Задание 10 из профильного ЕГЭ по математике часто вызывает трудности, особенно текстовые задачи на проценты про сухофрукты. Ошибки возникают при попытке составить уравнение для испаряющейся воды, что приводит к отрицательным числам или неверным результатам. Понимание концепции сухого вещества упрощает вычисления. Разберём логику решения пошагово. После изучения материала ты будешь понимать принцип решения и сможешь уверенно выполнять задания по этой теме.
Что происходит при сушке
Любой свежий продукт состоит из двух частей: обычной воды и сухого вещества. Сухое вещество — это мякоть, витамины, минералы и клетчатка.
Представь килограмм винограда. Если оставить его сохнуть на солнце, он начнёт превращаться в изюм. Вода испаряется в атмосферу, общая масса ягоды стремительно уменьшается. При этом количество питательной мякоти остаётся неизменным.
При сушке влага уходит, а масса сухого вещества сохраняется полностью. На этом правиле и балансе масс строится любое уравнение в подобных текстовых задачах.
Для расчётов составители экзамена всегда дают процентное содержание воды в продукте. Чтобы найти процент сухого вещества, нужно из 100% вычесть долю воды. Например, если свежие грибы содержат 90% воды, значит, доля мякоти там составляет: 100% − 90% = 10%.
Алгоритм решения
Чтобы не запутаться в вычислениях, придерживайся чёткого плана действий:
- Найди процент сухого вещества в исходном свежем продукте (вычти процент воды из 100%).
- Найди процент сухого вещества в итоговом высушенном продукте.
- Переведи полученные проценты в удобные десятичные дроби (раздели показатель на 100).
- Вычисли массу сухого вещества в том продукте, масса которого известна по условию.
- Приравняй полученное значение к массе сухого вещества в продукте с неизвестной массой и реши уравнение.
Пример решения с изюмом и виноградом
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Решение
Шаг 1. Определяем долю сухого вещества в винограде. Известно, что воды 90%, поэтому сухого вещества: 100% − 90% = 10% (в десятичном виде — 0,1).
Шаг 2. Считаем долю сухого вещества в изюме. Известно, что воды 5%, поэтому сухого вещества: 100% − 5% = 95% (или 0,95).
Шаг 3. Вычисляем абстрактную массу сухого вещества. Дана масса готового изюма — 20 килограммов. Находим массу питательных элементов в нём: 20 × 0,95 = 19 килограммов.
Шаг 4. Составляем уравнение. Эти же 19 килограммов сухого вещества изначально находились в свежем винограде. Пусть первоначальная масса равна $x$. Тогда $0,1x = 19$.
Шаг 5. Делим 19 на 0,1 и получаем ответ. $x = 19 : 0,1 = 190$.
Ответ: 190.
Пример решения со свежими и высушенными фруктами
Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные имеют 28% воды. Сколько сухих фруктов получится из 288 килограммов свежих фруктов?
Решение
Шаг 1. Считаем сухое вещество в свежих фруктах: 100% − 80% = 20% (десятичная дробь 0,2).
Шаг 2. Считаем сухое вещество в сухих фруктах: 100% − 28% = 72% (десятичная дробь 0,72).
Шаг 3. Вычисляем массу сухого остатка в известных нам свежих фруктах. Умножаем общую массу свежих фруктов на долю мякоти: 288 × 0,2 = 57,6 килограмма.
Шаг 4. Приравниваем массу мякоти. Пусть финальная масса сухих фруктов равна $y$. Тогда $0,72y = 57,6$.
Шаг 5. Находим неизвестное значение y: $y = 57,6 : 0,72 = 80$ килограммов.
Ответ: 80.
Пример решения с поиском пропорции
Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие содержат 12% воды. Во сколько раз уменьшится масса грибов после сушки?
Решение
Шаг 1. Находим сухое вещество в свежих грибах: 100% − 90% = 10% (или 0,1).
Шаг 2. Находим сухое вещество в сухих грибах: 100% − 12% = 88% (или 0,88).
Шаг 3. Пусть масса свежих грибов равна переменной $x$, а масса сухих равна переменной $y$.
Шаг 4. Приравниваем сухое вещество: $0,1x = 0,88y$.
Шаг 5. Требуется найти отношение массы свежих грибов к массе сухих, то есть разделить первое на второе. Выводим нужную пропорцию из составленного равенства: $x : y = 0,88 : 0,1 = 8,8$
Ответ: в 8,8 раза.
Типичные ошибки на экзамене
На экзамене легко потерять баллы из-за невнимательности в вычислениях или спешки. Разберём базовые промахи и правила работы с ними:
- Cтроить математические пропорции на основе процентов воды. Жидкость испаряется, её количество меняется непредсказуемо, поэтому прямая пропорция не сработает. Всегда нужно переходить к вычислениям через сухое вещество.
- Путать 5% и математическую дробь 0,5. Проценты нужно переводить в формат десятичных дробей предельно аккуратно. Показатель 5% записывается как 0,05. Дробь 0,5 означает 50%.
- Принимать изюм или грибы за продукт со 100% сухого вещества. В сушёном продукте всегда будет присутствовать небольшая доля влаги. Все нужные данные для расчётов обязательно указаны в условии задачи.
- Записывать конечное числовое значение, не перечитав вопрос. Решив уравнение, всегда сверяй найденную переменную с тем, что требуется указать в бланке ответа.
Самопроверка
Попробуй решить эти задания самостоятельно, опираясь на разобранный алгоритм.
Задание 1. Свежие абрикосы содержат 85% воды, а курага содержит 10% воды. Сколько килограммов кураги получится из 30 килограммов свежих абрикосов?
Шаг 1. Концентрация сухого вещества в абрикосах равна 15%.
Шаг 2. В 30 килограммах содержится 4,5 килограмма чистой мякоти ($30 \cdot 0,15 = 4,5$).
Шаг 3. В кураге сухого вещества будет 90%. Разделив 4,5 на 0,9, получаем 5 килограммов.
Ответ: 5.
Задание 2. Свежие груши содержат 88% воды, а сушёные содержат 20% воды. Сколько килограммов свежих груш нужно закупить, чтобы получить 15 килограммов сушёных?
Шаг 1. В сушёных грушах находится 80% сухого остатка, что составляет ровно 12 килограммов от всей массы ($15 \cdot 0,8 = 12$).
Шаг 2. В свежих грушах доля мякоти равна 12% (в виде дроби — 0,12). Разделив 12 на 0,12, получаем 100 килограммов.
Ответ: 100.
Задание 3. Свежая малина содержит 85% естественной влаги. Во время сушки она теряет 80% от своей первоначальной массы. Каков процент влажности полученной сушёной малины?
Шаг 1. Возьмём исходную массу ягоды за 100 килограммов. Сухого вещества в ней 15% (следовательно, 15 килограммов). При потере общей массы на 80% её новая масса станет равна 20 килограммам ($100 − 80 = 20$).
Шаг 2. Сухое вещество никуда не испаряется, его по-прежнему 15 килограммов. Доля мякоти в новой массе: $15 : 20 = 0,75$, или 75%.
Шаг 3. Влажность нового продукта составляет: 100% − 75% = 25%.
Ответ: 25.
Заключение
После изучения этого материала можно уверенно решать задачи про изменение концентрации и сушку продуктов. Теперь ты умеешь находить процент сухого вещества, переводить значения в дроби и составлять уравнения масс. Понимание того, что масса сухого остатка всегда остаётся неизменной, защитит от грубых ошибок в ответе. Чтобы довести навык до автоматизма, рекомендуем прорешать 8–10 подобных заданий из нашего банка ЕГЭ по математике.
