Решение показательных уравнений: теория и практика для профильного ЕГЭ

Основные свойства степени, для которых основания $a > 0$ и $b > 0$:

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$.
• При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.
• При умножении степеней с одинаковыми показателями основания перемножаются: $a^x \cdot b^x = (ab)^x$.
• При делении степеней с одинаковыми показателями основания делятся: $\dfrac{a^x}{b^x} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x$.
• Любое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.
• Если показатель степени отрицательный, степень записывается в знаменатель дроби без минуса: $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$.

Поскольку мы возводим положительное число $a$ в некоторую степень, результат всегда будет положительным. Показательная функция принимает только положительные значения. То есть уравнение вида $a^x = b$ не имеет действительных решений при $b \leq 0$.

Основные типы заданий из ЕГЭ и методы их решения:

• Простейшие уравнения. У них левая и правая части изначально представлены в виде степеней с одинаковыми основаниями: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$. Если основания степеней равны, то равны и их показатели. Поэтому решение сводится к равенству $f(x) = g(x)$.
• Уравнения с одинаковыми основаниями. В них с двух сторон равенства степени одного числа, но они умножаются или делятся друг на друга: $a^{f(x)} \cdot a^{h(x)}=a^{g(x)}$ или $a^{f(x)} : a^{h(x)}=a^{g(x)}$. В таком уравнении сначала нужно применить свойства степеней ($a^{f(x)+h(x)}=a^{g(x)}$ или $a^{f(x)-h(x)}=a^{g(x)}$), а затем приравнять показатели.
• Сведение разных оснований к одинаковым. В этих уравнениях с двух сторон стоят степени, основания которых не равны, но являются степенями одного числа. Для решения нужно разложить основания на множители и воспользоваться свойствами степени. Например, $4^{2x}=8^{x-1}$ можно представить в виде уравнения $2^{4x}=2^{3(x-1)}$, у которого основания равны.
• Сведение к квадратному уравнению через замену. Такие уравнения имеют вид $ma^{2f(x)}+ba^{f(x)}+c=0$, где $m$, $b$ и $c$ — некоторые числа. Делаем замену $t = a^{f(x)}$, где $t > 0$, и получаем квадратное уравнение $mt^2+bt+c=0$. После его решения выполняем обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения.
• Использование логарифмирования. В таких уравнениях правую часть нельзя привести к основанию левой. Если перед тобой задание $3^x = 5$, корень находится напрямую по определению логарифма: $x = \log_3 5$. Метод также работает для уравнений вида $2^x = 3^{x-1}$. Обе части просто логарифмируются по одному основанию и по свойствам логарифмов выносят показатели вперёд в виде множителей.

Большинство задач решается по определённому алгоритму:

1. Проанализируй числа в основаниях и попробуй привести их к одному числу с помощью свойств степени.
2. Примени свойства степеней для объединения множителей с двух сторон уравнения.
3. Приравняй показатели и перейди к решению линейного или квадратного уравнения.
4. Выполни проверку корней с учётом области допустимых значений.

Решим несколько заданий из открытого банка ЕГЭ ФИПИ.

Задание 1

Найдите корень уравнения: $2^{4-2x} = 64$.

Решение

1. Представим 64 в виде степени 2:

2. Основания равны, приравняем показатели степеней:

3. Найдём значения $x$:

Ответ: $-1$.

Задание 2

Решите уравнение $8^x-9 \cdot 2^{x + 1}+2^{5-x} = 0$.

Решение

1. Приведём первое слагаемое к основанию 2:

2. Воспользуемся свойствами степени:

3. Можем домножить уравнение на $2^x$, так как $2^x > 0$:

4. Введём замену $t = 2^{2x},\, t > 0$. Уравнение примет вид:

5. Решим квадратное уравнение:

6. Выполним обратную замену:

7. Решим первое уравнение:

8. Решим второе уравнение:

Ответ: $0{,}5;\, 2$.

Чтобы не потерять баллы на экзамене, при решении заданий помни про опасные ловушки:

• Неверное использование свойств степеней. Запомни свойства степеней. Например, при возведении степени в степень показатели нужно строго перемножать: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.
• Игнорирование ограничений новой переменной. При замене $t = a^{f(x)}$ всегда дописывай неравенство $t > 0$ и учитывай это при решении.
• Остановка на полпути. После нахождения значений $t$ не забывай делать обратную замену и находить $x$.

Закрепи пройденный материал с помощью заданий из ЕГЭ.

Задание 1. Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x-8} = \dfrac{1}{125}$.

Задание 2. Решите уравнение: $25^x-6 \cdot 5^x + 5 = 0$.

Решение показательных уравнений требует знания базовых формул и аккуратности в вычислениях. Теперь ты умеешь:

• применять свойства степеней;
• сводить выражения к одинаковому основанию путём разложения чисел;
• использовать замену переменной с учётом её положительного знака;
• доводить расчёты до конца, не теряя ответ на этапе промежуточных преобразований.

Чтобы закрепить навык решения и подготовиться к экзаменационному формату, реши 10–15 типовых задач из банка заданий ЕГЭ.