Введение
Номер 17 в профильной математике — это геометрическая задача, где от тебя ждут чёткого доказательства и правильного числового ответа. Чаще всего в условии фигурируют четырёхугольники: трапеции, квадраты, параллелограммы. Без умения строить дополнительные отрезки, находить равные треугольники и применять теоремы Пифагора, Фалеса и подобия здесь делать нечего. Освоишь эти приёмы — получишь 90% успеха.
Ниже разбираем несколько рабочих схем на конкретных примерах из реальных вариантов.
Разбор ключевых приёмов
Приём 1. Параллельный сдвиг диагонали внутри трапеции
Представь: в трапеции даны длины обеих диагоналей и сумма оснований. Попробуй мысленно «перетащить» одну диагональ параллельно самой себе так, чтобы её начало совпало с концом другой. В итоге сложится треугольник, у которого стороны — это диагонали и сумма оснований.
Запомни: полученный треугольник нужно проверить по теореме Пифагора. Если сходится — диагонали пересекаются под прямым углом.
Пример 1
В трапеции диагонали равны 8 и 15, а основания в сумме дают 17.
а) Обоснуйте, что диагонали взаимно перпендикулярны.
б) Посчитайте площадь фигуры.
Ход решения
- Проводим CM параллельно BD, где M лежит на продолжении AD.
- Фигура BCMD выходит параллелограммом → CM = BD = 8 и AM = AD + BC = 17.
- Смотрим на треугольник ACM: $17^2 = 15^2 + 8^2 \rightarrow$ угол при вершине C прямой.
- Поскольку CM и BD параллельны, получаем AC ⟂ BD.
- Площадь трапеции считаем через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 \cdot 1 = 60$.
Приём 2. Выходим за пределы трапеции — продлеваем боковые стороны
Когда отношение оснований простое (например, 1:2), стоит продолжить боковые стороны до их пересечения. Меньшее основание окажется средней линией в получившемся треугольнике.
Совет: видишь AD = 2 · BC и BC || AD — сразу достраивай до треугольника. BC станет средней линией.
Пример 2
Трапеция ABCD, где AD вдвое больше BC. Точка M выбрана так, что углы ABM и MCD — прямые.
а) Докажите, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол ADC = 55°. Найдите величину угла BAD.
Шаги для пункта «а».
Продлеваем AB и CD до встречи в точке K.
В треугольнике AKD отрезок BC параллелен AD и вдвое короче → он средняя линия. Значит, B и C — середины AK и DK.
В треугольнике AMK отрезок MB — одновременно медиана и высота → треугольник равнобедренный → AM = MK.
В треугольнике DMK отрезок MC — тоже медиана с высотой → DM = MK.
Из двух равенств выходит AM = DM.
Пункт «б».
Опускаем перпендикуляр MH на AD. В равнобедренном △AMD высота совпадает с медианой.
Обозначим BC = x, тогда AD = 2x, AH = HD = x, MH = x (дано).
В треугольниках AMH и DMH катеты равны → острые углы по 45° → ∠MAD = ∠MDA = 45°.
Находим ∠MDC = 55° − 45° = 10°.
В равнобедренном △DMK угол при основании MKD тоже 10°.
Складываем углы в △AKD:
45° + 45° + 10° + 10° + 2 · ∠KAM = 180° → 110° + 2 · ∠KAM = 180° → ∠KAM = 35°.Итог: ∠BAD = 35° + 45° = 80°.
Приём 3. Середина боковой стороны — ключ к равным треугольникам
Если в трапеции отмечена середина боковой стороны, проведи через неё отрезок параллельно другой стороне. Почти гарантированно получишь пару равных треугольников.
На что обратить внимание: вертикальные и накрест лежащие углы + параллельность AE и CK часто ведут к цепочке подобий.
Пример 3
В трапеции ABCD точка E — середина CD. На стороне AB выбрали K так, что CK параллельна AE. Отрезки CK и BE пересекаются в O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найдите BC : AD, если площадь треугольника BCK составляет $\frac{9}{64}$ от площади всей трапеции.
Решение пункта «а».
