Решение логарифмических неравенств

Логарифм — это показатель степени, то есть число, в которое возводится основание $a^x = t \Leftrightarrow \log_a t = x, a > 0, a \neq 1, t > 0$. При этом значение логарифма может быть любым числом.

Область допустимых значений (ОДЗ): $a > 0, a \neq 1, t > 0$ — запоминаем как мантру на максимальный балл за задание. Это ограничение для любого логарифма, которое выписывается для изначального неравенства до любых преобразований. Почему это важно, можно почитать в статье «„Опасные“ свойства логарифмов».

Важно помнить:

• Свойства логарифмов применяются и действуют на области определения (которую считаем у исходного неравенства).
• Момент, когда можно потенцировать («снимать» логарифмы) — $\log_a f(x) \vee \log_a g(x)$.
• Основание логарифма — очень коварный объект, способный тихонечко сидеть и незаметно обнулить балл за решение. Что мы запоминаем про него:
  • $a > 1$ ⇒ знак неравенства сохраняется;
  • $0 < a < 1$ ⇒ знак неравенства меняется на противоположный.

Нужно уверенно знать:

• равносильность переходов к системе и совокупности;
• метод интервалов и работу с числовой прямой.

При решении логарифмических неравенств мы стараемся свести их к простейшему виду. Если это удалось и слева и справа стоят одиночные логарифмы с одинаковым числовым основанием, мы можем их «отбросить».

Правило перехода зависит от основания:

1. Если $a > 1$, то $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x)$.
2. Если $0 < a < 1$, то $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) < g(x)$.

Важно: множество решений нужно обязательно пересечь с областью допустимых значений.

Метод применяется, когда один и тот же логарифм встречается в разных степенях.

Пример 1

Решите неравенство $\log_2^2(x^2) − 13\log_2 x + 9 \le 0$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения.

\begin{cases}
x^2 > 0 \\
x > 0
\end{cases}

Квадрат числа больше нуля для всех $x \neq 0$. Второе условие требует $x>0$. Пересекая их, получаем итоговое ограничение: $x>0$.

Шаг 2. Анализируем, можно ли выполнить замену или нужны преобразования.

$\log_2^2(x^2) − 13\log_2 x + 9 \le 0$

Нужно $\log_2^2(x^2)$ преобразовать в $\log_2 x$ : рекомендуем сначала сделать это самостоятельно, потому что большинство учеников попадается в ловушку квадратного логарифма $\log_2^2(x^2) \neq 2\log_2^2 x$!

Разбираемся:

$\log_2^2(x^2) = (\log_2(x^2))^2 = (2\log_2|x|)^2 = 4\log_2^2|x|$, так как $x > 0$, то $\log_2^2(x^2) = 4\log_2^2 x$.

$4\log_2^2 x − 13\log_2 x + 9 \le 0$

Шаг 3. Вводим замену.

Пусть $\log_2 x = t$.

Внимание: никаких ограничений на t не накладывается.

$4t^2 − 13t + 9 \le 0$

Шаг 4. Метод интервалов.

Классическое квадратное неравенство.

$4t^2 − 13t + 9 = 0 \Leftrightarrow t_1 = 1, t_2 = \frac{9}{4}$

$t \in [1; \frac{9}{4}]$

Шаг 5. Обратная замена.

$t \in [1; \frac{9}{4}] \Rightarrow \log_2 x \in [1; \frac{9}{4}]$

$\log_2 x \in [1; \frac{9}{4}] \Leftrightarrow 1 \le \log_2 x \le \frac{9}{4}$

Можно выполнить переход к системе или просто решать двойное неравенство — тут как больше нравится. Основная идея: нам нужно представить числа через логарифмы по основанию 2.

$1 \le \log_2 x \le \frac{9}{4}$

$\log_2 2 \le \log_2 x \le \log_2 2^{\frac{9}{4}}$

Так как основание $2 > 1$, то можно «снять» логарифмы и сохранить знаки такими же:

$2 \le x \le 2^{\frac{9}{4}}$

$2^{\frac{9}{4}} = 2^{2\frac{1}{4}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 4\sqrt[4]{2}$

$2 \le x \le 4\sqrt[4]{2}$

Шаг 6. Пересечение с областью определения.

$x>0$ — об этом нам сообщил шаг 1. Получается, что весь полученный в ответе отрезок нам подходит.

Ответ: $x \in [2; 4\sqrt[4]{2}]$.

Метод замены переменной обычно замечается быстро, но про тонкости работы и обоснования ответа забывать от радости нельзя.

