Окружности в четырёхугольниках: вся теория для ЕГЭ № 17

Задачи на вписанные и описанные окружности — одни из самых популярных в экзаменационном варианте под номером 17. Успех зависит не от заучивания формул, а от умения замечать неочевидные связи: равные отрезки, скрытые углы и особые свойства трапеций. В этой статье собраны ключевые теоремы и рабочие приёмы, которые помогают решать такие задачи на экзамене.

Признак вписанного четырёхугольника

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов даёт 180 градусов. И наоборот: когда ∠A + ∠C = 180°, окружность существует.

Что даёт вписанность:

• Углы, которые опираются на одну и ту же дугу, обязательно равны.
• Трапеция, вписанная в окружность, всегда равнобедренная.
• Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в прямоугольник (и то не во всякий — проверяй углы).

Признак описанного четырёхугольника

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон совпадают: AB + CD = BC + AD.
Это работает для любого выпуклого четырёхугольника.

Касательные из одной точки

Если из точки А провести две касательные к окружности, то отрезки от А до точек касания будут одинаковой длины. Этим свойством часто пользуются, чтобы связать стороны.

Особенности трапеций

• Около окружности можно описать только равнобедренную трапецию.
• Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований обязательно равна сумме боковых сторон.

Две окружности в трапеции

Центры окружностей, касающихся одних и тех же двух параллельных прямых, лежат на прямой, параллельной этим прямым. Это простое наблюдение часто помогает в сложных задачах.

Задание 1. Три равные стороны вписанного четырёхугольника

Дано

Четырёхугольник ABCD расположен на окружности радиусом 8. При этом AB = BC = CD = 12.

Требуется:

а) обосновать, что BC и AD параллельны;
б) вычислить длину AD.

Решение

Пункт «а».

Поскольку три стороны равны, равны и стягиваемые ими дуги: AB, BC, CD. Оставшаяся дуга AD получается как дополнение до целой окружности. Рассмотрим два угла: ∠BCA опирается на дугу AB, а ∠CAD — на дугу CD. Эти дуги равны, значит, равны и сами углы. При пересечении двух прямых BC и AD секущей AC получаем равные накрест лежащие углы — это и доказывает параллельность.

Пункт «б».

В треугольнике ACD угол при вершине D ровно вдвое больше угла при вершине A (из-за соотношения дуг). Запишем теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin(2\alpha)} = \frac{12}{\sin \alpha}$.
Отсюда $AC = 24 \cos \alpha$.

Теперь применим теорему косинусов к тому же треугольнику:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 − 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos \alpha$.

Подставляем $CD = 12$, $AC = 24 \cos \alpha$. После упрощений приходим к уравнению:

$AD^2 − 21 \cdot AD + 108 = 0$.

Корни: 12 и 9. Если AD = 12, фигура становится квадратом, но тогда радиус был бы не 8, а другим. Значит, остаётся AD = 9.

Ответ: 9.

Задание 2. Параллелограмм и окружность через три вершины

Дано

Окружность проведена через точки A, B, D параллелограмма ABCD. Она второй раз пересекает сторону BC в точке E (первый раз в B), а сторону CD — в точке K (первый раз в D).

Нужно:

а) доказать равенство AE = AK;
б) найти AD, если CE = 10, DK = 9, а cos∠BAD = 0,2.

Решение

Пункт «а».

В параллелограмме углы ∠ABE и ∠ADK равны (соответственные при параллельных прямых). Оба эти угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на дуги AE и AK соответственно. Если вписанные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, одинаковы. А равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, AE = AK, что и требовалось доказать.

Пункт «б».

Воспользуемся теоремой о секущих, проведённых из точки C:

$CB \cdot CE = CD \cdot CK$.

Заметим, что четырёхугольник ABED — равнобедренная трапеция (так как AB || ED и окружность описана). Значит, AB = ED = CD.

Рассмотрим равнобедренный треугольник DEC. Проведём в нём высоту DH. Тогда HC = 5 (половина EC). Угол BCD равен углу BAD (свойство параллелограмма), поэтому $\cos\angle BCD = 0,2$.

