Введение

Задачи на вписанные и описанные окружности — одни из самых популярных в экзаменационном варианте под номером 17. Успех зависит не от заучивания формул, а от умения замечать неочевидные связи: равные отрезки, скрытые углы и особые свойства трапеций. В этой статье собраны ключевые теоремы и рабочие приёмы, которые помогают решать такие задачи на экзамене.

Ключевые факты

Признак вписанного четырёхугольника

Если вокруг четырёхугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов даёт 180 градусов. И наоборот: когда ∠A + ∠C = 180°, окружность существует.

Что даёт вписанность:

Углы, которые опираются на одну и ту же дугу, обязательно равны.
Трапеция, вписанная в окружность, всегда равнобедренная.
Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в прямоугольник (и то не во всякий — проверяй углы).

Признак описанного четырёхугольника

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон совпадают: AB + CD = BC + AD.
Это работает для любого выпуклого четырёхугольника.

Касательные из одной точки

Если из точки А провести две касательные к окружности, то отрезки от А до точек касания будут одинаковой длины. Этим свойством часто пользуются, чтобы связать стороны.

Особенности трапеций

Около окружности можно описать только равнобедренную трапецию.
Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований обязательно равна сумме боковых сторон.

Две окружности в трапеции

Центры окружностей, касающихся одних и тех же двух параллельных прямых, лежат на прямой, параллельной этим прямым. Это простое наблюдение часто помогает в сложных задачах.

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Разбор реальных задач из ЕГЭ (№ 17)

Задание 1. Три равные стороны вписанного четырёхугольника

Дано

Четырёхугольник ABCD расположен на окружности радиусом 8. При этом AB = BC = CD = 12.

Требуется:

а) обосновать, что BC и AD параллельны;
б) вычислить длину AD.

Решение

Пункт «а».

Поскольку три стороны равны, равны и стягиваемые ими дуги: AB, BC, CD. Оставшаяся дуга AD получается как дополнение до целой окружности. Рассмотрим два угла: ∠BCA опирается на дугу AB, а ∠CAD — на дугу CD. Эти дуги равны, значит, равны и сами углы. При пересечении двух прямых BC и AD секущей AC получаем равные накрест лежащие углы — это и доказывает параллельность.

Окружности в четырёхугольниках Задание 1 Решение

Пункт «б».

В треугольнике ACD угол при вершине D ровно вдвое больше угла при вершине A (из-за соотношения дуг). Запишем теорему синусов:

$\frac{A C}{\sin (2 α)} = \frac{12}{\sin α}$ .
Отсюда $A C = 24 \cos α$ .

Теперь применим теорему косинусов к тому же треугольнику:

$C D^{2} = A C^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A C \cdot A D \cdot \cos α$ .

Подставляем $C D = 12$ , $A C = 24 \cos α$ . После упрощений приходим к уравнению:

$A D^{2} - 21 \cdot A D + 108 = 0$ .

Корни: 12 и 9. Если AD = 12, фигура становится квадратом, но тогда радиус был бы не 8, а другим. Значит, остаётся AD = 9.

Ответ: 9.

Задание 2. Параллелограмм и окружность через три вершины

Дано

Окружность проведена через точки A, B, D параллелограмма ABCD. Она второй раз пересекает сторону BC в точке E (первый раз в B), а сторону CD — в точке K (первый раз в D).

Нужно:

а) доказать равенство AE = AK;
б) найти AD, если CE = 10, DK = 9, а cos∠BAD = 0,2.

Решение

Пункт «а».

В параллелограмме углы ∠ABE и ∠ADK равны (соответственные при параллельных прямых). Оба эти угла являются вписанными в нашу окружность и опираются на дуги AE и AK соответственно. Если вписанные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, одинаковы. А равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, AE = AK, что и требовалось доказать.

Окружности в четырёхугольниках Задание 2 Решение

Пункт «б».

Воспользуемся теоремой о секущих, проведённых из точки C:

$C B \cdot C E = C D \cdot C K$ .

Заметим, что четырёхугольник ABED — равнобедренная трапеция (так как AB || ED и окружность описана). Значит, AB = ED = CD.

Рассмотрим равнобедренный треугольник DEC. Проведём в нём высоту DH. Тогда HC = 5 (половина EC). Угол BCD равен углу BAD (свойство параллелограмма), поэтому $\cos ∠ B C D = 0, 2$ .