Пример 2 (ЕГЭ 2025)

Решить неравенство $7\log_3(x^2 − 7x + 12) \le 8 + \log_3 \frac{(x−3)^7}{x−4}$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения (решение оставим тебе).

\begin{cases}
x^2 − 7x + 12 > 0 \\
x − 4 \neq 0 \\
\frac{(x−3)^7}{x−4} > 0
\end{cases}

$x \in (−\infty; 3) \cup (4; +\infty)$

Шаг 2. Подбираем метод решения, анализируем, нужны ли преобразования.

А здесь они очень нужны, поэтому преобразуем.

$\log_3(x^2 − 7x + 12)^7 \le 8 + \log_3(x − 3)^7 − \log_3(x − 4)$

Если есть квадратный трёхчлен — раскладывай его на множители, чаще всего этот приём упрощает решение:

$x^2 − 7x + 12 = (x − 4)(x − 3)$

$\log_3(x − 3)^7(x − 4)^7 \le 8 + \log_3(x − 3)^7 − \log_3(x − 4)$

Если вдруг удобная группировка не сразу видна, можно всё перенести в одну сторону и начать решать.

$\log_3(x − 3)^7 + \log_3(x − 4)^7 − 8 − \log_3(x − 3)^7 + \log_3(x − 4) \le 0$

Здесь уже видно, что нужно группировать.

$\log_3(x − 4)^8 − 8 \le 0$

Хочется применить свойство и вынести 8 перед знаком логарифма? Давай. Но помни, что при вынесении чётной степени появляется модуль.

$8 \log_3|x − 4| − 8 \le 0$

$\log_3|x − 4| − 1 \le 0$

$\log_3|x − 4| \le \log_3 3$

Равносильными преобразованиями мы привели неравенство к нужному нам формату для потенцирования, поэтому «снимаем» логарифмы. Так как 3 > 1, знак неравенства сохраняется.

$|x − 4| \le 3 \Leftrightarrow −3 \le x − 4 \le 3$

\begin{cases}
x \ge 1 \\
x \le 7
\end{cases}

Шаг 3. Пересечение с областью определения.

Получаем $x \in [1; 3) \cup (4; 7]$

Преобразования нужны почти везде, поэтому этот метод встречается часто — иногда в команде с другими способами решения, а иногда он может и солировать.

Если в основании логарифма стоит функция, на помощь приходит рационализация.

Можно ли применять метод для числового основания? Можно. Прелесть в том, что при таком равносильном переходе автоматически учитываются «капризы» основания: не нужно отслеживать знак неравенства — достаточно правильно подготовить выражение.

На области определения равносилен следующий переход с сохранением знака неравенства:

$\log_{g(x)} f(x) − \log_{g(x)} h(x) \vee 0 \Leftrightarrow (g(x) − 1)(f(x) − h(x)) \vee 0$

Если ты пытаешься выучить таблицу всех переходов, лучше немного подумать. Например, есть вот такой переход: $\log_{g(x)} f(x) \vee 0 \Leftrightarrow (g(x) − 1)(f(x) − 1) \vee 0$. Но ведь если нуль справа представить через логарифм, то всё сведётся к предыдущему переходу. Подумай об этом.

Пример 3 (досрочный ЕГЭ 2026)

Решить неравенство $\log_{x+1}(x^2 − 5x + 7) \le \log_{x+1} x$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения (решение — тебе на тренировку).

\begin{cases}
x + 1 > 0 \\
x + 1 \neq 1 \\
x^2 − 5x + 7 > 0 \\
x > 0
\end{cases}

Получаем $x > 0$.

Шаг 2. Анализируем, выбираем метод, преобразуем.

$\log_{x+1}(x^2 − 5x + 7) − \log_{x+1} x \le 0$

Рационализация прекрасно подходит!

$(x + 1 − 1)(x^2 − 5x + 7 − x) \le 0$

$x(x^2 − 6x + 7) \le 0$

Шаг 3. Метод интервалов.

Нули:

$x = 0$

$x^2 − 6x + 7 = 0$

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$

$x_2 = 3 − \sqrt{2}$

Шаг 4. Пересечение с областью определения.

$x > 0 \Rightarrow x \in [3 − \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$

Ответ: $x \in [3 − \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.

Логарифмические неравенства — одна из самых объёмных и разнообразных тем.

Ключевые моменты, на которые стоит обращать внимание:

• аккуратно выписывать и учитывать ОДЗ;
• следить за основанием логарифма;
• обосновывать каждый переход;
• не терять решения при преобразованиях.

Основные методы — замена переменной, равносильные преобразования и рационализация — покрывают большую часть задач. Важно не просто знать их, а понимать, когда и почему каждый из них применять.

Чем больше практики, тем быстрее ты начинаешь видеть нужный ход решения.