Задание 19 ОГЭ по математике: анализ геометрических высказываний

В задании 19 дают три утверждения, из которых нужно выбрать математически верные или неверные. Главный инструмент при решении — черновик. Если геометрическое правило не работает хотя бы на одном рисунке, оно считается ложным.

Если в задании есть утверждение со словом «любой», к нему нужно отнестись с подозрением и попытаться нарисовать исключение. Допустим, попалась фраза «любой параллелограмм является ромбом». Попробуй начертить обычный вытянутый прямоугольник. Он является параллелограммом, но его смежные стороны не равны, значит, он не ромб. Утверждение ложно.

Если же в тексте есть слово «существует», достаточно вспомнить всего одну подходящую фигуру. Фраза «существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны» является истинной. Таким прямоугольником будет обычный квадрат.

Чтобы не запутаться во время тестирования, используй чёткий порядок действий. Выполняй эти шаги при разборе каждого варианта:

1. Прочитай условие. Важно сразу понять, что именно просят найти: верное утверждение или ошибочное.
2. Сделай набросок от руки для первого утверждения. Рисуй произвольную фигуру, старайся не делать её идеально правильной.
3. Попытайся сломать правило. Попробуй исказить рисунок так, чтобы начальное условие сохранилось, а итоговый вывод перестал работать. Этот метод называется поиском контрпримера.
4. Проверь формулировку, опираясь на теорему. Если сломать рисунок не получается, возможно, перед тобой дословно переписанное правило из учебника.

Рассмотрим, как применять этот алгоритм на практике, используя реальные формулировки из ОГЭ.

Задание 1

Какие из следующих утверждений верны?
1. Диагонали ромба равны.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Разбор утверждение 1

Оно гласит, что диагонали ромба равны. Начертим классический ромб. Визуально понятно, что одна диагональ короткая, а вторая длинная. Свойство ромба состоит в том, что его диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Равными они будут только в частном случае, если ромб станет квадратом. Слова «существует» в предложении нет, подразумевается общее правило. Значит, вариант ложный.

Разбор утверждение 2

Утверждение 2 касается площадей. По теореме об отношении площадей подобных фигур это отношение равно квадрату коэффициента подобия $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$, а не просто коэффициенту. Слово «квадрат» пропущено, следовательно, фраза неверная.

Разбор утверждение 3

Утверждение 3 предлагает вспомнить соотношение углов и сторон. Это прямое определение важнейшей теоремы геометрии: чем шире раскрыт угол, тем длиннее сторона напротив него. Высказывание истинно.

Ответ: 3.

Задание 2

Какие из следующих утверждений верны?
1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
3. Любые два равносторонних треугольника подобны.

Разбор утверждение 1

Смотрим на первый пункт. Описан признак равенства фигур. Но для утверждения про равенство двух сторон не хватает важнейшего элемента — угла между ними. Без информации об угле треугольники могут оказаться совершенно разными. Утверждение ложно.

Разбор утверждение 2

Второй пункт говорит про сумму углов. Базовая теорема гласит, что у совершенно любого плоского треугольника сумма углов составляет 180 градусов. Равнобедренный вид не является исключение. Фраза верна.

Разбор утверждение 3

Третий пункт проверяет знание признаков подобия. В равностороннем треугольнике все углы всегда равны 60 градусам. Если взять два таких треугольника разного размера, их углы всё равно будут совпадать. Значит, они подобны по первому признаку подобия. Высказывание истинно.

Ответ: 23 (в бланк цифры переносятся без пробелов и запятых).

В заданиях ОГЭ часто проверяют сдающих на внимательность. Рассмотрим самые частые моменты, в которых теряются баллы.

Невнимательное чтение вопроса

Ловушка кроется в единственном и множественном числе. Если в задании спрашивают «какое из следующих утверждений верно?», правильный ответ будет только один. Если вопрос звучит как «какие из следующих…», правильных цифр будет две, реже — три.

Частая ошибка — пробежаться глазами по тексту и искать только правильные фразы, когда в условии просили найти неверные. Обводи ручкой слова «какое», «какие», «верно», «неверно» прямо в бланке КИМа.

Подмена признака и свойства

Иногда свойства конкретной фигуры пытаются выдать за свойства более общей категории. Нельзя соглашаться с фразой «диагонали любого прямоугольника перпендикулярны», вспоминая только квадрат. Правильный подход — начертить самый вытянутый прямоугольник и визуально убедиться, что угол пересечения его диагоналей далёк от прямого.

Попробуй решить подобные задачи самостоятельно. Ответы и подробный разбор спрятаны под кнопками.

Вопрос 1. Какое из утверждений верно?

1. Смежные углы всегда равны.
2. Вертикальные углы равны.
3. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

Вопрос 2. Какие из утверждений неверны?

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
3. Радиус окружности в два раза больше её диаметра.

После изучения этого материала можно избежать обидных ошибок в геометрическом блоке экзамена. Теперь ты умеешь анализировать высказывания в задании 19 ОГЭ: находить контрпримеры с помощью черновика, замечать слова-ловушки и проверять теоремы на частных случаях. Чтобы закрепить навык, возьми за привычку не пытаться решать это задание устно, а перепроверять каждое предложение на нарисованной фигуре.