В прямоугольном треугольнике DHC:

$\cos ∠ B C D = \frac{H C}{C D} \to 0, 2 = \frac{5}{C D} \to C D = 25$ .
Отсюда $C K = C D - D K = 25 - 9 = 16$ .

Подставляем всё в равенство секущих:

$10 \cdot C B = 25 \cdot 16 \to C B = 40$ .

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $A D = C B = 40$ .

Ответ: 40.

Задание 3. Трапеция и две вписанные окружности

Дано

Первая окружность (центр O1) касается оснований BC и AD, а также боковой стороны AB трапеции ABCD. Вторая окружность (центр O2) касается оснований BC, AD и другой боковой стороны CD. Известны длины: AB = 10, BC = 9, CD = 30, AD = 39.
Требуется: а) доказать, что отрезок O1O2 параллелен основаниям; б) найти длину O1O2.

Решение

Пункт «а».

Обе окружности касаются двух параллельных прямых AD и BC. Значит, расстояния от их центров до каждой из этих прямых равны радиусам. Поскольку радиусы одинаковы (обе окружности вписаны в один и тот же угол между параллельными прямыми), то центры $O_{1}$ и $O_{2}$ находятся на одинаковом расстоянии от AD и от BC. Опустим перпендикуляры из $O_{1}$ и $O_{2}$ на AD. Получим четырёхугольник, у которого две стороны равны и параллельны — это параллелограмм. Следовательно, $O_{1} O_{2}$ параллельна AD, а значит, и BC.

Окружности в четырёхугольниках Задание 3 Решение А

Пункт «б».

Рассмотрим треугольник $A O_{1} B$ . В нём $O_{1}$ — точка пересечения биссектрис углов при A и B (свойство вписанной окружности). Сумма половин этих углов равна $90^{\circ}$ , поэтому угол $A O_{1} B$ прямой. Значит, отрезок, соединяющий середину гипотенузы AB с вершиной прямого угла, равен половине AB. Аналогично, в треугольнике $C O_{2} D$ угол $C O_{2} D$ тоже прямой, и отрезок от середины CD до $O_{2}$ равен половине CD.
Точки K (середина AB) и L (середина CD) лежат на средней линии трапеции.

Окружности в четырёхугольниках Задание 3 Решение Б

Расстояние между центрами $O_{1} O_{2}$ можно найти как разность:

$O_{1} O_{2} = K L - K O_{1} - L O_{2}$ .

Подставляем числа:

$K L = \frac{B C + A D}{2} = \frac{9 + 39}{2} = 24$ ,
$K O_{1} = \frac{A B}{2} = 5$ ,
$L O_{2} = \frac{C D}{2} = 15$ .

Получаем: $O_{1} O_{2} = 24 - 5 - 15 = 4$ .

Ответ: 4.

Где чаще всего ошибаются

Ошибка 1. Путаница между условиями вписанного и описанного четырёхугольника

Причина: не запомнили, что для вписанного важны углы, а для описанного — стороны.

Совет: закрепи фразу: «Вписанный — углы в сумме 180, описанный — суммы сторон равны».

Ошибка 2. Игнорирование отрезков касательных

Причина: не замечают, что из одной вершины выходят два касательных отрезка.

Совет: всегда помечай на чертеже равные отрезки одинаковыми значками.

Ошибка 3. Поспешное применение теоремы о вписанных углах без проверки принадлежности точек окружности

Причина: автоматизм.

Совет: прежде чем ссылаться на вписанные углы, убедись, что все четыре точки действительно лежат на одной окружности.

Ошибка 4. Непонимание параллельности центров в задачах с двумя окружностями

Причина: забывают провести перпендикуляры к основаниям.

Совет: если окружности касаются двух параллельных прямых, сразу проводи вертикали — центры окажутся на одной горизонтали.

Что ты теперь умеешь

После разбора этих примеров ты сможешь:

доказывать параллельность сторон через равенство дуг и накрест лежащие углы;
находить неизвестные элементы вписанных четырёхугольников, комбинируя синусы и косинусы;
грамотно применять теорему о секущих и свойство отрезков касательных;
решать сложные конфигурации с двумя окружностями в трапеции, опираясь на среднюю линию.

Эти навыки — твой ключ к успешному решению номера 17 на ЕГЭ. Бери лист, рисуй чертёж, шаг за шагом применяй свойства — и всё получится.