В прямоугольном треугольнике DHC:

$\cos\angle BCD = \frac{HC}{CD} \rightarrow 0,2 = \frac{5}{CD} \rightarrow CD = 25$.
Отсюда $CK = CD − DK = 25 − 9 = 16$.

Подставляем всё в равенство секущих:

$10 \cdot CB = 25 \cdot 16 \rightarrow CB = 40$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = CB = 40$.

Ответ: 40.

Задание 3. Трапеция и две вписанные окружности

Дано

Первая окружность (центр O1) касается оснований BC и AD, а также боковой стороны AB трапеции ABCD. Вторая окружность (центр O2) касается оснований BC, AD и другой боковой стороны CD. Известны длины: AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.
Требуется: а) доказать, что отрезок O1O2 параллелен основаниям; б) найти длину O1O2.

Решение

Пункт «а».

Обе окружности касаются двух параллельных прямых AD и BC. Значит, расстояния от их центров до каждой из этих прямых равны радиусам. Поскольку радиусы одинаковы (обе окружности вписаны в один и тот же угол между параллельными прямыми), то центры $O_1$ и $O_2$ находятся на одинаковом расстоянии от AD и от BC. Опустим перпендикуляры из $O_1$ и $O_2$ на AD. Получим четырёхугольник, у которого две стороны равны и параллельны — это параллелограмм. Следовательно, $O_1O_2$ параллельна AD, а значит, и BC.

Пункт «б».

Рассмотрим треугольник $AO_1B$. В нём $O_1$ — точка пересечения биссектрис углов при A и B (свойство вписанной окружности). Сумма половин этих углов равна $90^\circ$, поэтому угол $AO_1B$ прямой. Значит, отрезок, соединяющий середину гипотенузы AB с вершиной прямого угла, равен половине AB. Аналогично, в треугольнике $CO_2D$ угол $CO_2D$ тоже прямой, и отрезок от середины CD до $O_2$ равен половине CD.
Точки K (середина AB) и L (середина CD) лежат на средней линии трапеции.

Расстояние между центрами $O_1O_2$ можно найти как разность:

$O_1O_2 = KL − KO_1 − LO_2$.

Подставляем числа:

$KL = \frac{BC + AD}{2} = \frac{9 + 39}{2} = 24$,
$KO_1 = \frac{AB}{2} = 5$,
$LO_2 = \frac{CD}{2} = 15$.

Получаем: $O_1O_2 = 24 − 5 − 15 = 4$.

Ответ: 4.

Ошибка 1. Путаница между условиями вписанного и описанного четырёхугольника

Причина: не запомнили, что для вписанного важны углы, а для описанного — стороны.

Совет: закрепи фразу: «Вписанный — углы в сумме 180, описанный — суммы сторон равны».

Ошибка 2. Игнорирование отрезков касательных

Причина: не замечают, что из одной вершины выходят два касательных отрезка.

Совет: всегда помечай на чертеже равные отрезки одинаковыми значками.

Ошибка 3. Поспешное применение теоремы о вписанных углах без проверки принадлежности точек окружности

Причина: автоматизм.

Совет: прежде чем ссылаться на вписанные углы, убедись, что все четыре точки действительно лежат на одной окружности.

Ошибка 4. Непонимание параллельности центров в задачах с двумя окружностями

Причина: забывают провести перпендикуляры к основаниям.

Совет: если окружности касаются двух параллельных прямых, сразу проводи вертикали — центры окажутся на одной горизонтали.

После разбора этих примеров ты сможешь:

• доказывать параллельность сторон через равенство дуг и накрест лежащие углы;
• находить неизвестные элементы вписанных четырёхугольников, комбинируя синусы и косинусы;
• грамотно применять теорему о секущих и свойство отрезков касательных;
• решать сложные конфигурации с двумя окружностями в трапеции, опираясь на среднюю линию.

Эти навыки — твой ключ к успешному решению номера 17 на ЕГЭ. Бери лист, рисуй чертёж, шаг за шагом применяй свойства — и всё получится.