Тема остатков от деления — основа для многих заданий на теорию чисел. Задание 19 профильного ЕГЭ по математике регулярно проверяет навык работы с делимостью. Привычная интуиция здесь перестаёт работать, если требуется вычислить результат для отрицательного числа или огромной степени без использования калькулятора. Разберём базовые правила и свойства, которые помогут находить верные решения и не допускать досадных ошибок на экзамене.
Базовая теория
Любое целое число можно разделить на другое целое число (не равное нулю) с образованием целой части и остатка.
Для любых целых чисел $a$ и $b$ (где $b$ не равно нулю) существует единственная пара чисел $q$ и $r$, которые удовлетворяют равенству $a = bq + r$.
В этой формуле:
- $a$ — делимое;
- $b$ — делитель;
- $q$ — неполное частное;
- $r$ — остаток.
Самое важное правило заключается в ограничениях для остатка. Значение $r$ всегда неотрицательно и строго меньше модуля делителя. Математически это записывается так: $0 \leqslant r < |b|$. Это условие помогает не путаться при работе с отрицательными значениями.
Свойства для работы с большими числами
Когда в задаче фигурируют суммы, произведения или степени, прямое вычисление всегда проигрывает свойствам теории чисел. Они позволяют заменять большие значения на их остатки на каждом этапе расчётов:
- При сложении двух чисел результат даст такой же остаток, как и сумма их первоначальных остатков.
- При умножении можно перемножить остатки, а полученный результат снова разделить на изначальный делитель.
- При возведении в степень можно возводить в неё только исходный остаток.
Универсальный алгоритм решения
На экзамене при решении задач на делимость действуй пошагово и опирайся на следующий шаблон:
- Запиши условие через базовую формулу $a = bq + r$.
- Выпиши рядом правило для остатка $0 \leqslant r < b$.
- Подставь данные из задачи в составленное уравнение.
- Вырази неизвестную величину через множители.
- Оцени возможные значения, отталкиваясь от ограничений правила.
Разбор типовых примеров
Задание
Найдите остаток от деления числа $-17$ на $5$.
Шаг 1. Запишем базовое выражение: $-17 = 5q + r$.
Шаг 2. Вспомним ограничение: $0 \leqslant r < 5$.
Шаг 3. Если предположить, что $q = -3$, то получится: $-17 = 5 \cdot (-3)-2$. Значение $r$ становится равным $-2$. Это нарушает правило: результат обязан быть положительным или равен нулю.
Шаг 4. Возьмём $q$ с запасом в меньшую сторону. Пусть $q = -4$. Тогда уравнение примет вид: $-17 = 5 \cdot (-4) + 3$.
Шаг 5. Проверим значение $r$. Оно равно $3$, что полностью удовлетворяет условию $0 \leqslant 3 < 5$.
Ответ: 3.
Задание
Какое число останется в остатке при делении $7^{100}$ на $5$?
Шаг 1. Использовать калькулятор здесь невозможно, поэтому применим свойства. Само число $7$ при делении на $5$ даёт остаток $2$. Значит, можно заменить семёрку на двойку. Нужно исследовать степень $2^{100}$.
Шаг 2. Найдём небольшую степень двойки, которая находится максимально близко к числу, делящемуся на $5$. Вычислим: $2^2 = 4$. При делении четвёрки на пять не хватает всего единицы до полного деления, поэтому число 4 сравнимо с −1 по модулю 5.
Шаг 3. Представим общую степень через найденную двойку: $2^{100} = (2^2)^{50}$.
Шаг 4. Заменим внутреннюю скобку на $-1$. Возведём $-1$ в пятидесятую степень. Поскольку степень чётная, отрицательный знак исчезает. Получаем $1$.
Ответ: 1.
Задание
Пусть $q$ обозначает неполное частное, а $r$ обозначает остаток, возникающий при делении некоторого натурального числа $a$ на натуральное число $b$ (причём $a > b$). Может ли выполняться равенство $a = 3q + 5r$?
Шаг 1. Запишем классическое определение: $a = bq + r$.
Шаг 2. Приравняем правую часть определения к выражению из условия, так как обе части равны переменной $a$. Получаем равенство: $bq + r = 3q + 5r$.
Шаг 3. Сгруппируем переменные. Перенесём элементы с $q$ влево, а с $r$ — вправо. Уравнение примет вид $bq-3q = 5r-r$, что упрощается до $q(b-3) = 4r$.
Шаг 4. В заданиях такого типа (пункт «а») требуется подобрать хотя бы один работающий пример. Вспомним обязательное условие: $0 \leqslant r < b$.