Введём точку L = BC ∩ AE.
Углы AED и LEC равны (вертикальные), ADE = LCE (накрест лежащие при параллельных AD и BC), DE = CE → △AED = △LEC → AE = EL.
Параллельность KO и AE даёт подобие △KBO ~ △ABE → KO : AE = BO : BE.
Параллельность CO и EL даёт подобие △CBO ~ △LBE → CO : EL = BO : BE.
Так как AE = EL, получаем CO = KO.
Пункт «б».
Из равенства △AED = △LEC площадь трапеции совпадает с площадью △ABL.
Параллельность KC и AL → △BCK ~ △BLA.
Отношение площадей: $k^2 = \frac{9}{64} \rightarrow k = \frac{3}{8}$.
$\frac{BC}{BL} = \frac{3}{8}$, причём BL = BC + CL = BC + AD (потому что CL = AD).
Получаем уравнение: $\frac{BC}{BC + AD} = \frac{3}{8} \rightarrow 8 \cdot BC = 3 \cdot BC + 3 \cdot AD \rightarrow 5 \cdot BC = 3 \cdot AD \rightarrow BC : AD = 3 : 5$.
Приём 4. Где пересекаются серединные перпендикуляры — там центр описанной окружности
Пересечение серединных перпендикуляров любых двух сторон треугольника — это центр окружности, описанной вокруг него.
Полезный факт: центральный угол, опирающийся на дугу, ровно в два раза больше любого вписанного, который на неё же опирается. Этим часто удобно находить углы.
Пример 4
В квадрате ABCD точка E делит сторону BC пополам. Серединные перпендикуляры к AE и EC встречаются в точке O.
а) Докажите, что угол AOE равен 90°.
б) Найдите BO : OD.
Пункт «а».
- Точка O находится на одинаковом расстоянии от A, E и C → она центр окружности, описанной около △AEC.
- Угол ACE равен 45° (диагональ квадрата делит прямой угол пополам).
- ∠AOE — центральный, он опирается на дугу AE, а ∠ACE — вписанный на ту же дугу → ∠AOE = 2 · 45° = 90°.
Пункт «б».
- В квадрате диагональ BD — это серединный перпендикуляр к AC, значит O лежит на BD.
- Обозначим K — середину BC. Тогда EK = KC = x, BE = 2x.
- Треугольники BOK и BDC подобны (оба прямоугольные, угол B общий).
- Считаем отношение: $\frac{BK}{BC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4} \rightarrow \frac{BO}{BD} = \frac{3}{4}$.
- Положим BO = 3y, тогда BD = 4y, а OD = y.
- Ответ: BO : OD = 3 : 1.
Частые промахи и как их обойти
| Что идёт не так | Как исправить |
|---|---|
| Непонятно, какую диагональ сдвигать | Выбирай ту, чей конец не лежит на продолжении основания, куда ты двигаешь |
| Забыта формула площади через диагонали | Запомни: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\varphi$ работает для всех выпуклых четырёхугольников |
| Не вижу подобия | Ищи параллельные прямые — они создают равные углы и автоматически ведут к подобию |
| Путаю отношение площадей | $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ только для подобных фигур, не для любых двух треугольников с общим углом |
| Спотыкаюсь на центральных и вписанных углах | Центральный угол смотрит из центра, вписанный — с окружности. Центральный всегда в 2 раза больше |
Итог
Теперь ты умеешь:
- делать параллельный перенос диагонали в трапеции и проверять перпендикулярность через Пифагора;
- продлевать боковые стороны трапеции, чтобы получить среднюю линию треугольника;
- доказывать равенство отрезков через равенство треугольников и двойное подобие;
- находить центр описанной окружности по серединным перпендикулярам и использовать связь углов;
- переходить от отношения площадей к отношению сторон через коэффициент подобия.
С таким арсеналом задачу № 17 ЕГЭ профильного уровня больше не стоит бояться. Прорешай разобранные примеры — и на экзамене четырёхугольники станут твоей сильной стороной.
Автор:
Доброва Дарья, методист «100балльного репетитора» по математике ОГЭ/10 класса
