётность, что условие невыполнимо в принципе для бесконечного множества вариантов (как это показано в задаче с процентами).
Брошенный пример
Что ошибка: «Ответ: да. Пример: 2, 4, 6 и 7, 17, 27».
Как правильно: «Ответ: да. Пример: 2, 4, 6 и 7, 17, 27. Проверка: 2 + 4 + 6 = 12, 7 + 17 + 27 = 51. Сумма 63. Все числа натуральные и различные». Нужно явно прописывать арифметику.
Опасная лексика
Запрещено использовать в чистовике фразы вроде «очевидно, что дальше считать не нужно» или «как известно, больше взять нельзя».
Опирайся на математику, а не на эмоции: «исходя из неравенства…», «поскольку функция возрастает…», «максимальная сумма первых пяти членов прогрессии равна…».
Потеря этапа оценки в пункте «в»
Что ошибка: просто найти самое большое число подбором и доказать, что оно подходит под условие. Экзаменатор поставит за это только один балл.
Как правильно: сначала написать формулу, доказывающую, что искомая сумма (или количество) строго ограничена, например $S \le 45$. Написать вывод: «максимальное значение может быть равно 45». И только после этого приводить список чисел, дающих 45.
Самопроверка
Попробуй ответить на эти вопросы самостоятельно перед тем, как смотреть в ответы.
Задача 1. В пункте «а» просто написан ответ «да», а ниже перечислен ряд чисел через запятую. Какая важная часть пропущена?
Задача 2. В задаче требуется выяснить, может ли среднее арифметическое быть равным 12. Если математически доказано, что минимально возможное среднее арифметическое при таких условиях равно 14, можно ли сразу написать ответ «нет»?
Задача 1. Пропущена проверка. Нужно сложить числа и показать решение, подтверждающее, что они подходят под каждое условие.
Задача 2. Да, такой ответ полностью обоснован. Математически строго доказано, что нижняя граница равна 14.
Заключение
После изучения статьи можно уверенно приступать к заданию 19 на экзамене.
Теперь ты умеешь:
- различать способы доказательства для ответов «да» и «нет»;
- применять принцип «оценка плюс пример» для пункта «в»;
- избегать частых ошибок при формулировке ответа;
- грамотно строить алгоритм поиска нужных чисел;
- использовать формат записи чистового решения, который одобряют проверяющие.
Для закрепления навыка пробуй решать пункт «а» в каждом варианте тренировочных экзаменов — умение составлять примеры нарабатывается очень быстро.
