Финансовые задачи на оптимизацию из задания 16 ЕГЭ по профильной математике часто вызывают трудности. Формулировки про заводы, рабочих и производство кажутся объёмными, из-за чего легко запутаться и потерять баллы. Разберём, как сводить условия к понятным алгебраическим функциям и уверенно находить максимумы и минимумы. После прочтения статьи ты сможешь решать такие примеры по чёткому алгоритму.
Целевая функция
В любом условии задачи всегда есть величина, которую нужно сделать как можно больше (прибыль, количество деталей) или как можно меньше (расходы, время работы). Математическое выражение, которое описывает эту величину, называется целевой функцией. Решение сводится к исследованию именно этой функции.
Условие ограничения ресурсов
Всегда существует лимит бюджета, времени или количества людей. Это ограничение позволяет связать между собой разные переменные, выразить одну неизвестную через другую и получить функцию, зависящую только от одного аргумента.
Парабола или производная
Если после подстановок получается целевая функция в виде квадратичной параболы, находить производную необязательно. Достаточно использовать формулу координаты вершины параболы: $x = \dfrac{-b}{2a}$. Главное требование при таком методе — обязательно прописать словами, куда направлены ветви параболы. Если ветви смотрят вниз, вершина будет точкой максимума.
Если функция содержит корни или дроби, понадобится искать производную целевой функции. Нужно вычислить её, приравнять к нулю и найти критические точки, доказав с помощью знаков интервалов, где находится нужный экстремум.
Целые числа
Иногда найденная абсцисса экстремума получается дробной (например, 40,5). Количество построенных домов или нанятых людей может быть только целым числом. Правила математического округления здесь использовать нельзя. Нужно подставить в изначальную функцию два ближайших целых числа (40 и 41), сравнить результаты и выбрать тот, который даёт наибольшую или наименьшую выгоду по смыслу.
Универсальный алгоритм решения
- Обозначь неизвестные переменные (обычно это количество рабочих, часов или деталей на разных объектах).
- Составь уравнение ограничения на основе общего бюджета или времени.
- Напиши алгебраическое выражение для целевой функции.
- Вырази одну переменную через другую из уравнения ограничения и подставь в целевую функцию.
- Найди точку максимума или минимума через производную или вершину параболы.
- Убедись, что найденное значение удовлетворяет смыслу переменных (является целым числом).
- Подставь найденный аргумент обратно, чтобы найти итоговый ответ на вопрос задачи.
Разбор заданий из профильного ЕГЭ
Закрепим алгоритм на примерах из реальных вариантов экзамена.
Заводы и рабочие часы
Дмитрий владеет двумя промышленными заводами. На первом заводе установлено современное оборудование. Если рабочие второго завода трудятся суммарно в квадрате часов за неделю, то выпускают 3 единицы продукции, а на первом заводе за такое же время в квадрате выпускают 6 единиц. Ставка заработной платы составляет 600 рублей за один час работы на любом из объектов. Хозяин готов платить рабочим 1 875 000 рублей в неделю. На какое максимальное число единиц продукции он может рассчитывать?
Шаг 1. Пусть на первом заводе рабочие суммарно трудятся $x^2$ часов, а на втором заводе — $y^2$ часов.
Шаг 2. Количество продукции с первого завода составит $6x$ единиц, со второго — $3y$ единиц. Общее количество продукции равно их сумме: $f = 6x + 3y$. Эту функцию нужно максимизировать.
Шаг 3. За каждый час работы платят 600 рублей. Общая сумма выплат составит 600 умножить на сумму часов:
$600(x^2 + y^2) = 1\,875\,000.$
Разделим обе части на 600: $x^2 + y^2 = 3125$.
Шаг 4. Выразим квадрат второй переменной: $y^2 = 3125-x^2$. Поскольку количество часов не может быть отрицательным, берём арифметический корень: $y = \sqrt{3125-x^2}$.
Подставляем в целевую функцию:
$f(x) = 6x + 3\sqrt{3125-x^2}$.
Шаг 5. Найдём производную функции и приравняем её к нулю:
$f'(x) = 6 + 3 \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{3125-x^2}},\\ f'(x) = 6-\frac{3x}{\sqrt{3125-x^2}} = 0.$
Шаг 6. Переносим дробь в правую часть и сокращаем обе части на три:
$2 = \dfrac{x}{\sqrt{3125-x^2}}$.
Шаг 7. Возводим обе части в квадрат:
$4 = \frac{x^2}{3125-x^2}.$
Умножаем крест-накрест:
$4(3125-x^2) = x^2,\\ 12500-4x^2 = x^2,\\ 5x^2 = 12500,\\ x^2 = 2500.$
Получаем положительный корень $x = 50$. Доказывать максимум на числовой прямой не обязательно, так как это единственная критическая точка на промежутке, имеющая смысл.
Шаг 8. При подстановке в уравнение ограничения получаем:
$y^2 = 3125-2500 = 625.$
Следовательно, $y = 25$.
Подставляем переменные в формулу целевой функции:
$f = 6 \cdot 50 + 3 \cdot 25 = 300 + 75 = 375$.
Ответ: 375 единиц продукции.
Распределение рабочих бригад
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия требуется $x^2$ человеко-часов, а для добычи $y$ кг никеля требуется $y^2$ человеко-часов. Завод забирает металлы и производит сплав, где на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. Какое наибольшее количество сплава ежедневно сможет произвести завод?
