Тригонометрические формулы приведения: как избавиться от лишнего

В этой статье разберём формулы приведения — одну из ключевых тем в профильном ЕГЭ по математике. Они встречаются во многих заданиях:

• № 6 — простейшие тригонометрические уравнения: формулы помогают привести выражение к базовому виду;
• № 7 — преобразования тригонометрических выражений: вычисление значений, упрощение дробей, нахождение числовых величин;
• № 13 — тригонометрические уравнения повышенной сложности: используются и при преобразованиях, и при отборе корней.

Формулы приведения нужны, чтобы избавиться от «неудобных» углов: $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ и перейти к привычным острым углам. Многие пытаются выучить все 32 формулы из таблицы. Но это необязательно — достаточно понять один простой алгоритм, который заменяет их все.

Формулы приведения позволяют выразить значения тригонометрических функций для любых углов через функции угла $\alpha$, где $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ (острый угол).

В общем виде они выглядят так: $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ и так далее.

Главное, что нужно знать перед их применением:

1. В формулах приведения аргумент всегда представляют как комбинацию «горизонтальной» ($\pi$, $2\pi$) или «вертикальной» ($\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$) оси плюс/минус острый угол $\alpha$.
2. Знак функции зависит от четверти, в которой находится исходный угол.

Чтобы не зубрить таблицу, используем «лошадиное» правило или правило «точки на осях».

Шаг 1. Определяем, меняется ли функция на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс).

• Если мы откладываем угол от вертикальной оси ($\frac{\pi }{2}$ или $\frac{3\pi }{2}$) — функция меняется ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\text{tg}\leftrightarrow \text{ctg}$).
• Если мы откладываем угол от горизонтальной оси ($\pi$ или $2\pi$) — функция не меняется.

Шаг 2. Определяем знак (плюс или минус).

1. Мысленно считаем, что $\alpha$ — острый угол (например, 30°).
2. Смотрим, в какой четверти окажется исходный угол ($\frac{\pi }{2}+\alpha$, $\pi -\alpha$ и так далее).
3. Определяем знак исходной функции в этой четверти. Этот знак ставим перед результатом.

Если «лошадиное правило» звучит сложно, запомни две вещи:

1. Пи ($\pi$) не трогает, два пи ($\frac{\pi }{2}$) переворачивает.
   • Если в записи угла есть $\frac{\pi }{2}$ или $\frac{3\pi }{2}$ (дробь, знаменатель 2) − название функции меняем.
   • Если есть $\pi$ или $2\pi$ (без двойки в знаменателе) − название оставляем.
2. Знак определяется по исходной функции. Не смотри на то, что получится в итоге. Спроси себя: в какой четверти лежит угол, который был дан? Какой знак у исходного синуса/косинуса в этой четверти?

Таблица четвертей:

Короткие примеры для отработки алгоритма

Применим правило на практике.

1. sin(90° + α) (или sin($\frac{\pi }{2}$ + α)).
   • Ось: вертикальная ($\frac{\pi }{2}$) → меняем sin на cos.
   • Угол 90 + α — это II четверть. Синус во II четверти положителен.
   • Итог: +cos α.
2. cos(180° − α) (или cos(π − α)).
   • Ось: горизонтальная (π) → оставляем cos.
   • Угол 180 − α — это II четверть. Косинус во II четверти отрицателен.
   • Итог: −cos α.
3. tg(270° − α) (или tg($\frac{3\pi }{2}$ − α)).
   • Ось: вертикальная ($\frac{3\pi }{2}$) → меняем tg на ctg.
   • Угол 270 − α — это III четверть. Тангенс в III четверти положителен.
   • Итог: +ctg α.
4. sin(360° − α) (или sin(2π − α)).
   • Ось: горизонтальная (2π) → оставляем sin.
   • Угол 360 − α — это IV четверть. Синус в IV четверти отрицателен.
   • Итог: −sin α.

Задание № 1 — простейшее тригонометрическое уравнение

Условие: реши уравнение $\cos (\frac{3\pi }{2}-x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:

1. Применяем формулу приведения к $\cos (\frac{3\pi }{2}-x)$:
   • Вертикальная ось ($\frac{3\pi }{2}$) $\to$ меняем $\cos$ на $\sin$.
   • Угол $\frac{3\pi }{2}-x$ — III четверть (если x — острый, то 270° − x — это III четверть). Косинус в III четверти отрицательный.
   • Итог: $\cos (\frac{3\pi }{2}-x)=-\sin x$.
2. Уравнение принимает вид:
   $-\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. Решаем простейшее уравнение:
   $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \text{Z}$
   $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \text{Z}$

Ответ: $\frac{\pi }{3}+2\pi n,\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \text{Z}$.

Задание № 2 — преобразование тригонометрического выражения

Условие: найди $26\sqrt{2}\cos (-\frac{9\pi }{4})$.

