Логарифмические уравнения в ЕГЭ: свойства, алгоритм и примеры

То есть если $\log_b{a}=c$, то $b^c=a$.

Свойства логарифмов

Для решения уравнений нужно знать основные свойства:

• Сложение и вычитание. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: $\log_a{bc} = \log_a b + \log_a c$. Логарифм частного равен разности: $\log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a(b)-\log_a(c)$.
• Степени аргумента и основания. Если аргумент содержит степень, её показатель выносится как множитель перед знаком логарифма: $\log_a{b^p} = p \cdot \log_a b$. Если степень находится в основании, показатель выносится как обратная величина: $\log_{a^q} b = \frac{1}{q} \cdot \log_a b$.
• Основное логарифмическое тождество. При возведении числа $a$ в степень логарифма с основанием $a$ получится аргумент логарифма: $a^{\log_a b} = b$.

Решение любого уравнения нужно начинать с ограничений. Чтобы выражение $\log_b a$ имело смысл, должны одновременно выполняться три условия:

1. Аргумент логарифма строго положительный: $a > 0$.
2. Основание логарифма положительное: $b > 0$.
3. Основание логарифма не равно единице: $b \neq 1$.

Если переменная находится в основании и в аргументе одновременно, все три условия объединяются в систему неравенств.

При решении заданий придерживайся этого плана действий:

1. Запиши ограничения: систему неравенств для аргумента и основания.
2. Используй свойства логарифмов, чтобы привести обе части уравнения к одному основанию или свести выражение к виду, когда можно взять замену.
3. Избавься от знака логарифма путём приравнивания аргументов или введи новую переменную.
4. Найди корни полученного уравнения.
5. Выполни проверку: подставь корни в записанные в начале ограничения или в изначальное условие.

Разберём примеры логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

К этой группе относятся выражения $\log_a x = b$. Для поиска неизвестного достаточно использовать только определение логарифма.

Найдите корень уравнения $\log_3{(4-x)} = 4$.

Решение

1. Поставим ограничение на аргумент логарифма:

2. По определению логарифма преобразуем уравнение:

3. Решим линейное уравнение:

Это значение подходит под ограничение $x < 4$ и является корнем уравнения.

Ответ: −77.

Уравнения с одинаковыми основаниями

Если слева и справа стоят логарифмы с одинаковыми основаниями $\log_a{f(x)} = \log_a{g(x)}$, нужно приравнять их аргументы: $f(x) = g(x)$.

Решите уравнение $\log_5{(x + 2)} = \log_5{(3x-6)}$.

Решение

1. Поставим ограничения на аргументы логарифмов:

2. Основания логарифмов равны, приравняем их аргументы:

3. Найдём значение $x$:

4. Так как $4 > 2$, найденный корень подходит под ограничение.

Ответ: 4.

Уравнения с разными основаниями

В таких уравнениях основания логарифмов разные, но являются степенями одного и того же числа. Для их решения нужно привести логарифмы к общему основанию с помощью изученных свойств.

Решите уравнение $\log_4 x + \log_2 x = 3$.

Решение

1. Запишем ограничение: $x > 0$.

2. Число 4 представим в виде $2^2$ и воспользуемся свойством логарифмов:

3. Умножим уравнение на 2 и приведём подобные слагаемые:

4. Найдём значение $x$:

5. Это значение удовлетворяет ограничениям $x > 0$ и является корнем уравнения.

Ответ: 4.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Такие задания сводят к замене переменной, чтобы получилось квадратное уравнение.

Решите уравнение $3\log_8^2(\sin x)-5\log_8(\sin x)-2 = 0$.

Решение

1. Поставим ограничение на аргумент логарифма: $\sin x > 0$.

2. Возьмём замену $t = \log_8(\sin x)$:

3. Найдём $t$ через дискриминант:

4. Сделаем обратную замену:

5. Решим первое уравнение:

6. Решим второе уравнение:

Уравнение не имеет корней, так как синус не может принимать значения больше 1.

7. Так как $\frac{1}{2} > 0$, найденные корни удовлетворяют ограничениям.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6}+2\pi n;\, x = \dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n \in \mathbb{Z}$.

Решение методом вынесения множителя

Подход применяется, если в уравнении есть несколько слагаемых, которые содержат общую функцию.

Решите уравнение $x \cdot \log_3 x-9 \cdot \log_3 x = 0$.

Решение

1. Запишем ограничение: $x > 0$.

2. Вынесем общий множитель $\log_3 x$ за скобки:

3. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый из них к нулю:

4. Найдём значения $x$:

5. Оба числа положительны, что удовлетворяет ограничениям.

Ответ: $x = 1;\,x = 9$.

Логарифмирование обеих частей

Этот приём используется, когда переменная находится одновременно в основании и в показателе степени.

Решите уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.

Решение

1. Запишем ограничение: $x > 0$.

2. Обе части выражения положительны, можем прологарифмировать их по основанию 2:

3. С помощью свойств логарифмов упростим выражение:

4. Извлечём квадратный корень:

Найдём значения $x$:

5. Оба числа больше нуля и подходят под ограничения.

Ответ: $0{,}25;\,4$.

• Потеря модуля при чётной степени. Когда аргумент логарифма находится в чётной степени, при вынесении этой степени нужно поставить модуль на аргумент. Например, из $\log_2(x^2)$ получится $2 \cdot \log_2|x|$.
• Отсутствие ограничений на основание. Если в уравнении есть логарифм, основание которого зависит от $x$, на него обязательно нужно поставить ограничение. Например, для $\log_x 5 = 1$ поставим ограничения $x > 0$ и $x \neq 1$.
• Решение без учёта ограничений. Некоторые преобразования могут привести к появлению посторонних корней. Нужно обязательно ставить ограничения и проверять корни на соответствие этим условиям.

Реши задания самостоятельно, а затем сравни свои вычисления с правильными.

Задание 1

Найдите корень уравнения $\log_7(2x-5) = 1$.

Задание 2

Решите уравнение $\log_{2}^2 x-3\log_2 x + 2 = 0$.

Теперь ты легко сможешь:

• применять свойства логарифмов;
• решать уравнения формата профильного ЕГЭ из первой и второй части;
• верно оформлять решение, чтобы оно не привело к потере или появлению посторонних корней.

Чтобы закрепить навык, рекомендуем решить 10–15 типовых задач первой части и тренировочные уравнения из задания 13 банка ЕГЭ.