Шаг 1. Общий фонд времени составляет $160 \cdot 5 = 800$ человеко-часов. За каждый час добывается 0,1 кг любого металла. Суммарно первая область добудет ровно 80 кг металла (независимо от того, будет ли это алюминий, никель или их комбинация).
Пусть первая область добывает $a$ кг алюминия, тогда никеля будет $(80-a)$ кг.
Шаг 2. Фонд времени здесь тоже равен 800 часам. На добычу $x$ килограммов алюминия тратится $x^2$ часов, а на $y$ килограммов никеля — $y^2$ часов.
Записываем уравнение ограничения: $x^2 + y^2 = 800$.
Шаг 3. Всего алюминия с двух областей собрано: $a + x$.
Всего никеля собрано: $80-a + y$.
Для нужного сплава массы металлов должны быть равны:
$a + x = 80-a + y$.
Выразим величину $a$:
$2a = 80 + y-x,\,a = 40 + 0{,}5y-0{,}5x.$
Шаг 4. Завод берёт равные массы металлов, значит общая масса сплава равна удвоенной массе любого из компонентов:
Масса $= 2(a + x) = 2(40 + 0{,}5y-0{,}5x + x) = 80 + x + y$.
Нужно максимизировать выражение $x + y$ при ограничении $x^2 + y^2 = 800$.
Шаг 5. Выразим $y$ через корень: $y = \sqrt{800-x^2}$.
Функция примет вид $f(x) = 80 + x + \sqrt{800-x^2}$.
Для поиска максимума возьмём производную от слагаемых с переменной и приравняем к нулю:
$f'(x) = 1-\frac{x}{\sqrt{800-x^2}} = 0,\\ 1 = \frac{x}{\sqrt{800-x^2}}.$
Возводим уравнение в квадрат:
$1 = \frac{x^2}{800-x^2},\\ 800-x^2 = x^2,\\ 2x^2 = 800,\\ x^2 = 400,\\ x = 20.$
Отрицательный корень в ответ не берём, так как масса не может быть меньше нуля.
Шаг 6. Так как $x = 20$, квадрат второй переменной равен $800-400 = 400$. Следовательно, $y = 20$.
Подставим найденные значения в итоговую формулу массы сплава:
Масса $= 80 + 20 + 20 = 120$.
Ответ: 120 кг.
Типичные ошибки на экзамене
Ежегодно эксперты снимают баллы за одни и те же недочёты при оформлении задач с развёрнутым ответом.
Чтобы не ошибаться, соблюдай правила:
- Обосновывай экстремум. Недостаточно решить задачу с параболой, найти вершину и записать ответ. Всегда сопровождай вычисления словами: «Графиком функции является парабола, её ветви направлены вниз, следовательно, наибольшее значение достигается в вершине».
- Проверяй целые числа. Если при расчётах идеального количества людей получился результат 33,7, нельзя округлять до 34 по правилам математики. Нужно подставить оба варианта (33 и 34) в целевую функцию прибыли и выбрать наибольший результат.
- Следи за областью допустимых значений. Фиксируй область физического смысла ограничений. Обязательно прописывай, что количество деталей или людей всегда больше или равно нулю.
- Перечитывай условие в конце работы. Найденный $x$ часто является промежуточным этапом. В задании могут спрашивать итоговую сумму денег, а не количество часов. Всегда доводи вычисления до финального ответа.
Задания для самопроверки
Попробуй ответить на вопросы, чтобы закрепить понимание темы.
Вопрос 1. Есть функция прибыли $P(x)=-5x^2 + 400x$. Каким способом быстрее всего найти её максимум?
Вопрос 2. При поиске оптимального количества квартир для застройки найдена точка экстремума, равная 15,2. Какими должны быть следующие шаги для записи финального ответа?
- Удобнее применить формулу координаты вершины параболы: $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-400}{2 \cdot (-5)} = 40$. В решении нужно указать, что ветви направлены вниз.
- Подставить значения $x = 15$ и $x = 16$ в функцию общей прибыли застройщика. То значение, которое даст максимальную прибыль, пойдёт в ответ.
Задание
Дана квадратичная функция затрат предприятия $F(x) = 2x^2-120x + 5000$, где $x$ означает количество выпускаемых кузовов автомобиля. Вычисли, при каком количестве объём затрат предприятия будет минимальным, и найди эту сумму.
Шаг 1. График функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение достигается в вершине.
Находим абсциссу:
$x = \frac{-(-120)}{2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30.$
Шаг 2. Подставляем найденное количество в функцию затрат:
$F(30) = 2 \cdot 900-120 \cdot 30 + 5000 = 1800-3600 + 5000 = 3200$ рублей.
Ответ: 3200 рублей.
Заключение
После изучения материала можно уверенно приступать к решению финансовой задачи на оптимизацию на экзамене. Теперь ты умеешь:
- составлять уравнения ограничений и выводить целевую функцию с одной переменной;
- выбирать подходящий метод поиска наибольшего или наименьшего значения через свойства параболы или производную;
- проверять результат на соответствие здравому смыслу и при необходимости подставлять ближайшие целые значения.
Чтобы закрепить тему, советуем решить 3–5 аналогичных заданий из нашего банка ЕГЭ по профильной математике.