Решение:

1. Косинус — чётная функция: $\cos (-x)=\cos x$. Получаем $26\sqrt{2}\cos (\frac{9\pi }{4})$.
2. Выделяем период 2π: $\frac{9\pi }{4}=2\pi +\frac{\pi }{4}$.
3. $\cos (2\pi +\frac{\pi }{4})=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (горизонтальная ось 2π, функция не меняется, знак положительный, так как IV четверть).
4. Считаем: $26\sqrt{2}·\frac{\sqrt{2}}{2}=26·\frac{2}{2}=26$.

Ответ: 26.

Задание № 3

Условие: найди значение выражения $\frac{5\sin (3\pi -\alpha )-2\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )}{\sin (\alpha -3\pi )}$.

Решение:

1. Преобразуем $\sin (3\pi -\alpha )$:
   • $3\pi =2\pi +\pi$, вычитаем период 2π: $\sin (3\pi -\alpha )=\sin (\pi -\alpha )$.
   • Горизонтальная ось π, функция не меняется.
   • Угол $\pi -\alpha$ — II четверть, синус положительный.
   • Итог: $\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha$.
2. Преобразуем $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$:
   • Вертикальная ось $\frac{\pi }{2}$, функция меняется ($\cos \to \sin$).
   • Угол $\frac{\pi }{2}+\alpha$ — II четверть, косинус отрицательный.
   • Итог: $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$.
3. Преобразуем $\sin (\alpha -3\pi )$:
   • $\alpha -3\pi =-(3\pi -\alpha )$.
   • $\sin (\alpha -3\pi )=\sin (-(3\pi -\alpha ))=-\sin (3\pi -\alpha )$.
   • Из шага 1: $\sin (3\pi -\alpha )=\sin \alpha$, значит, $\sin (\alpha -3\pi )=-\sin \alpha$.

Подставляем в выражение:

• Числитель: $5·(\sin \alpha )-2·(-\sin \alpha )=5\sin \alpha +2\sin \alpha =7\sin \alpha$.
• Знаменатель: $-\sin \alpha$.
• Получаем: $\frac{7\sin \alpha }{-\sin \alpha }=-7(\text{при }\sin \alpha \ne 0$).

Ответ: −7.

Задание № 4 — тригонометрические уравнения повышенной сложности

Здесь формулы приведения используются на первом этапе — для преобразования уравнения к удобному виду, а также при отборе корней.

Условие: реши уравнение $\sin (\frac{3\pi }{2}+x)=\cos (\frac{\pi }{2}+x)$.

Решение: применим формулы приведения к обеим частям.

1. $\sin (\frac{3\pi }{2}+x)$:
   • Ось вертикальная ($\frac{3\pi }{2})\to$ меняем $\sin$ на $\cos$.
   • Угол $\frac{3\pi }{2}+x$ — IV четверть. Синус в IV четверти отрицательный.
   • Итог: $\sin (\frac{3\pi }{2}+x)=-\cos x$.
2. $\cos (\frac{\pi }{2}+x)$:
   • Ось вертикальная ($\frac{\pi }{2})\to$ меняем $\cos$ на $\sin$.
   • Угол $\frac{\pi }{2}+x$ — II четверть. Косинус во II четверти отрицательный.
   • Итог: $\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin x$.

Подставляем в уравнение:
$-\cos x=-\sin x$
$\cos x=\sin x$

Разделим на $\cos x$ (при условии, что $\cos x\ne 0$, проверка покажет, что корни не теряются):
$1=\text{tg }x$
$x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \text{Z}$

Проверим случай $\cos x=0$. Если $\cos x=0$, то $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Подставляем в $\cos x=\sin x$:
$0=\pm 1$ — неверно. Значит, эти точки не подходят.

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \text{Z}$.

1. Неправильный знак результата. Забывают поменять знак, думая, что результат всегда положительный.
   Как избежать: всегда рисуй мысленно или на черновике четверти. Знак ставится по исходной функции, а не по той, в которую мы преобразуем.

2. Путаница: менять функцию или нет.
   Как избежать: смотри на число, которое стоит рядом с π. Если есть дробь $\frac{1}{2}$ (то есть $\frac{\pi }{2}$ или $\frac{3\pi }{2}$) — меняем. Если нет (π, 2π, 3π) — оставляем.

3. Неправильная работа с отрицательными углами (−α).
   Как избежать: сначала применяй чётность/нечётность (sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x), чтобы убрать минус из аргумента, и только потом используй формулы приведения к стандартному виду.

4. Огромные углы, такие как $\frac{19\pi }{2}$.
   Как избежать: вычитай периоды 2π (или 4π, 6π), пока угол не войдёт в промежуток от 0 до 2π, а затем применяй правило.

Теперь ты умеешь:

• определять, меняется ли название функции при «переходе через ось»;
• расставлять знаки «плюс» или «минус» на основе четверти координатной окружности;
• избавляться от больших и отрицательных углов, сводя их к острому углу α.

Благодаря этому навыку ты сможешь без труда решать задание № 6 — сводя уравнения к простейшим; задание № 7 — вычисляя значения тригонометрических выражений и задание № 13 — преобразовывая уравнения на первом этапе и упрощая аргументы при отборе корней.

Больше никаких 32 формул — только два простых правила и четверти. Удачи на экзамене!