Решение логарифмических неравенств

Логарифм — это показатель степени, то есть число, в которое возводится основание $a^x=t\iff {\log }_{a}t=x,a>0,a\ne 1,t>0$. При этом значение логарифма может быть любым числом.

Область допустимых значений (ОДЗ): $a>0,a\ne 1,t>0$ — запоминаем как мантру на максимальный балл за задание. Это ограничение для любого логарифма, которое выписывается для изначального неравенства до любых преобразований. Почему это важно, можно почитать в статье «„Опасные“ свойства логарифмов».

Важно помнить:

• Свойства логарифмов применяются и действуют на области определения (которую считаем у исходного неравенства).
• Момент, когда можно потенцировать («снимать» логарифмы) — ${\log }_{a}f(x)\vee {\log }_{a}g(x)$.
• Основание логарифма — очень коварный объект, способный тихонечко сидеть и незаметно обнулить балл за решение. Что мы запоминаем про него:
  • $a>1$ ⇒ знак неравенства сохраняется;
  • $0<a<1$ ⇒ знак неравенства меняется на противоположный.

Нужно уверенно знать:

• равносильность переходов к системе и совокупности;
• метод интервалов и работу с числовой прямой.

При решении логарифмических неравенств мы стараемся свести их к простейшему виду. Если это удалось и слева и справа стоят одиночные логарифмы с одинаковым числовым основанием, мы можем их «отбросить».

Правило перехода зависит от основания:

1. Если $a>1$, то ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)\Rightarrow f(x)>g(x)$.
2. Если $0<a<1$, то ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)\Rightarrow f(x)<g(x)$.

Важно: множество решений нужно обязательно пересечь с областью допустимых значений.

Метод применяется, когда один и тот же логарифм встречается в разных степенях.

Пример 1

Решите неравенство ${\log }_2^2(x^2)-13{\log }_{2}x+9\le 0$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения.

\begin{cases}
x^2 > 0 \\
x > 0
\end{cases}

Квадрат числа больше нуля для всех $x\ne 0$. Второе условие требует $x>0$. Пересекая их, получаем итоговое ограничение: $x>0$.

Шаг 2. Анализируем, можно ли выполнить замену или нужны преобразования.

${\log }_2^2(x^2)-13{\log }_{2}x+9\le 0$

Нужно ${\log }_2^2(x^2)$ преобразовать в ${\log }_{2}x$ : рекомендуем сначала сделать это самостоятельно, потому что большинство учеников попадается в ловушку квадратного логарифма ${\log }_2^2(x^2)\ne 2{\log }_2^{2}x$!

Разбираемся:

${\log }_2^2(x^2)=({\log }_2(x^2){)}^2=(2{\log }_2|x|{)}^2=4{\log }_2^2|x|$, так как $x>0$, то ${\log }_2^2(x^2)=4{\log }_2^{2}x$.

$4{\log }_2^{2}x-13{\log }_{2}x+9\le 0$

Шаг 3. Вводим замену.

Пусть ${\log }_{2}x=t$.

Внимание: никаких ограничений на t не накладывается.

$4t^2-13t+9\le 0$

Шаг 4. Метод интервалов.

Классическое квадратное неравенство.

$4t^2-13t+9=0\iff t_1=1,t_2=\frac{9}{4}$

$t\in [1;\frac{9}{4}]$

Шаг 5. Обратная замена.

$t\in [1;\frac{9}{4}]\Rightarrow {\log }_{2}x\in [1;\frac{9}{4}]$

${\log }_{2}x\in [1;\frac{9}{4}]\iff 1\le {\log }_{2}x\le \frac{9}{4}$

Можно выполнить переход к системе или просто решать двойное неравенство — тут как больше нравится. Основная идея: нам нужно представить числа через логарифмы по основанию 2.

$1\le {\log }_{2}x\le \frac{9}{4}$

${\log }_{2}2\le {\log }_{2}x\le {\log }_2{2}^{\frac{9}{4}}$

Так как основание $2>1$, то можно «снять» логарифмы и сохранить знаки такими же:

$2\le x\le 2^{\frac{9}{4}}$

$2^{\frac{9}{4}}=2^{2\frac{1}{4}}=2^2·2^{\frac{1}{4}}=4\sqrt[4]{2}$

$2\le x\le 4\sqrt[4]{2}$

Шаг 6. Пересечение с областью определения.

$x>0$ — об этом нам сообщил шаг 1. Получается, что весь полученный в ответе отрезок нам подходит.

Ответ: $x\in [2;4\sqrt[4]{2}]$.

Метод замены переменной обычно замечается быстро, но про тонкости работы и обоснования ответа забывать от радости нельзя.

