Тригонометрические формулы приведения: как избавиться от лишнего

В этой статье разберём формулы приведения — одну из ключевых тем в профильном ЕГЭ по математике. Они встречаются во многих заданиях:

• № 6 — простейшие тригонометрические уравнения: формулы помогают привести выражение к базовому виду;
• № 7 — преобразования тригонометрических выражений: вычисление значений, упрощение дробей, нахождение числовых величин;
• № 13 — тригонометрические уравнения повышенной сложности: используются и при преобразованиях, и при отборе корней.

Формулы приведения нужны, чтобы избавиться от «неудобных» углов: $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ и перейти к привычным острым углам. Многие пытаются выучить все 32 формулы из таблицы. Но это необязательно — достаточно понять один простой алгоритм, который заменяет их все.

Формулы приведения позволяют выразить значения тригонометрических функций для любых углов через функции угла $\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (острый угол).

В общем виде они выглядят так: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$, $\cos(\pi − \alpha) = −\cos \alpha$ и так далее.

Главное, что нужно знать перед их применением:

1. В формулах приведения аргумент всегда представляют как комбинацию «горизонтальной» ($\pi$, $2\pi$) или «вертикальной» ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$) оси плюс/минус острый угол $\alpha$.
2. Знак функции зависит от четверти, в которой находится исходный угол.

Чтобы не зубрить таблицу, используем «лошадиное» правило или правило «точки на осях».

Шаг 1. Определяем, меняется ли функция на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс).

• Если мы откладываем угол от вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$) — функция меняется ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\text{tg} \leftrightarrow \text{ctg}$).
• Если мы откладываем угол от горизонтальной оси ($\pi$ или $2\pi$) — функция не меняется.

Шаг 2. Определяем знак (плюс или минус).

1. Мысленно считаем, что $\alpha$ — острый угол (например, 30°).
2. Смотрим, в какой четверти окажется исходный угол ($\frac{\pi}{2} + \alpha$, $\pi − \alpha$ и так далее).
3. Определяем знак исходной функции в этой четверти. Этот знак ставим перед результатом.

Если «лошадиное правило» звучит сложно, запомни две вещи:

1. Пи ($\pi$) не трогает, два пи ($\frac{\pi}{2}$) переворачивает.
   • Если в записи угла есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (дробь, знаменатель 2) − название функции меняем.
   • Если есть $\pi$ или $2\pi$ (без двойки в знаменателе) − название оставляем.
2. Знак определяется по исходной функции. Не смотри на то, что получится в итоге. Спроси себя: в какой четверти лежит угол, который был дан? Какой знак у исходного синуса/косинуса в этой четверти?

Таблица четвертей:

Короткие примеры для отработки алгоритма

Применим правило на практике.

1. sin(90° + α) (или sin($\frac{\pi}{2}$ + α)).
   • Ось: вертикальная ($\frac{\pi}{2}$) → меняем sin на cos.
   • Угол 90 + α — это II четверть. Синус во II четверти положителен.
   • Итог: +cos α.
2. cos(180° − α) (или cos(π − α)).
   • Ось: горизонтальная (π) → оставляем cos.
   • Угол 180 − α — это II четверть. Косинус во II четверти отрицателен.
   • Итог: −cos α.
3. tg(270° − α) (или tg($\frac{3\pi}{2}$ − α)).
   • Ось: вертикальная ($\frac{3\pi}{2}$) → меняем tg на ctg.
   • Угол 270 − α — это III четверть. Тангенс в III четверти положителен.
   • Итог: +ctg α.
4. sin(360° − α) (или sin(2π − α)).
   • Ось: горизонтальная (2π) → оставляем sin.
   • Угол 360 − α — это IV четверть. Синус в IV четверти отрицателен.
   • Итог: −sin α.

Задание № 1 — простейшее тригонометрическое уравнение

Условие: реши уравнение $\cos(\frac{3\pi}{2} − x) = −\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:

1. Применяем формулу приведения к $\cos(\frac{3\pi}{2} − x)$:
   • Вертикальная ось ($\frac{3\pi}{2}$) $\to$ меняем $\cos$ на $\sin$.
   • Угол $\frac{3\pi}{2} − x$ — III четверть (если x — острый, то 270° − x — это III четверть). Косинус в III четверти отрицательный.
   • Итог: $\cos(\frac{3\pi}{2} − x) = −\sin x$.
2. Уравнение принимает вид:
   $−\sin x = −\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
3. Решаем простейшее уравнение:
   $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \text{Z}$
   $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \text{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \text{Z}$.

Задание № 2 — преобразование тригонометрического выражения

Условие: найди $26\sqrt{2} \cos(−\frac{9\pi}{4})$.