Шаг 5. Начнём подбор. Пусть $b = 4$. Подставим это значение в упрощённое уравнение. Получаем $q(4-3) = 4r$, то есть $q = 4r$.
Шаг 6. Подберём подходящее значение для $r$. Оно должно быть строго меньше $b$, то есть меньше $4$. Выберем $r = 1$. Тогда $q = 4 \cdot 1 = 4$.
Шаг 7. Вычислим исходное делимое. По формуле $a = 4 \cdot 4 + 1 = 17$.
Шаг 8. Сделаем проверку через равенство из условия. Подставим найденные значения: $17 = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 1$. Считаем правую часть: $12 + 5 = 17$. Равенство верно.
Ответ: да, может. Например, при $a = 17$ и $b = 4$.
Задание формата ЕГЭ профильного уровня
У квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты $p$ и $q$, а также корни $x_1$ и $x_2$ являются натуральными числами, не делящимися на 3. Какой остаток при делении на 3 имеет число $q$.
Решение
Шаг 1. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения для уравнения $x^2 + px + q = 0$:
- Сумма корней $|x_1 + x_2| = p$,
- Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.
Шаг 2. Натуральные числа, не делящиеся на 3, могут иметь остатки 1 или 2.
Шаг 3. Если один корень имеет остаток 1, а другой — 2, то их сумма $1 + 2 = 3$ делится на 3. Это противоречит условию, что коэффициент $p$ не делится на 3.
Шаг 4. Значит, корни $x_1$ и $x_2$ должны иметь одинаковые остатки (либо оба 1, либо оба 2).
Шаг 5. Если оба корня дают остаток 1: умножаем остатки друг на друга. Получаем $1 \cdot 1 = 1$. Остаток числа $q$ равен 1.
Шаг 6. Если оба корня дают остаток 2: умножаем остатки. Получаем $2 \cdot 2 = 4$. Число 4 делится на 3 с остатком 1. В обоих случаях получается один и тот же результат, остаток 1.
Ответ: 1.
Типичные ошибки и ловушки экзамена
- Ловушка с отрицательными числами. Нельзя считать, что $-20$ при делении на $6$ даёт результат $-2$. Правильная запись выглядит так: $-20 = 6 \cdot (-4) + 4$. Помни, что остаток всегда строго положительный или равен нулю.
- Игнорирование ограничений. Ошибка — записывать результат в виде $23 = 4 \cdot 4 + 7$ и считать семёрку искомым значением. Величина $r$ не может быть больше или равна делителю. Верный вариант: $23 = 4 \cdot 5 + 3$.
- Отказ от свойств модульной арифметики при счёте. Не пытайся вычислить точное значение $13^5$, чтобы потом разделить его столбиком. Число $13$ нацело не делится на $5$, оно даёт остаток $3$. Достаточно рассмотреть поведение степени $3^5$.
Практика для самопроверки
Реши несколько заданий самостоятельно, чтобы проверить усвоение материала.
Задание 1. Какой остаток получится при делении числа $25$ на $7$?
Ответ: 4.
Поскольку $25 = 7 \cdot 3 + 4$.
Задание 2. Вычислите значение остатка при делении $-14$ на $3$.
Ответ: 1.
Проверка показывает, что $-14 = 3 \cdot (-5) + 1$.
Задание 3. Чему будет равен остаток суммы $(1002 + 1003)$ при делении на $5$?
Ответ: 0.
Каждое число можно проанализировать отдельно. Первое даёт остаток $2$, второе даёт $3$. Их сумма равна $5$. Число $5$ делится на $5$ нацело, следовательно, остатка нет.
Задание 4. Существуют ли такие натуральные значения $b$ и $q$, при которых выполняется равенство $q(b-2) = -q$? Натуральное значение $r$ при этом равно $1$.
Шаг 1. Левая часть уравнения содержит произведение числа на скобку. Поскольку $q$ является натуральным (строго больше нуля), левая и правая части могут быть равны только в том случае, если скобка $(b-2)$ равна $-1$. Это означает, что $b = 1$.
Шаг 2. По правилам деления значение $r$ обязано быть строго меньше $b$. В этой ситуации получается $1 < 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, таких значений не существует.
Ответ: нет, не существует.
Заключение
После изучения этого материала можно уверенно приступать к задачам на делимость. Теперь ты умеешь применять формулу деления с остатком, соблюдать ограничения для правильного поиска результата и использовать свойства остатков для вычисления больших степеней без калькулятора. Выработанный алгоритм поможет не терять баллы при анализе отрицательных значений. Чтобы закрепить тему, рекомендуем решить 5–8 разнотипных номеров из банка заданий профильного ЕГЭ по математике — особенно обрати внимание на формулировки задания № 19.