Пример 2 (ЕГЭ 2025)

Решить неравенство $7{\log }_3(x^2-7x+12)\le 8+{\log }_3\frac{(x-3{)}^7}{x-4}$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения (решение оставим тебе).

\begin{cases}
x^2 − 7x + 12 > 0 \\
x − 4 \neq 0 \\
\frac{(x−3)^7}{x−4} > 0
\end{cases}

$x\in (-\infty ;3)\cup (4;+\infty )$

Шаг 2. Подбираем метод решения, анализируем, нужны ли преобразования.

А здесь они очень нужны, поэтому преобразуем.

${\log }_3(x^2-7x+12{)}^7\le 8+{\log }_3(x-3{)}^7-{\log }_3(x-4)$

Если есть квадратный трёхчлен — раскладывай его на множители, чаще всего этот приём упрощает решение:

$x^2-7x+12=(x-4)(x-3)$

${\log }_3(x-3{)}^7(x-4{)}^7\le 8+{\log }_3(x-3{)}^7-{\log }_3(x-4)$

Если вдруг удобная группировка не сразу видна, можно всё перенести в одну сторону и начать решать.

${\log }_3(x-3{)}^7+{\log }_3(x-4{)}^7-8-{\log }_3(x-3{)}^7+{\log }_3(x-4)\le 0$

Здесь уже видно, что нужно группировать.

${\log }_3(x-4{)}^8-8\le 0$

Хочется применить свойство и вынести 8 перед знаком логарифма? Давай. Но помни, что при вынесении чётной степени появляется модуль.

$8{\log }_3|x-4|-8\le 0$

${\log }_3|x-4|-1\le 0$

${\log }_3|x-4|\le {\log }_{3}3$

Равносильными преобразованиями мы привели неравенство к нужному нам формату для потенцирования, поэтому «снимаем» логарифмы. Так как 3 > 1, знак неравенства сохраняется.

$|x-4|\le 3\iff -3\le x-4\le 3$

\begin{cases}
x \ge 1 \\
x \le 7
\end{cases}

Шаг 3. Пересечение с областью определения.

Получаем $x\in [1;3)\cup (4;7]$

Преобразования нужны почти везде, поэтому этот метод встречается часто — иногда в команде с другими способами решения, а иногда он может и солировать.

Если в основании логарифма стоит функция, на помощь приходит рационализация.

Можно ли применять метод для числового основания? Можно. Прелесть в том, что при таком равносильном переходе автоматически учитываются «капризы» основания: не нужно отслеживать знак неравенства — достаточно правильно подготовить выражение.

На области определения равносилен следующий переход с сохранением знака неравенства:

${\log }_{g(x)}f(x)-{\log }_{g(x)}h(x)\vee 0\iff (g(x)-1)(f(x)-h(x))\vee 0$

Если ты пытаешься выучить таблицу всех переходов, лучше немного подумать. Например, есть вот такой переход: ${\log }_{g(x)}f(x)\vee 0\iff (g(x)-1)(f(x)-1)\vee 0$. Но ведь если нуль справа представить через логарифм, то всё сведётся к предыдущему переходу. Подумай об этом.

Пример 3 (досрочный ЕГЭ 2026)

Решить неравенство ${\log }_{x+1}(x^2-5x+7)\le {\log }_{x+1}x$.

Решение

Шаг 1. Выпишем все ограничения (решение — тебе на тренировку).

\begin{cases}
x + 1 > 0 \\
x + 1 \neq 1 \\
x^2 − 5x + 7 > 0 \\
x > 0
\end{cases}

Получаем $x>0$.

Шаг 2. Анализируем, выбираем метод, преобразуем.

${\log }_{x+1}(x^2-5x+7)-{\log }_{x+1}x\le 0$

Рационализация прекрасно подходит!

$(x+1-1)(x^2-5x+7-x)\le 0$

$x(x^2-6x+7)\le 0$

Шаг 3. Метод интервалов.

Нули:

$x=0$

$x^2-6x+7=0$

$x_1=3+\sqrt{2}$

$x_2=3-\sqrt{2}$

Шаг 4. Пересечение с областью определения.

$x>0\Rightarrow x\in [3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}]$

Ответ: $x\in [3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}]$.

Логарифмические неравенства — одна из самых объёмных и разнообразных тем.

Ключевые моменты, на которые стоит обращать внимание:

• аккуратно выписывать и учитывать ОДЗ;
• следить за основанием логарифма;
• обосновывать каждый переход;
• не терять решения при преобразованиях.

Основные методы — замена переменной, равносильные преобразования и рационализация — покрывают большую часть задач. Важно не просто знать их, а понимать, когда и почему каждый из них применять.

Чем больше практики, тем быстрее ты начинаешь видеть нужный ход решения.