Решение:

1. Косинус — чётная функция: $\cos(−x) = \cos x$. Получаем $26\sqrt{2} \cos(\frac{9\pi}{4})$.
2. Выделяем период 2π: $\frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
3. $\cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (горизонтальная ось 2π, функция не меняется, знак положительный, так как IV четверть).
4. Считаем: $26\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 26 \cdot \frac{2}{2} = 26$.

Ответ: 26.

Задание № 3

Условие: найди значение выражения $\frac{5 \sin(3\pi − \alpha) − 2 \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\sin(\alpha − 3\pi)}$.

Решение:

1. Преобразуем $\sin(3\pi − \alpha)$:
   • $3\pi = 2\pi + \pi$, вычитаем период 2π: $\sin(3\pi − \alpha) = \sin(\pi − \alpha)$.
   • Горизонтальная ось π, функция не меняется.
   • Угол $\pi − \alpha$ — II четверть, синус положительный.
   • Итог: $\sin(3\pi − \alpha) = \sin \alpha$.
2. Преобразуем $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$:
   • Вертикальная ось $\frac{\pi}{2}$, функция меняется ($\cos \to \sin$).
   • Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ — II четверть, косинус отрицательный.
   • Итог: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = −\sin \alpha$.
3. Преобразуем $\sin(\alpha − 3\pi)$:
   • $\alpha − 3\pi = −(3\pi − \alpha)$.
   • $\sin(\alpha − 3\pi) = \sin(−(3\pi − \alpha)) = −\sin(3\pi − \alpha)$.
   • Из шага 1: $\sin(3\pi − \alpha) = \sin \alpha$, значит, $\sin(\alpha − 3\pi) = −\sin \alpha$.

Подставляем в выражение:

• Числитель: $5 \cdot (\sin \alpha) − 2 \cdot (−\sin \alpha) = 5 \sin \alpha + 2 \sin \alpha = 7 \sin \alpha$.
• Знаменатель: $−\sin \alpha$.
• Получаем: $\frac{7 \sin \alpha}{−\sin \alpha} = −7 (\text{при } \sin \alpha \neq 0$).

Ответ: −7.

Задание № 4 — тригонометрические уравнения повышенной сложности

Здесь формулы приведения используются на первом этапе — для преобразования уравнения к удобному виду, а также при отборе корней.

Условие: реши уравнение $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = \cos(\frac{\pi}{2} + x)$.

Решение: применим формулы приведения к обеим частям.

1. $\sin(\frac{3\pi}{2} + x)$:
   • Ось вертикальная ($\frac{3\pi}{2}) \to$ меняем $\sin$ на $\cos$.
   • Угол $\frac{3\pi}{2} + x$ — IV четверть. Синус в IV четверти отрицательный.
   • Итог: $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = −\cos x$.
2. $\cos(\frac{\pi}{2} + x)$:
   • Ось вертикальная ($\frac{\pi}{2}) \to$ меняем $\cos$ на $\sin$.
   • Угол $\frac{\pi}{2} + x$ — II четверть. Косинус во II четверти отрицательный.
   • Итог: $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = −\sin x$.

Подставляем в уравнение:
$−\cos x = −\sin x$
$\cos x = \sin x$

Разделим на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, проверка покажет, что корни не теряются):
$1 = \text{tg } x$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \text{Z}$

Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Подставляем в $\cos x = \sin x$:
$0 = \pm 1$ — неверно. Значит, эти точки не подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \text{Z}$.

1. Неправильный знак результата. Забывают поменять знак, думая, что результат всегда положительный.
   Как избежать: всегда рисуй мысленно или на черновике четверти. Знак ставится по исходной функции, а не по той, в которую мы преобразуем.

2. Путаница: менять функцию или нет.
   Как избежать: смотри на число, которое стоит рядом с π. Если есть дробь $\frac{1}{2}$ (то есть $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$) — меняем. Если нет (π, 2π, 3π) — оставляем.

3. Неправильная работа с отрицательными углами (−α).
   Как избежать: сначала применяй чётность/нечётность (sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x), чтобы убрать минус из аргумента, и только потом используй формулы приведения к стандартному виду.

4. Огромные углы, такие как $\frac{19\pi}{2}$.
   Как избежать: вычитай периоды 2π (или 4π, 6π), пока угол не войдёт в промежуток от 0 до 2π, а затем применяй правило.

Теперь ты умеешь:

• определять, меняется ли название функции при «переходе через ось»;
• расставлять знаки «плюс» или «минус» на основе четверти координатной окружности;
• избавляться от больших и отрицательных углов, сводя их к острому углу α.

Благодаря этому навыку ты сможешь без труда решать задание № 6 — сводя уравнения к простейшим; задание № 7 — вычисляя значения тригонометрических выражений и задание № 13 — преобразовывая уравнения на первом этапе и упрощая аргументы при отборе корней.

Больше никаких 32 формул — только два простых правила и четверти. Удачи на экзамене!